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不等式的恒成立、恰成立、能成立问题-高三理科数学精品复习讲义与跟踪训练含解析


不等式的恒成立、恰成立、能成立问题 I.题源探究·黄金母题 2 【例 1】当 k 取何值时,一元二次不等式 2kx ? kx ? 精彩解读 3 ? 0 对一 【试题来源】人教版 A 版 8 必 5P4 例 3. 【母题评析】本题考查一 元二次不等式恒成立参数 取值范围问题.不等式恒 成立问题,是历年来高考 切实数 x 都成立? 【解析】由已知结合二次函数的图像可得 ?k ? 0 , ? ? ? 3 ? ,解得 ?3 ? k ? 0 .所以当 ?3 ? k ? 0 2 ? ? ? k ? 4 ? 2k ? ? ? 8 ? ? 0 ? ? ? 2 时,一元二次不等式 2kx ? kx ? 3 ? 0 ,对一切实数 x 都成立. 的一个常考点. 8 【思路方法】合理运用二 次函数的图像及其性质解 题. II.考场精彩·真题回放 ? x 2 ? x ? 3, x ? 1, ? 【例 2】 【2017 高考天津理 8】已知函数 f ( x ) ? ? 2 ? x ? , x ? 1. x ? 【命题意图】本题考查绝 对值不等式的性质,属于 创新题, 有一定的难度. 它 考查学生的阅读理解能 力,接受新思维的能力, 考查学生分析问题与解决 问题的能力. 设a?R , 若关于 x 的不等式 f ( x) ?| 的取值范围是( A. [ ? 47 ,2] 16 x 则a ? a | 在 R 上恒成立, 2 ) 47 39 , ] 16 16 B. [ ? C. [?2 3, 2] 【考试方向】这类试题在 考查题型上,通常以选择 题或填空题的形式出现, 难度较大,往往是高中数 学主要知识的交汇题. 【难点中心】 1.解决此类问题的关键是 运用函数图像及其性质 (数形结合)解题. 2.一般不等式恒成立求参 39 D. [?2 3, ] 16 【答案】 A x x 【解析】不等式 f ( x) ? ? a 为 ? f ( x) ? ? a ? f ( x) (*), 2 2 2 当 x ? 1 时,(*)式即为 ? x ? x ? 3 ? x ? a ? x2 ? x ? 3 , 2 x 3 ? x ? ? 3 ? a ? x2 ? x ? 3 , 2 2 x 1 47 47 1 2 2 ? ? ( x ? 时取等号) 又 ? x ? ? 3 ? ?( x ? ) ? , 2 4 16 16 4 2 3 3 39 39 3 x 2 ? x ? 3 ? ( x ? ) 2 ? ? ( x ? 时取等号) , 2 4 16 16 4 47 39 ?? ? a ? , 16 16 2 x 2 当 x ? 1 时,(*)式为 ? x ? ? ? a ? x ? , x 2 x 3 2 x 2 ? x? ?a? ? , 2 x 2 x 3 2 3 2 2 3 又 ? x ? ? ?( x ? ) ? ?2 3 (当 x ? 时取等号) , 2 x 2 x 3 数 1. 可以选择参变分离的 方法,转化为求函数最值 的问题;2.也可以画出两 边的函数图象,根据临界 值求参数取值范围;3.也 可转化为 F ? x ? ? 0 的问 题,转化讨论求函数的最 值求参数的取值范围. x 2 x 2 ? ? 2 ? ? 2(当 x ? 2 时取等号) , ??2 3 ? a ? 2 . 2 x 2 x 3.对于判断不等式恒成立 综上 ? 47 ? a ? 2 .故选 A. 16 问题,一般采用举反例排 除法.解答本题时能够对 四个选项逐个利

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