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第五讲 机械振动和机械波

第五讲
5.1.1、简谐振动的动力学特点

机械振动和机械波
§5.1 简谐振动

v v F 回 与它偏离平衡位置的位移 x 大小成正比,方向相反。即满足: 如果一个物体受到的回复力

F回 = K x 的 关 系, 那么 这个 物体的 运 动就 定义 为简 谐振动 。 根据 牛顿 第二 定律, 物 体的 加速 度

a=

F回 K = v m m x ,因此作简谐振动的物体,其加速度也和它偏离平衡位置的位移大

P

小成正比,方何相反。 现有一劲度系数为 k 的轻质弹簧,上端固定在 P 点,下端固定一个质量为 m 的物 体, 物体平衡时的位置记作 O 点。 现把物体拉离 O 点后松手, 使其上下振动, 如图 5-1-1 所示。 当物体运动到离 O 点距离为 x 处时,有

x

F回 = F mg = k ( x0 + x) mg
式中

x 0 为物体处于平衡位置时,弹簧伸长的长度,且有 kx0 = mg ,因此 F回 = kx

图 5-1-1

说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移 x 成正比。因回复力指向平衡位置 O,而位移 x 总 是背离平衡位置, 所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反, 竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。 注意:物体离开平衡位置的位移,并不就是弹簧伸长的长度。 5.1.2、简谐振动的方程 由于简谐振动是变加速运动,讨论起来极不方便,为此。可引入一个连 续的匀速圆周运动,因为它在任一直径上的分运动为简谐振动, 以平衡位置 O A 为圆心,以振幅 A 为半径作圆,这圆就称为参考圆,如图 5-1-2,设有一质点 0 x ω 作匀速圆周运动,它在开始时与 O 的连线跟 x 轴夹角 O 在参考圆上以角速度 为 0 ,那么在时刻 t,参考圆上的质点与 O 的连线跟 x 的夹角就成为

= ωt + 0 ,它在 x 轴上的投影点的坐标

x = A cos(ωt + 0 )

图 5-1-2
(2)

这就是简谐振动方程,式中 0 是 t=0 时的相位,称为初相: ωt + 0 是 t 时刻的相位。

参考圆上的质点的线速度为 Aω ,其方向与参考圆相切,这个线速度在 x 轴上的投影是

v = Aω cos(ωt + 0 )
这也就是简谐振动的速度
2

(3)

参考圆上的质点的加速度为 Aω ,其方向指向圆心,它在 x 轴上的投影是

a = Aω 2 cos(ωt + 0 )
这也就是简谐振动的加速度 由公式(2)(4)可得 、

(4)

a = ω 2 x
由牛顿第二定律简谐振动的加速度为

a=

F k = x m m k m

因此有

ω2 =

(5) 简谐振动的周期 T 也就是参考圆上质点的运动周期,所以

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T=

2π m = 2π w k

5.1.3、简谐振动的判据 . 物体的受力或运动,满足下列三条件之一者,其运动即为简谐运动: ①物体运动中所受回复力应满足 ②物体的运动加速度满足

F = kx ;

a = ω 2 x ;

0 。 ③物体的运动方程可以表示为 事实上,上述的三条并不是互相独立的。其中条件①是基本的,由它可以导出另外两个条件②和③。 §5.2 弹簧振子和单摆 简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆,下面分别加以讨论。 5.2.1、弹簧振子 弹簧在弹性范围内胡克定律成立,弹簧的弹力为一个线性回复力,因此弹簧振 k 子的运动是简谐振动,振动周期

x = A cos(ωt + )

T = 2π

m k 。

m
k

(1)恒力对弹簧振子的作用 比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子,如果 m 和 k 都相同(如图 5-2-1) ,则它们的振动周期 T 是相同的,也就是说,一个振动方向上 一个振动方向上 的恒力不会改变振动的周期。 的恒力不会改变振动的周期

m
图 5-2-1

如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子,弹簧原长 l0 ,振子的质量为 m=1.0kg,电梯静止时弹簧伸长

l =0.10m,从 t=0 时,开始电梯以 g/2 的加速度加速下降 t = πs ,然后又以 g/2 加速度减速下降直至停止试 画出弹簧的伸长 l 随时间 t 变化的图线。
由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动,而电梯是一个有加速度的非惯性系,因此要考虑弹簧振子所受 到的惯性力 f。在匀速运动中,惯性力是一个恒力,不会改变振子的振动周期,振动周期

T = 2π / ω = 2π / k m 因为 k = mg / l ,所以 T = 2π l g = 0.2π ( s)

物体受力平衡点为平衡位置,速度为零时与平衡点距离即为振幅

因此在电梯向下加速或减速运动的过程中,振动的次数都为

n = t / T = π / 0.2π = 5(次)
当电梯向下加速运动时,振子受到向上的惯性力 mg/2,在此力和重力 mg 的共同作用下,振子的平衡 位置在

l1 =

1 mg / k = l / 2 2 3 mg / k = 3l / 2 2

的地方,同样,当电梯向下减速运动时,振子的平衡位置在

l 的地方。在电梯向下加速运动期间,振子正好完成 5 次 2 l 全振动,因此两个阶段内振子的振幅都是 l / 2 。弹簧的伸
长随时间变化的规律如图 5-2-2 所示,读者可以思考一下, 如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从 5T 时刻而是从 4.5T 时刻开始的,那么 l ~ t 图线将是怎样的? (2)弹簧的组合 设有几个劲度系数分别为 k1 、 k2 …… kn 的轻弹簧串联起来,组成一个新弹簧组,当这个

l 2 =

l O
π


T
图 5-2-2

t

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新弹簧组在 F 力作用下伸长时,各弹簧的伸长为 x1 ,那么总伸长

x = ∑ xi
i =1

n

各弹簧受的拉力也是 F,所以有

xi = F / ki
i =1 故 根据劲度系数的定义,弹簧组的劲度系数

x = F∑

n

1 ki

k =F/x
1/ k = ∑
n

m
图 5-2-3

i =1 即得 如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组,那么各弹簧的伸长是相同的。要使各弹簧都伸长 x ,需要的外力

1 ki

F = ∑ ki x = x ∑ k i
i =1 i =1

n

n

根据劲度系数的定义,弹簧组的劲度系数

k=

n F = ∑ ki x i =1

导出了弹簧串、 并联的等效劲度系数后, 在解题中要灵活地应用, 如图 5-2-3 所示的一个振动装置, 两根弹簧到底是并联还是串联?这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征:串联的本质特征是每根弹簧受 串联的本质特征是每根弹簧受 力相同;并联的本质特征是每根弹簧形变相同。由此可见图 5-2-3 中两根弹簧是串联。 力相同;并联的本质特征是每根弹簧形变相同 当 m 向下偏离平衡位置 x 时,弹簧组伸长了 2 x ,增加的弹力为

F = 2xk = 2x

k1k 2 k1 + k 2 k1k 2 4k k = 1 2 x k1 + k 2 k1 + k 2

m 受到的合外力(弹簧和动滑轮质量都忽略)

ΣF = 2 × 2x
所以 m 的振动周期

T = 2π

m(k1 + k 2 ) 4k1k 2

π
=

m(k1 + k 2 ) k1k 2

再看如图 5-2-4 所示的装置,当弹簧 1 由平衡状态伸长 l1 时,弹簧 2 由 平衡位置伸长了 l2 ,那么,由杆的平衡条件一定有(忽略杆的质量)
2

k l a = k l b
1 1 2 2

k2

b a
1

l2 =

k1 a l1 k2 b a k1 a 2 = l1 b k2 b 2

由于弹簧 2 的伸长,使弹簧 1 悬点下降

k1

x′ = l2

m
图 5-2-4

因此物体 m 总的由平衡位置下降了

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k a2 x1 = l1 + x′ = 1 2 + 1l2 k b 2
此时 m 所受的合外力

ΣF = k1l1 =

k1k 2b 2 x1 k1a 2 + k 2b 2 T = 2π m(k1a 2 + k 2b 2 ) k1k 2b 2

所以系统的振动周期

(3)没有固定悬点的弹簧振子 质量分别为 m A 和 m B 的两木块 A 和 B,用一根劲度系数为 k 的轻 弹簧连接起来,放在光滑的水平桌面上(图 5-2-5) 。现在让两木块将弹簧压缩后由静止释放,求系统振动 的周期。 想象两端各用一个大小为 F、 方向相反的力将弹簧压缩, 假设某时刻 A、 各偏离了原来的平衡位置 x A B 和 x B ,因为系统受的合力始终是零,所以应该有

mA x A = mB xB
A、B 两物体受的力的大小

① ②

FA = FB = ( x A + xB )k
由①、②两式可解得

A
图 5-2-5

B

m + mB FA = k A xA mB m + mB FB = k A xB mB
由此可见 A、B 两物体都做简谐运动,周期都是

T = 2π

m A mB k ( m A + mB )

此问题也可用另一种观点来解释:因为两物体质心处的弹簧是不动的,所以可以将弹簧看成两段。如

mB m A + mB mA l0 k l0 l0 ,左边一段原长为 m A + mB ,劲度系数为 mB m A + mB ,劲 果弹簧总长为 ;右边一段原长为 m A + mB k mB 度系数为 , 这样处理所得结果与上述结果是相同的, 有兴趣的同学可以讨论,
如果将弹簧压缩之后,不是同时释放两个物体,而是先释放一个,再释放另一个,这样 两个物体将做什么运动?系统的质心做什么运动? 5.2.2、单摆 . 、 一个质量为 m 的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的 O 点,小球摆动至与竖直方 向夹 θ 角,其受力情况如图 5-2-6 所示。其中回复力,即合力的切向分力为

O
θ

F

F回 = mg sin θ
当 θ <5时,△OAB 可视为直角三角形,切向分力指向平衡位置 A,且 所以

sin θ =

x l,

B

x mg

A

mg x F回 = l

图 5-2-6

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F回 = kx (式中

k=

mg l )

说明单摆在摆角小于 5时可近似地看作是一个简谐振动,振动的周期为

T = 2π
(1)等效重力加速度 g ′

m l = 2π k g

在一些异型单摆中, l 和 g 的含意以及值会发生变化。 单摆的等效重力加速度 g ′ 等于摆球相对静止在平衡位置时, 指向圆心的弹力与摆球质量的比值。 如在加速上升和加速下降的升降机中有一单摆,当摆球相对 静止在平衡位置时,绳子中张力为 m( g ± a ) ,因此该单摆的等效

O
θ

l T = 2π g±a 重力加速度为 g ′ = g ± a 。周期为

图 5-2-7

a
O
α

再如图 5-2-7 所示,在倾角为 θ 的光滑斜面上有一单摆,当摆球相对静 止在平衡位置时,绳中张力为 mg sin θ ,因此单摆的等效重力加速度为

A

f = ma

g ′ = g sin θ ,周期为

T = 2π

l g sin θ

mg
图 5-2-8

又如一节车厢中悬挂一个摆长为 l 的单摆,车厢以加速度 a 在水平地面 上运动(如图 5-2-8) 。由于小球 m 相对车厢受到一个惯性力 f = ma ,所以 它可以“平衡”在 OA 位置,

tga =

a g ,此单摆可以在车厢中以 OA 为中心做简
2 2

θ

谐振动。当小球相对静止在平衡位置 A 处时,绳中张力为 m a + g ,等效重 力加速度 g ′ =

a 2 + g 2 ,单摆的周期

l

T = 2π

l a +g
2 2

m
图 5-2-9

(2)等效摆长 l ′ 单摆的等效摆长并不一定是摆球到悬点的距离,而是指摆球的圆弧轨迹的 半径。如图 5-2-9 中的双线摆,其等效摆长不是 l ,而是 l sin θ ,周期

B D

T = 2π

l sin θ g

再如图 5-2-10 所示,摆球 m 固定在边长为 L、质量可忽略的等边三角形支 架 ABC 的顶角 C 上,三角支架可围绕固定的 AB 边自由转动,AB 边与竖直方 向成 a 角。 当 m 作小角度摆动时,实际上是围绕 AB 的中点 D 运动,故等效摆长

α
A

l′

m
C

α
图 5-2-10

l ′ = L cos 30 0 =

3 L 2

正因为 m 绕 D 点摆动,当它静止在平衡位置时,指向 D 点的弹力为

mg sin a ,等效重力加速度为 g sin a ,因此此异型摆的周期

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T = 2π

l′ 3L = 2π g′ 2 g sin a

(3)悬点不固定的单摆 如图 5-2-11,一质量为 M 的车厢放在水平光滑地面上,车厢中悬有一个摆长为 l ,摆球的质量为 m 的 单摆。显然,当摆球来回摆动时,车厢也将作往复运动,悬点不固定。 由摆球相对于车厢的运动是我们熟悉的单摆,故取车厢为非惯性系,摆球受到重力 mg,摆线拉力 N 和惯性力 maM 的作用,如图 分析摆球 N= mg cosθ maM sin θ 回复力 分析车厢: ①(忽略摆球向心力) ②
θ

aM

F = mg sin θ + maM cosθ


N

N sin θ = MaM

M
maM

2 因为 θ 很小,所以可认为 sin θ = θ , cosθ = 1 , sin θ = 0 则由①、③式可得

mg

aM =

m gθ M m )θ M

图 5-2-11

把它代入②

F = mg (1 +

摆球偏离平衡位置的位移

所以 因此摆球作简谐振动,周期

x = θl mg ( M + m) x F= MI
ml ( M + m) g T = 2π
由周期表达式可知:当 Mm 时,

T = 2π

l g ,因为此时 M 基本不动,一般情

T < 2π
况下,

l g

§5.3 振动能量与共振 5. 3.1、简谐振动中的能量 . 、 以水平弹簧振子为例,弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成,在振动过程中,振子的 瞬时动能为:

EK = Ep =

1 2 1 mv = mA 2ω 2 sin 2 (ωt + ) 2 2 1 2 1 kx = mω 2 A2 cos 2 (ωt + ) 2 2 1 1 mω 2 A 2 = kA2 2 2

振子的瞬时弹性势能为:

振子的总能量为:

E = EK + E p =

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1 2 kA 简谐振动中,回复力与离开平衡位置的位移 x 的比值 k 以及振幅 A 都是恒量,即 2 是恒量,因此
振动过程中,系统的机械能守恒。 如以竖直弹簧振子为例,则弹簧振子的能量由振子的动能、重力势能和弹簧 的弹性势能构成,尽管振动过程中,系统的机械能守恒,但能量的研究仍比较复 杂。由于此时回复力是由弹簧的弹力和重力共同提供的,而且是线性力(如图

F回 kx

1 2 kx 5-3-1) ,因此,回复力做的功 2 (图中阴影部分的面积)也就是系统瞬时弹性
势能和重力势能之和,所以类比水平弹簧振子瞬时弹性势能表达式,式中 x 应指 振子离开平衡位置的位移,则 p 就是弹性势能和重力势能之和,不必分开研究。 简谐振动的能量还为我们提供了求振子频率的另一种方法,这种方法不涉及 振子所受的力,在力不易求得时较为方便,将势能写成位移的函数,即 另有

x
O
图 5-3-1

E

x

Ep =

2E 1 2 k = 2p kx 2 x 。 ,

ω=
2E p mx 2

k = m

2E p mx 2

x c
R
图 5-3-2

也可用总能量和振幅表示为

M

ω=

5.3.2、阻尼振动 . 、 简谐振动过程的机械能是守恒的,这类振动一旦开始,就永不停止,是一种理想状态。实际上由于摩 擦等阻力不可完全避免,在没有外来动力的条件下,振动总会逐渐减弱以致最后停息。这种振幅逐渐减小 的振动,称为阻尼振动。阻尼振动不是简谐振动。 ①振动模型与运动规律 如图 5-3-2 所示,为考虑阻尼影响的振动模型,c 为阻尼器,粘性阻尼时,阻力 R=-cv,设 m 运动在 任一 x 位置,由 ΣF = mα x 有

mα x = kx cv x
分为

a x + 2nv x + w 2 x = 0

x
(17)

式中 这里参考图方法不再适用,当 C 较小时,用微分方程可求出振体的运 o 动规律,如图 4-22 所示。 附:粘性 阻尼 是振动系统的运动受大小与运动速度成正比而方向 粘性 相反的阻力所引起的能量损耗。粘性阻尼发生在物体内振动而产生形 变的过程中。物体振动时,部分振动能量损耗在材料内部的粘性内摩 擦作用上,并被转换为热能。在实际的振动系统中,除粘性阻尼外, 还有干阻尼(例如轴承内或零件接合处的摩擦作用)等其它能量损耗。 但在振动很大的情况,粘性阻尼引起的损耗占优势,这时振动振幅按 时间的几何级数规律衰减。 ②阻尼对振动的影响 由图 5-3-3 可见,阻尼使振幅逐渐衰减,直至为零。同时也伴随着振动 系统的机械能逐渐衰减为零。

n=

c 2m

t

图 5-3-3

1cm

k
x

c =n 愈大,即阻尼愈大,振幅衰减愈快。而增大质量 m 可使 此外, 2m

图 5-3-4

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n 减小。所以,为了减小阻尼,单摆的重球及弹簧振子往往选用重球。 ③常量阻力下的振动 例 1、如图 5-3-4 所示,倔强系数为 250g/cm 的弹簧一端固定,另端连结一质量为 30g 的物块,置于 水平面上,摩擦系数 经过弹簧原长位置几次后才停止运动。 解:振体在运动中所受摩擦阻力是与速度方向相反的常量力,并不断耗散系统的机械能,故不能像重 力作用下那样,化为谐振动处理。

=

1 4 ,现将弹簧拉长 1cm 后静止释放。试求: (1)物块获得的最大速度; (2)物块

(1)设首次回程中,物块运动至弹簧拉力等于摩擦力的 x 位置时,达最大速度



由 再由能量守恒:

1 30 g × mg 4 = 0.03(cm) x= = kx = mg , k 250 g
1 2 1 1 2 kx0 = mg (1 0.03) + k × 0.032 + mvmax 2 2 2

代入已知数据得

vmax = 485(cm / s )

′ (2)设物体第一次回程中,弹簧的最大压缩量为 x1 ,则
1 2 1 2 ′ ′ kx0 kx1 = mg ( x0 + x1 ) 2 2 2mg ′ ∴ x0 x1 = k
再设物体第一次返回中,弹簧的最大拉伸量为 x1 ,则

1 2 1 2 ′ ′ kx1 kx1 = mg ( x1 + x1 ) 2 2 2mg ′ ∴ x1 x1 = k
可见振体每经过一次弹簧原长位置,振幅减小是相同的,且均为

2mg = k

2 × 30 ×1000 ×

1 4 = 3 (cm) 250 × 1000 50

而 故物体经过 16 次弹簧原长位置后,停止在该处右方。 5.3.3 受迫振动—— ——在周期性策动外力作用下的振动。 . . 受迫振动—— 例如:扬声器的发声,机器及电机的运转引起的振动。 1、振动模型及运动规律 如图 5-3-5 所示,为策动外力作用下的振动模型。其中,阻力 R=-cv,为常见的粘性阻尼力。 o 策动力 F=Hcospt,为简谐力时。 由 ΣF回 = ma x ,有 ma x = H cos pt cvx kx 化为标准标式

1 = 16 L 0.04(cm) < 0.06cm 3 / 50

x c
R
图 5-3-5

α x + 2nv x + ω 2 x = h cos pt

F = H cos pt M

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式中
x

n=

c ω= 2m ,

k H h= m, m
x x

o

t

+

o

t

=

o

t

瞬态振动

静态振动

受迫振动

(a )

(b) 图 5-3-6

(c)

由 微分 方程 理论 可求 得振 子的 运动 规律 ( 2)受

迫振动的特性 在阻尼力较小的条件下,简谐策动力引起的振动规律如图 5-3-6 所示。在这个受迫振动过程由两部分 组成:一部分是按阻尼系统本身的固有频率所作的衰减振动,称为瞬态振动(图(a);另一部分按策动 ) 力频率所作的稳定振动(图(b)。在实际问题中,瞬态振动很快消失,稳态振动显得更加重要。稳态振 ) 动的频率与系统本身的固有频率无关,其振幅与初位相也不由初始条件确定,而与策动频率 p 密切相关。 5.3.4、共振 . . 、共振—当策动力频率 p 接近于系统的固有频率 ω 时受迫振动振幅出现最大值的现象。 如图 5-3-7 所示的一组曲线,描述了不同阻尼系统的稳态振幅 A c0 = 0 随策动力频率 p 改变而引起的变化规律。由图可见: 1、当 p 接近 ω 时振幅最大,出现共振。 A 2、阻尼越小,共振越大。 c <c <c 3、 p → 0 时,振幅就是静力偏移,即
1 2 3

A0 =

4、p>> ω 时,振体由于惯性,来不及改变运动,处于静止状态。

H k

A0 O

c1 c2 c3
ω

P

§5.4 振动的合成 图 5-3-7 若一个物体同时受到两个或几个周期性策动力的作用,在一般情 况下其中一个力的存在不会对另外一个力产生影响,这时物体的振动 就是它在各个策动力单独作用下产生的振动相互叠加后的振动,由各策动力单独产生的振动来求它们叠加 后的振动,叫振动的合成。 4. 同方向、同频率两简谐运动的合成 5. 4.1、 同方向、同频率两简谐运动的合成 当一个物体同时参与同方向的两个振动时,它在某一时刻的位移应为同一时刻两个振动的位移的代数 和。当两振动的频率相同时,设此两振动的位移分别为

x1 = A1 cos(ωt + 1 ) x2 = A2 cos(ωt + 2 )
则合振动的位移应为

x = x1 + x2 = A1 cos(ωt + 1 ) + A2 cos(ωt + 2 ) = A1 cos ωt cos 1 A1 sin ωt sin 1 + A2 cos ωt cos 2 A2 sin ωt sin 2 = ( A1 cos 1 + A2 cos 2 ) cos ωt ( A1 sin 1 + A2 sin 2 ) sin ωt = A cos cos ωt A sin sin ωt = A cos(ωt + )
上式中

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A = ( A1 cos 1 + A2 cos 2 ) 2 + ( A1 sin 1 + A2 sin 2 ) 2
2 A12 + 2 A1 A2 cos( 2 1 ) + A2 A sin 1 + A2 sin 2 tg = 1 A1 cos 1 + A2 cos 2

=

根据以上结论,进一步可以看到 ①若 2 1 = 0或2kπ (k 为整数) ,则

cos( 2 1 ) = 1
A=
即合振动的振幅达到最大值,此时合振动的初位相与分振动的初位相同(或相差 2kπ ) ②若 2 1 = π 或 ( 2 k + 1)π 则
2 A12 + 2 A1 A2 + A2 = A1 + A2

cos( 2 1 ) = 1
2 A = A12 2 A1 A2 + A2 = A1 A2

即合振动的振幅达到最小值。此时合振动的初位相取决于 A1 和 A2 的大小。即当 A1 > A2 时,合振动 的初位相等于 1 (1 + 2kπ ) ; A2 > A1 时, 当 合振动的初位相等于 2 (或 2 + 2kπ ) ; A2 = A1 时, A=0, 当 则 物体不会发生振动。 ③一般情况下, 2 1 可以任意值,合振动的振幅 A 的取值范围为

A1 + A2 ≥ A ≥ A1 A2
4. 同方向、 5. 4.2、 同方向、频率相近的两振动的合成 设物体同时参与两个不同频率的简谐运动,例如

为简单起见,我们已设 2 = 1 = 0 ,这只要适当地选取时间零点,是可以做到的。如果再设

x1 = A1 cosω1t x2 = A2 cos ω 2t

A1 = A2 = A ,则合振动 x = x1 + x2 = A(cosω1t + cos ω 2t ) ω ω2 ω + ω2 = 2 A cos 1 t cos 1 t 2 2

由于 ω1 和 ω 2 相差不多,则有( ω1 + ω 2 )比

x
o

T

( ω1 ω 2 )大很多,由此,上一合振动可以看成 是振幅为

2 A cos

ω1 ω 2
2

t

(随时间变化) 。角频

t

ω1 + ω 2
2 的振动。这种振动称为“拍” 率为 。拍的 位移时间图像大致如图 5-4-1 所示。由图可见,振
幅的变化周期 T ′ 为 一半,即

2 A cos

ω1 ω 2
2

t

变化周期的

图 5-4-1

1 2 2π T′ = 2π = ω1 ω 2 2 ω1 ω 2

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或拍频为

v′ =

1 ω1 ω 2 = = v1 v2 T′ 2π

ω ′ = ω1 ω 2
5.4.3、同频率相互垂直的两个简谐振动的合成 当一物体同时参与相互垂直的振动时

x = A1 cos(ωt + 1 ) y = A2 cos(ωt + 2 )
合振动的轨迹在直角坐标系中的方程为

x 2 y 2 2 xy + 2 cos( 2 1 ) = sin 2 ( 2 1 ) 2 A1 A2 A12
当 2 1 = 2 Kπ 时, ( K = 0,±1,±2 LL)

(6-17)

x 2 y 2 2 xy + 2 =0 A12 A2 A12
y=


A2 x A1

A2 合成结果仍为简谐振动(沿斜率为 A1 的直线作简谐振动) 。 当 2 1 = ( 2 K + 1)π 时, ( K = 0,±1,±2 LL) x2 y 2 + 2 =1 A12 A2

可见,当

2 1 =

π

3 或 π 2 2 时,合振动均为椭圆振动,但两者旋转方向不同。

§5.5 机械波 5.5.1、机械波 . . 、 机械振动在介质中的传播形成机械波,波传递的是振动和能量,而介质本身并不迁移。 波传递的是振动和能量,而介质本身并不迁移 波传递的是振动和能量 自然界存在两种简单的波:质点振动方向与波的传播方向垂直时,称为横波;与传播方向一致时,叫 纵波,具有切变弹性的介质能传播横波;具有体变弹性的介质可传播纵波,固体液体中可以同时有横波和 纵波,而在气体中一般就只有纵波存在了。 在波动中,波上相邻两个同相位质点间的距离,叫做一个波长,也就是质点作一个全振动时,振动传 在波动中,波上相邻两个同相位质点间的距离,叫做一个波长 播的距离。由于波上任一个质点都在做受迫振动,因此它们的振动频率都与振源的振动频率相等,也就是 波的频率,在波动中,波长 λ 、频率 f 与传播速度 v 之间满足

y (1) 注意:波速不同于振动质点的运动速度,波速与传播介质的密度及弹 性性质有关。 5.5.2、波动方程 . . 、 O 如图 5-5-1 所示,一列横波以速度 v 沿 x 轴正方向传播,设波源 O 点 的振动方程为:
T y = A cos(ωt + 0 )

v = λf =

λ
v

P

x

图 5-5-1

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在 x 轴上任意点 P 的振动比 O 点滞后时间

tp =

x v ,即当 O 点相位为 (ωt + 0 ) 时,P 点的相位为

x l f = ω (t v ) + 0 ,由 ω = 2πf , v = λf , T ,P 点振动方程为 x y = A cos ω (t ) + 0 v 2πx = A cos( 2πft + ) 0

λ

= A cos(

这就是波动方程, 它可以描述平面简谐波的传播方向上任意点的振动规律。 当波向 x 轴负方向传播时, (2)式只需改变 v 的正负号。由波动方程,可以 (1)求某定点 x1 处的运动规律 将 x = x1 代入式(6-14) ,得

2π 2πx t + 0 ) T λ

x 2π t + 0 2π 1 ) T λ = A cos(ωt + 1 ) 2πx1 1 = 0 λ 为 x1 质点作简谐振动的初相位。 其中 (2)求两点 x1 与 x 2 的相位差 y1 = A cos(
将 x = x2 代入(2)式,得两点 x1 、 x 2 的相位差

= 1 2 = 2π


x2 x1

x2 x1 =

λ
2 (k

λ

2k ( k

为整数) ,则 = 2 kπ ,则该两点同相,它们的位移和速度都相同。若

x2 x1 = ( 2k + 1)

λ
2

为整数) ,则 = ( 2 k + 1)π ,则该两点相位相反,它们的位移和速度大小相同,

速度方向刚好相反。 球面波的波动方程与平面波相比,略有不同,对于球面波,其振幅随传播距离的增加而衰减,设离波 源距离为 r1 处的振幅为 A1 ,离波源距离为 r2 处的振幅为 A2 。则有

A1r1 = A2 r2
即振幅与传播的距离成反比 球面简谐波的方程为

y (r , t ) =

A 2π cos(ωt r) r λ

r1

P

式中 A 是与波源的距离为一个单位长度处的振幅。 S1 r2 d 附:球面波 球面波是指波阵面为同心球面的波。设想在无限均匀媒质中 球面波 有一球状声源,其表面迅速地膨胀和收缩,且表面上的各点作同相 S 2 r 位同振幅的振动,向周围媒质辐射的波就是球面波。这种声波是球 对称的,即声压的大小仅与离球心的距离有关。任何形状的声源, 图 5-5-2 只要它的尺寸比波长小的多得都可以看作点声源,辐射球面波。对 于球面波,在离声源任意距离上的声强于距离平方成反比,声压与 距离成反比,声压与振动速度之间的相位差与球面波的半径对波长的比值成反比。辐射球面波时媒

{

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质的声阻抗率是复数,它具有纯阻和纯抗两部分,并与半径和波长有关。当球面波半径很大时,纯 抗分量可以忽略。 5.5.3、波的叠加和干涉 . . 、 当空间存在两个(或两个以上)振源发出的波时,空间任一点的扰动是各个波在该点产生的扰动的矢 量和,这叫做波的叠加原理。 当有频率相同、振动方向相同的两列波在空间叠加时,会出现某些地方振动增强,某些地方振动减弱 的现象,叫做波的干涉,这样的两列波叫相干波。 设有两列相干波自振源 S1 、 S 2 发出,两振源的位相相同,空间任一点 P 至 S1 的距离为 r1 ,至 S 2 的距 离为 r2 (图 5-5-2) ,则两列波在 P 点产生的振动的相位差为

= 2π

r2 r1

,即当波程差 当 = k 2π ( k 为整数)

λ

r = r2 r1 = 2k

λ
2 时,P 点的合振动加强;

当 = ( 2 k + 1)π ,即当波程差

r = r2 r1 = ( 2k + 1)

λ
2 时,P 点的合振动减弱,可见 P 点振动的强弱由 可见
C1

i

i

决定, 点位置的函数。 波程差 r = r2 r1 决定,是 P 点位置的函数。 C2 r 总之, 当某一点距离两同位相波源的波程差等于零或者是波长的整数倍时, 该点振动的合振幅最大,即其振动总是加强的;当某一点距离两同位波源的波 程差等于半波长或半波长的奇数倍时,该点振动的合振幅最小,即其振动总是 图 5-5-3 削弱的。 5.5.4、波的反射,折射和衍射 . . 、波的反射,折射和衍射 当波在传播过程中遇到的两种介质的交界面时,一部分返回原介质中,称为反射波;另一部分将透入 第二种介质继续传播,称为折射波,入射波的传播方向与交界面的法线成 i 角, i 叫入射角) ( ,反射波的传

播方向与交界面的法线成 i′ 角( i′ 叫反射角) 。折射波的传播方向与法线成 γ 角( γ 叫折射角) ,如图 5-5-3, 则有

i = i′ sin i c1 = sin r c2 式中 c1 为波在入射介质中的传播速度,c2 为波在折射介质中的传
播速度, (1)式称为波的反射定律, (2)式称为波的折射定律。 弦上的波在线密度不同的两种弦的连结点处要发生反射,反射的 波形有所不同。 设弦上有一向上脉冲波,如图 5-5-4,传到自由端以后反射,自由 端可看成新的振源,振动得以继续延续下去,故反身波仍为向上的脉 冲波,只是波形左右颠倒。当弦上有向上脉冲波经固定端反射时,固 定端也可看成新的“振源” ,由牛顿第三定律,固定端对弦的作用力方 向与原脉冲对固定端的作用力方向相反,故反射脉冲向下,即波形不 仅左、右颠倒,上、下也颠倒,这时反射波可看成入射波反向延伸的 负值(如图 5-5-5) ,将周期波看成一系列连续脉冲,周期波经自由端 或固定端的反射也可由此得出。 波在传播过程中遇到障碍物时,偏离原来的传播方向,传到障碍物 “阴影”区域的现象叫波的衍射。当障碍物或孔的尺寸比波长小,或者 跟波长相差不多时,衍射现象比较明显;当障碍物或孔的尺寸比波长大

图 5-5-5

图 5-5-4

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的时候,衍射现象仍然存在,只是发生衍射的部分跟直进部分相比,范围较小,强度很弱,不够明显而已。 此外,在障碍物或小孔尺寸一定的情况下,波长越长,衍射现象越明显。 附:物理学名词 物理学名词 弦是一门理论物理学上的学说。弦理论里的物理模型认为组成所有物质的最基本单位是一小段“能 量弦线” 大至星际银河,小至电子, 质子,夸克一类的基本粒子都是由占有一度空间的“能量线” , 所组成。中文的翻译上,一般是译作“弦” 。 较早时期所建立的粒子学说则是认为所有物质是由只占零度空间的“点”状粒子所组成,也是目 前广为接受的物理模型, 也很成功的解释和预测相当多的物理现象和问题, 但是此理论所根据的“粒 子模型”却遇到一些无法解释的问题。比较起来, “弦理论”的基础是“波动模型” 因此能够避开前一种 , 理论所遇到的问题。更深的弦理论学说不只是描述“弦”状物体,还包含了点状、薄膜状物体,更高 维度的空间,甚至平行宇宙。值得注意的是,弦理论目前尚未能做出可以实验验证的准确预测,关 于这一点,以下内文会说明。 发展历史 弦理论的雏形是在 1968 年由 Gabriele Veneziano 发现。他原本是要找能描述原子核内的强 作用力的数学公式,然后在一本老旧的数学书里找到了有 200 年之久的尤拉公式(Euler's Functi on) ,这公式能够成功的描述他所要求解的强作用力。然而进一步将这公式理解为一小段类似橡皮 筋那样可扭曲抖动的有弹性的“线段”却是在不久后由李奥纳特苏士侃所发现,这在日后则发展出 “弦理论” 。 虽然弦理论最开始是要解出强作用力的作用模式,但是后来的研究则发现了所有的最基本粒 子,包含正反夸克,正反电子,正反中微子等等,以及四种基本作用力“粒子” 强、弱作用力粒子, ( 电磁力粒子,以及重力粒子) ,都是由一小段的不停抖动的能量弦线所构成,而各种粒子彼此之间 的差异只是这弦线抖动的方式和形状的不同而已。 弦理论与超弦理论 另外, “弦理论”这一用词所指的原本包含了 26 度空间的玻色弦理论,和加入了超对称性的超弦 理论。在近日的物理界, “弦理论” 一般是专指“超弦理论” 而为了方便区分,较早的“玻色弦理论”则 , 以全名称呼。1990 年代,爱德华维顿提出了一个具有 11 度空间的 M 理论,他和其他学者找到强 力的证据,证明了当时许多不同版本的超弦理论其实是 M 理论的不同极限设定条件下的结果。这 些发现带动了第二次超弦理论革新。 弦理论与大一统理论 弦理论与大 一统理论 弦理论会吸引这么多注意,大部分的原因是因为它很有可能会成为大一统理论。弦理论也可能 是量子重力的解决方案之一。除了重力之外,它很自然的成功描述了各式作用力,包含了电磁力和 其他自然界存在的各种作用力。超弦理论还包含了组成物质的基本粒子之一的费米子。至于弦理论 能不能成功的解释基于目前物理界已知的所有作用力和物质所组成的宇宙,这还是未知数。 物理或是哲学

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在未获实验证实之前,弦理论是属于哲学的范畴,不能完全算是物理学。无法获得实验证明的 原因之一是目前尚没有人对弦理论有足够的了解而做出正确的预测, 另一个则是目前的高速粒子加 速器还不够强大。 科学家们使用目前的和正在筹备中的新一代的高速粒子加速器试图寻找超弦理论里主要 的超对称性学说所预测的超粒子。但是就算是超粒子真的找到了,这仍不能算是可以证实弦理论的 强力证据,因为那也只是找到一个本来就存在于这个宇宙的粒子而已,不过这至少表示研究方向是 正确的。

脉冲
电压(V)或 电流 的波形像心电图上的脉搏跳动的波形。但现在听到的什么电源脉冲、 脉冲 : 电压 或 电流(A)的波形像心电图上的脉搏跳动的波形 的波形像心电图上的脉搏跳动的波形 声脉冲……又作何解释呢,其实这些都是由脉冲的原意延伸出来的。或脉冲波就是以冲击形式产生 的信号波形,是由小到大的,方波是跳变、稳定的。 学术上对脉冲的定义:隔一段相同的时间发出的波等机械形式,会在短时间内突变,随后又迅速返回 其初始值的物理量称之为脉冲。

脉冲波
脉冲波 : 是指一种间断的持续时间极甜短的突然发生的电信号.凡是断续出现的电压或电流称 为脉冲电压或脉冲电流.电信波形来说除了正弦波和由若个正弦分量合成的连续波以外,都可以称为 脉冲波。常见的脉冲波有矩形波,锯齿波,三角波,尖峰波,阶梯波。 正如正弦波可以用 振幅 、频率 、初相 振幅、 初相,三个参数来表征那样,理想的矩形脉冲一般只要三个参 数便可以将其描述清楚。这三个参数分别是: 脉冲幅度 Um、 脉冲重复周期 T、 脉冲宽度 tw。 、 、 但由于实际电路中储能元件的影响,脉冲波形并不十分规整,因此需要更多的参数描述其特征 如:: 脉冲幅值 Um。 脉冲前沿和上升时间 tr 脉冲后沿和下降时间 脉冲宽度 tw 脉冲间隔 tg 脉冲周期 T 脉冲频率 f 从脉冲的定义内我们不能看出,脉冲有间隔性的特征,因此我们可以把脉冲作为一种信号。 脉冲信号的定义由此产生:相对于连续信号在整个信号周期内短时间发生的信号,大部分信号周期 内没有信号。就象人的脉搏一样。现在一般指数字信号,它已经是一个周期内有一半时间(甚至更 长时间)有信号。计算机内的信号就是脉冲信号,又叫数字信号。 接下来再来了解一下方波(Square Wave)和脉冲波(Pulse Wave) 。方波,因为波形方方正正而得名。 而脉冲波。波形上下最大振幅持续时间完全相同,而单独又称为方波。也就是说波形上下最大振幅持续时 间只要不相同,就是脉冲波。

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脉冲波的应用
脉冲技术在电子技术中起着非常重要的作用,它已广泛应用于电子计算机、通信、雷达、 电视、自动控制、遥控遥测、无线电导航和测量技术等领域。常见的线性波形变换电路有微分电路 和积分电路。另外还有非线性波形变换电路。脉冲波产生电路含有晶体管和电容器或电感器 。 晶 体管用作开关,它的通、断可以改变电路的工作状态。电容、电感用作惰性元件,可以形成电路中 的暂态特性。例如能产生矩形波或方波的无稳态自激多谐振荡器,需要外触发的单稳态触发电路和 双稳态触发电路(见触发器) 。能产生锯齿波的锯齿波发生器和占空比很大的窄脉冲间歇振荡器都 属于这类电路。它们可以完成诸如同步、分频、计数、移位寄存 、电压比较、延时、扫描、模数和数-模转换、选通、脉冲编码等功能。 5.5.5、驻波 . . 、 驻波是频率相同、振幅相同、振动方向一致、传播方向相反的两列简谐波叠加的结果,如图 6-5-6, 设弦上传递的是连续的周期波,波源的振动方程为

y0 = A cos ωt
向左传播的入射波表达式为

y1 = A cos(ωt +



λ

x)

考虑到入射波和反射波在连接点的振动相位相反,即入射波在反射时产生了 π 的相位突变,故反射波 在反射点的相位为

5 λ 设波源到固定端的距离为 4 ,则入射波传到反射点时的相位为 2π 2π 5 5 ωt + x = ωt ( λ ) = ωt π λ λ 4 2

ωt π π = ωt π
反射波在原点 P 的相位为

5 2

7 2

ωt π π = ωt 6π
因而,反射波的波动方程为

7 2

5 2

y2 = A cos(ωt 6π
合成波为:



λ

x ) = A cos(ωt 2π



λ

x)

y


y = y1 + y 2 = A cos(ωt + = 2 A cos( 2π

λ

x ) + A cos(ωt

λ

x)

λ

x ) cos ωt

2 A cos( 2π



DA
x)

B E F

O

x

合成波的振幅为 与 x 有 关,振幅最 大处为波腹,振幅最小处为波节。波腹的位置为

λ

图 5-5-6
λ

λ

x = kπ

λ
2
2A

k = 0,±1,±2 LL 如图 5-6-6 中的 2 即 D、E、F 等处。 波节的位置为
波节 波腹 波节 波腹

x=k

λ

图 5-5-7

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1 x = ( k + )π λ 2 1 λ x = (k + ) 2 2 即



k = 0,±1,±2 LL

如图 5-5-7 中的 O、A、B 等处。

λ
相邻两波节(或波腹)之间的间距为 2 。

1 t= T 2 、 不同时刻驻波的波形如图 5-6-7 所示,其中实线表示 t = 0 、T、2T……时的波形;点线表示 3 1 9 T t= T T 2 ……时的波形;点划线表示 8 、 8 时的波形。
5.5.6、多普勒效应 . . 、 站在铁路旁边听到车的汽笛声,发现当列车迎面而来时音调较静止时为高,而列车迅速离去时音调较 静止时为低,此外,若声源静止而观察者运动,或者声源和观察者都运动,也会发生收听频率和声源频率 不一致的现象,这种现象称为多普勒效应。下面分别探讨各种情况下多普勒频移的公式: (1)波源静止观察者运动情形 c 如图 5-5-8 所示,静止点波源发出的球面波波面是同心的, c 若观察者以速度 vD 趋向或离开波源,则波动相对于观察者的传 播速度变为 c′ = c + vD 或 c′ = c vD , 于是观察者感受到的频率 为

vD

c

D c

S c c

c

c vD D

f′=

c′

λ

=

c ± vD

λ

从而它与波源频率 f 之比为

图 5-5-8

f ′ c ± vD = f c
(2)波源运动观察者静止情形 若波源以速度 vS 运动,它发出的球面波不再同心。图 5-5-9 所示两圆分别是时间相隔一个周期 T 的两个波面。它们中心之间 的距离为 vS T,从而对于迎面而来或背离而去的观察者来说,有 效的波长为 λ ′′ = λ m vS T = (c m vS )T 观察者感受到的频率为

λ ′ = λ + vsT λ

λ λ ′ = λ vsT

D

D

c c cf = = λ ′′ (c m vS )T c m vS 因而它与波源频率 f 之比为 f′= f′ c = f c m vS

图 5-5-9

(3)波源和观察者都运动的情形 此处只考虑波的传播方向、波源速度、观察者速度三者共线的特殊情况,这时有效波速和波长都发生 了变化,观察者感受到的频率为

c′ c ± vD c ± vD = = f λ ′′ (c m vS )T c m vS 从而它与波源频率 f 之比为 f′=

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f ′ c ± vD = f c m vS
下举一个例 单行道上,有一支乐队,沿同一个方向前进,乐队后面有一坐在车上的旅行者向他们靠近。此时, 乐队正在奏出频率为 440HZ 的音调。 在乐队前的街上有一固定话筒作现场转播。 旅行者从车上的收音机收 听演奏,发现从前面乐队直接听到的声音和从广播听到的声音混合后产生拍,并测出三秒钟有四拍,车速 为 18km/h,求乐队前进速度。 (声速=330m/s) 。 解:先考虑车上听到的频率,连续两次应用多普勒效应,有

f1 =

c f0 c + v乐
f2 =

f 2 = (1 +
c + v车 f0 c + v乐

v车 ) f1 c ( f 2 为旅行者听到乐队的频率)

得 收音机得到频率为

f3 =

c f0 c v乐

旅行者听到广播频率为

f4 =

c + v车 f3 c 又拍频为

f 4 f3 =

4 HZ 3

综上得: v乐 =2.98m/s 5.5.7.声波 . . . 机械振动在空气中的传播称为声波。声波作用于人耳,产生声音感觉。人耳可闻声波频率是 频率超过 20000 H Z 的声波叫超声波。 超声波具有良好的定向性和贯穿能力。 频率小于 16 H Z 16~20000 H Z 。 的声波称为次声波。在标准情况下,声波在空气中的速度为 331m/s。 (1)声波的反射—声波遇障碍物而改变原来传播方向的现象。 回声和原来的声波在人耳中相隔至少 0.1 秒以上,人耳才能分辨,否则两种声音将混在一起,加强原 声。 室内的声波,经多次反射和吸收,最后消失,这样声源停止发声后,声音还可在耳中继续一段时间, 这段时间叫交混回响时间。交混回响时间太长,前后音互相重叠,分辨不清;交混时间太短,给人以单调 不丰满的感觉,这种房间不适于演奏。 (2)声波的干涉——两列同频率同振幅的声波在媒质中相遇而发生的波干涉现象。 (3)声波的衍射——声波遇障碍物而发生的波衍射现象。由于声波波长在 17cm—17m 之间,与一般 障碍物尺寸可相比拟,可绕过障碍物进行传播。而可见光的波长在 0.4—0.8 m ,一般障碍物不能被光绕 过去。这就是“闻其声而不见其人”的缘由。 (4)共鸣——声音的共振现象 音叉和空气柱可以发生共鸣。 在一个盛水的容器中插入一根玻璃管,在管口上方放一个正在发声的音叉,当把玻璃管提起和放下, 以改变玻璃管中空气柱的长度时,便可以观察到空气柱与音叉发生共鸣的现象。在这个实验中发生共鸣的

1 L = ( n + )λ n ,式中 L 为玻璃管的长度, λ 为音叉发出声波的波长,n 为自然数。 条件是:
5、乐音噪声——好听、悦耳的声音叫乐音,嘈杂刺耳的声音叫噪声。乐音是由作周期性振动的声源 发出的,嘈声是由做无规则非周期性振动的声源产生的。 6、音调、响度与音品为乐音三要素。 音调—基音频率的高低,基频高则称音调高。人们对音调的感觉客观上也取决于声源振动的频率,频 率高,感觉音调高。 响度—声音的强弱。声源振幅大、声音的声强(单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的能 量)也大,人感觉到的声音也大。 音品—音色,它反映了不同声源发出的声音具有不同的特色。音品由声音所包含的泛音的强弱和频率

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决定。


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