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有关平面几何与立体几何的类比研究


有关平面几何与立体几何的类比研究
我们可以从直线观察到平面观察,从平面观察再到空间观察进行 比较研究。 在直线上,到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线 段的中点;在平面上,到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端 点的线段的中垂线;在空间中,到两点的距离相等的点的集合是以这 两点为端点的线段的中垂面。 在直线上,到定点的距离相等的点的集合是等距的两点;在平面 上,到定点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的直径的圆;在 空间中, 到定点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的直径的球 面。 平面上,在中 ?ABC ,角 A、B、C 所对 的边分别为 a、b、c 则 a cos B + b cos A = c 。
B a C b

A
P

如图: a cos B + b cos A = c ; 空间中, 四面体 P ? ABC ,面 PAB、 PAC、 面 面 PBC、面 ABC 的面积分别为 s1 、s2 、s3 、s , 三个面与底面所成的二面角分别为 α 、 β 、
γ 则有 s1 cos α + s2 cos β + s3 cos γ = s 。
A

c

C

B

1

平面上,在直角 ?ABC 中,角 C= 900 ,角 A、B、C 所对的边分 别为 a、 c, c 上的高为 h, A b、 边 则有
1 1 1 = 2 + 2 ;空间中,四面 2 h a b

P

F H D B E

C

体 P ? ABC , PA ⊥ PB 、PA ⊥ PC 、

PB ⊥ PC , PD ⊥ AB 、 PE ⊥ BC 、 PF ⊥ AC ,点 H 为点 P 在面 ABC 内的

射影,则有

1 1 1 1 = + + 。 2 2 2 PH PD PE PF 2
P

平面上, 在直角 ?ABC 中,角 C= 900 , A、 角 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 则 有
a 2 + b 2 = c 2 ; 空 间 中 , 四 面 体 P ? ABC ,
A

PA ⊥ PB 、 PA ⊥ PC 、 PB ⊥ PC ,面 PAB、面

C

PAC、面 PBC、面 ABC 的面积分别为 s1 、 s2 、
s3 、 s ,则有 s12 + s2 2 + s32 = s 2 。
B

平面上,在中 ?ABC ,角 A、B、C 所对的边 分别为 a、b、c, ?ABC 的内心为点 O,内切 圆 的 半 径 为 r , ?ABC 的 面 积 为 S, 则 有
s=
r

C

O

1 r (a + b + c) ;空间中,四面体 P ? ABC ,面 2

A P

B

PAB、 PAC、 PBC、 ABC 的面积分别为 s1 、 面 面 面
s2 、 s3 、 s ,体积为 V,其内切求的半径为 r,

球心为 O,则有 V = r ( s1 + s2 + s3 + s) 。

1 3

A

O r
C

B
2

平面上,点 A、C 为射线 PM 上 的两点,点 B、D 为射线 PN 上的

P B A D N

两点, 则有

s?PAB PA ? PB = ; 空间中, s?PCD PC ? PD

C

点 A、 为射线 PM 上的两点, B、 C 点 D 为射线 PN 上的两点,点 E、F 为 射 线 PL 上 的 两 点 , 则 有
A C

M
P B E F L D N

VP ? ABE PA ? PB ? PE = 。 VP ?CDF PC ? PD ? PF

M

平面上,到直线 l 的距离相等的点的集合是与直线平行且等距的 两条直线 l1 , l2 ;空间中,到直线 l 的距离相等的点的集合是直的圆形曲 面;空间中,到平面 α 的距离相等的点的集合是与平面 α 平行的两个 平面 β , γ 。 平面上,到两定点的距离的和等于一个常数(大于两定点间的距 离)的点的集合是椭圆;空间中,到两定点的距离的和等于一个常数 (大于两定点间的距离)的点的集合是椭圆面。 平面上,到两定点的距离的差等于一个常数(小于两定点间的距 离)的点的集合是双曲线;空间中,到两定点的距离的差等于一个常 数(小于两定点间的距离)的点的集合是双曲面。 在平面, 到定直线与定点的距离相等的点的距离相等的点的集合 是一条抛物线;空间中,到定平面与定点的距离相等的点的距离相等
3

的点的集合是一个抛物线面。 平行于同一条直线的两条直线平行。 平行一同一个平面的两个平面平行。 因此,我们在以后的数学学习中要善于将平面中的几何与空间的 几何进行比较,将一维、二维、三维的进行比较分析有利于发散数学 思维。

4


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