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(浙江专用)2018版高中数学第一章空间几何体1.31.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积学案新人教A版必修2

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 目标定位 1.了解表面与展开图的关系.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式;能 运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题. 自 主 预 习 1.多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开图的面积. 2.旋转体的表面积 名称 图形 公式 底面积:S 底=2π r 2 圆柱 侧面积:S 侧=2π rl 表面积:S=2π rl+2π r 底面积:S 底=π r 2 2 圆锥 侧面积:S 侧=π rl 表面积:S=π rl+π r 2 上底面面积:S 上底=π r′ 圆台 下底面面积:S 下底=π r 2 2 侧面积:S 侧=π l(r+r′) 表面积:S=π (r′ +r +r′l+rl) 2 2 3.体积公式 (1)柱体:柱体的底面面积为 S,高为 h,则 V=Sh. 1 (2)锥体:锥体的底面面积为 S,高为 h,则 V= Sh. 3 1 (3)台体:台体的上、下底面面积分别为 S′、S,高为 h,则 V= (S′+ S′S+S)h. 3 1 即 时 自 测 1.判断题 (1)直棱柱的侧面展开图是矩形,一边是棱柱的侧棱,另一边等于棱柱的底面周长.(√) (2)圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形.(×) (3)柱体的底面积为 S,高为 h,其体积 V=Sh,特别地,圆柱的底面半径为 r,高为 h;其 体积 V=π r h.(√) (4)已知圆锥 SO 的底面半径 r=2,高为 4,则其体积为 16π .(×) 提示 (2)圆锥的侧面展开图是一个扇形. 1 16 2 (4)V= π ×2 ×4= π . 3 3 2.圆锥的母线长为 5,底面半径为 3,则其侧面积等于( A.15 B.15π C.24π ) D.30π 2 解析 S 侧=π rl=π ×3×5=15π . 答案 B 3.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周, 所得几何体的侧面积是( A.4π B.3π C.2π D.π ) 解析 底面圆半径为 1,高为 1,侧面积 S=2π rh=2π ×1×1=2π .故选 C. 答案 C 4.圆台 OO′的上、下底面半径分别为 1 和 2,高为 6,则其体积等于________. 1 2 2 解析 V= π (1 +1×2+2 )×6=14π . 3 答案 14π 类型一 空间几何体的表面积 【例 1】 如图所示,已知直角梯形 ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5 cm,BC=16 cm, AD=4 cm.求以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 解 以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台, 其上底半径是 4 cm, 下底半径是 16 cm, 母线 DC= 5 +(16-4) =13(cm). ∴该几何体的表面积为π (4+16)×13+π ×4 +π ×16 =532π (cm ). 规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上,因此准确把握轴截面 中的相关量是求解旋转体表面积的关键. 2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、 侧棱及其在底面的射影与高、 底面边长等构成的直 2 2 2 2 2 2 角三角形(或梯形)求解. 【训练 1】 如图,已知棱长为 a,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC,求它的表面积. 解 先求△SBC 的面积,过点 S 作 SD⊥BC,交 BC 于点 D. 因为 BC=a,SD= SB -BD = 1 所以 S△SBC= BC·SD 2 1 3 3 2 = a× a= a . 2 2 4 因此,四面体 S-ABC 的表面积 S=4× 类型二 空间几何体的体积(互动探究) 【例 2】 如图, 三棱台 ABC-A1B1C1 中, AB∶A1B1=1∶2, 求三棱锥 A1-ABC, 三棱锥 B-A1B1C, 三棱锥 C-A1B1C1 的体积之比. 3 2 a = 3a2. 4 2 2 2 3 ?a? a2-? ? = a. 2 ? ? 2 [思路探究] 探究点一 题中三棱台与三棱锥有什么关系? 提示 题中三个三棱锥可看作是由三棱台分割而成的. 探究点二 求体积的常用方法有哪些? 提示 求几何体体积的常用方法有:公式法,等积变换法,补体法,分割法. 解 设棱台的高为 h,S△ABC=S,则 S△A1B1C1=4S. 1 1 ∴VA1-ABC= S△ABC·h= Sh, 3 3 VC-A1B1C1= S△A1B1C1·h= Sh. 1 7 又 V 台= h(S+4S+2S)= Sh, 3 3 ∴VB-A1B1C=V 台-VA1-ABC-VC-A1B1C1 1 3 4 3 3 7 Sh 4Sh 2 = Sh- - = Sh, 3 3 3 3 ∴体积比为 1∶2∶4. 规律方法 求几何体体积的常用方法 【训练 2】 如图, 在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求 A 到平面 A1BD 的距离 d. 解 在三棱锥 A1-ABD 中,AA1⊥平面 ABD,AB=AD=AA1=a, A1B=BD=A1D= 2a, ∵VA1-ABD=VA-A1BD, 1 1 2 1 1 3 ∴ × a ·a= × × 2a× · 2a·d. 3 2 3 2 2 ∴d= 3 3 a.∴A 到平面 A1BD 的距离为 a. 3 3 类型三 与三视图有关的表面积、体积问题 【例 3】 一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正视图如图所示,则该四棱锥侧 面积和体积分别是( ) A.4 5,8 8 C.4( 5+1), 3 B.4 5, D.8,8 8 3 4 解析 由正视图得出四棱锥的底面边长与高,进而求出侧面积与体积. 由正视图知:四棱锥的底面是边长为 2 的正方形,四棱锥的高为 2, 1 8 2 ∴V= ×2 ×2= .四棱锥的侧面是全等的等腰三角形,底为

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