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广东省深圳市高级中学2015-2016学年高二上学期期中考试理科数学试卷


深圳市高级中学 2015-2016 学年第一学期期中测试

高二数学
命题人:阮飞燕 审题人:刘功盛 本试卷由二部分组成。第一部分:高一年级基础知识能力部分(占_64__分) ;第二部分: 本学期知识内容(占__86_分) 第Ⅰ卷为高一所学部分和第Ⅱ卷为高二所学部分,第Ⅰ卷为 1-10 题,共 64 分,第Ⅱ卷 为 11-22 题,共 86 分。全卷共计 150 分。考试时间为 120 分钟。 注意事项: 1、答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2、每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦 干净后,再涂其它答案,不能答在试题卷上。 3、考试结束,监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。

第Ⅰ卷(本卷共 64 分)
一.选择题:共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的一项。 1.设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A∪B,则集合 空子集共有( C ) A.3 个 (A∩B)的非

B.4 个
1 ? 2

C.7 个

D.8 个

2.已知 x=ln π,y=log52, z =e ,则( D ) A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x 3.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( C )

A.

1 3

B.

2 3

C.1

D.2

4.如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2 ,- 2 ),角 速度为 1,那么点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为( C )

? x ? y ? 6, ? 5.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? ?2, 则 z=2x+3y 的最小值为( B ) ? x ? 1, ?
A.3 B.5 C.14 D.17

1 1 6.设 a>0,b>0.若 3 是 3a 与 3b 的等比中项,则 ? 的最小值为( B ) a b 1 A.8 B.4 C.1 D. 4
二.填空题:本大题共两小题,每小题 5 分。 7. a =(2,3),b=(-3,5) ,则 a在b 方向上的投影为___

9 ______. 4

8.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S9=72,则 a2+a4+a9=___24__________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 9. (本小题满分 10 分)已知函数 f(x)= 3 sin2x-2sin x.
2

(1)求函数 f(x)的最大值; (2)求函数 f(x)的零点的集合. 解:解:(1)因为 f(x)= 3 sin2x-(1-cos2x)

? )-1, 6 ? ? 所以,当 2x+ =2kπ + , 6 2 ? 即 x=kπ + (k∈Z)时,函数 f(x)取得最大值 1. 6 ? 1 (2)解法一:由(1)及 f(x)=0 得 sin(2x+ )= , 2 6
=2sin(2x+

? ? ? 5? ? =2kπ + ,或 2x+ =2kπ + ,即 x=kπ ,或 x=kπ + . 6 6 6 6 3 ? 故函数 f(x)的零点的集合为{x|x=kπ ,或 x=kπ + ,k∈Z}. 3
所以 2x+ 解法二:由 f(x)=0 得 2 3 sinxcosx=2sin x,
2

于是 sinx=0,或 3 cosx=sinx, 即 sinx=0 或 tanx= 3 .

? . 3 ? 故函数 f(x)的零点的集合为{x|x=kπ ,或 x=kπ + ,k∈Z}. 3
由 sinx=0 可知 x=kπ ;由 tanx= 3 可知 x=kπ +

10 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 f ( x ) ?

1 x , 且 f ( x) ? x 有 唯 一 解 , f ( x1 ) ? , 1003 a ( x ? 2)

xn?1 ? f ( xn )(n ? N * ) 。
(1)求实数 a ; (2)求数列 {xn } 的通项公式; (3)若 an ?
4 1 ? 4009 ,数列 b1 , b2 ? b1 , b3 ? b2 ,?, bn ? bn?1 是首项为 1,公比为 的等比数列,记 xn 3

cn ? anbn ,求 {cn } 的前 n 项和。

解: (1)

x ?x a ( x ? 2) 2 xn xn ? 2

∴ ax2 ? (2a ? 1) x ? 0 有唯一解 x ? 0 ∴
1 1 1 ? ? xn ?1 xn 2

∴a ?

1 2

(2) xn?1 ?



1 1 1 n ? 2004 ? ? (n ? 1) ? xn x1 2 2

∴ xn ?

2 n ? 2004

3 1 (3) an ? 2n ? 1 ,又 bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn?1 ) ? (1 ? n ) 2 3 3 2n ? 1 ∴ cn ? anbn ? (2n ? 1 ? n ) 2 3 1 3 2n ? 1 n ?1 ∵ T1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2n ? 1 ? n 2 T2 ? ? 2 ? ? ? n ? 1 ? n 3 3 3 3 3 2 n ?1 ∴ S n ? (n ? 1 ? n ) 2 3

第Ⅱ卷(本卷共计86分)
四.选择题:共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的一项。 11.已知

z ? 2 ? i ,则复数 z=( B ) 1? i

A.-1+3i B.1-3i C.3+i D.3-i 2 2 12.已知 F1,F2 为双曲线 C:x -y =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=( A ) A.

3 4

B.

3 5

C.

1 4

D.

4 5

13.已知向量 a=(1,1,0) ,b=(-1,0,2) ,且 k a+b 与 2 a-b 互相垂直,则 k 的 值是( D ) A. 1 B.

1 5

C.

3 5

D.

7 5

14.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是( A ) A.a>b+1 B.a>b-1 C.a2>b2 D.a3>b3 15.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( D ) A.

2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

6 3

16.已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点.若 |FA|=2|FB|,则 k=( D ) A.

1 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

五.填空题:本大题共两小题,每小题5分。 17.如果 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是((0,1) )

18.已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2, 则点 B 到平面 EFG 的距离为(

2 11 11



六、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 19. (本小题满分 10 分)已知命题 P 函数 y ? log a (1 ? 2 x) 在定义域上单调递增; 命题 Q 不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立
2

若 P ? Q 是真命题,求实数 a 的取值范围 解∵命题 P 函数 y ? loga (1 ? 2 x) 在定义域上单调递增; ∴ 0 ? a ?1 又∵命题 Q 不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立;
2

∴a ? 2
a?2?0 ? 或? , 2 ?? ? 4(a ? 2) ? 16(a ? 2) ? 0

即 ?2 ? a ? 2

∵ P ? Q 是真命题,∴ a 的取值范围是 ?2 ? a ? 2 20. (本小题满分 12 分)已知点 P 是⊙ O : 过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D , x2 ? y 2 ? 9 上的任意一点, 动点 Q 满足 DQ ?

????

? 2 ??? DP 。 3
(2)已知点 E (1,1) ,在动点 Q 的轨迹上是否存在两个不重合

(1)求动点 Q 的轨迹方程; 的两点 M 、 N ,使 OE ? 若不存在,请说明理由。

??? ?

? ???? 1 ???? (OM ? ON ) (O 是坐标原点),若存在,求出直线 MN 的方程, 2

解: (1)设 P( x0 , y0 ), Q ? x, y ? ,依题意,则点 D 的坐标为 D( x0 ,0) ∴ DQ ? ( x ? x0 , y), DP ? (0, y0 )

????

??? ?



? ? ? ? 2 ? ? ?? D Q? D P ∴ 3

? x ? x0 ? 0 ? x0 ? x ? ? 即? ? 2 3 y ? y0 y0 ? y ? ? 3 2 ? ?


∵ P 在⊙ O 上,故 x02 ? y02 ? 9 ∴ 点 Q 的轨迹方程为 (2)假设椭圆

x2 y2 ? ?1 9 4

x2 y2 ? ?1 9 4

x2 y2 ? ? 1 上存在两个不重合的两点 M ( x1, y1 ), N ? x2 , y2 ? 满足 9 4

? x1 ? x2 ?1 ??? ? 1 ???? ? ???? ? ? x1 ? x2 ? 2 ? 2 OE ? (OM ? ON ) ,则 E (1,1) 是线段 MN 的中点,且有 ? 即? …9 分 2 ? y1 ? y2 ? 1 ? y1 ? y2 ? 2 ? ? 2
又 M ( x1, y1 ), N ? x2 , y2 ? 在椭圆

x2 y2 ? ? 1上 9 4



? x12 y12 ? ?1 ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 ? 9 4 两式相减,得 ? 2 2 9 4 ? x2 ? y2 ? 1 ? 4 ? 9
k MN ? y1 ? y2 4 ?? x1 ? x2 9
∴ 直线 MN 的方程为 4 x ? 9 y ? 13 ? 0





椭圆上存在点 M 、 N 满足 OE ?

??? ?

? ???? 1 ???? (OM ? ON ) ,此时直线 MN 的方程为 2

4 x ? 9 y ? 13 ? 0
21. (本小题满分 12 分)如图, 四棱锥 S—ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, SD⊥底面 ABCD, . AD ? 2 ,DC=SD=2.点 M 在侧棱 SC 上,∠ABM=60°

(Ⅰ)证明:M 是侧棱 SC 的中点; (Ⅱ)求二面角 S-AM-B 的余弦值. 解法一: (Ⅰ)作 ME∥CD 交 SD 于点 E,则 ME∥AB,ME⊥平面 SAD. 连接 AE,则四边形 ABME 为直角梯形.

作 MF⊥AB,垂足为 F,则四边形 AFME 为矩形. 设 ME=x,则 SE=x, AE ?

ED 2 ? AD 2 ? (2 ? x) 2 ? 2 ,

MF ? AE ? (2 ? x) 2 ? 2 ,FB=2-x.
2 由 MF=FB· tan60° ,得 ( 2 ? x ) ? 2 ?

3 (2 ? x) ,

解得 x=1, 即 ME=1,从而 ME ?

1 DC . 2

所以 M 为侧棱 SC 的中点. (Ⅱ) MB ? ,AB=2,所以△ABM 为等边三角形. BC 2 ? MC 2 ? 2 ,又∠ABM=60°

又由(Ⅰ)知 M 为 SC 中点,

SM ? 2 , SA ? 6 ,AM=2,故 SA2=SM2+AM2,∠SMA=90° .
取 AM 中点 G,连接 BG,取 SA 中点 H,连接 GH,则 BG⊥AM,GH⊥AM.由此知∠BGH 为二面角 S-AM-B 的平面角. 连接 BH.在△BGH 中,

BG ?

3 1 2 , BH ? AM ? 3 , CH ? SM ? 2 2 2 BG 2 ? CH 2 ? BH 2 6 . ?? 2 ? BG ? GH 3

AB 2 ? AH 2 ?

22 , 2

所以 cos?BGH ?

解法二:以 D 为坐标原点,射线 DA、DC、DS 分别为 x、y、z 轴正半轴,建立如图所示的直 角坐标系 D—xyz.

设 A( 2 ,0,0) ,则 B( 2 ,2,0) ,C(0,2,0) ,S(0,0,2). (Ⅰ)设 SM ? ? MC (λ>0),则 M(0,

2? 2 2 ?2 , ), MB =( 2 , , ). 1 ? ? 1? ? 1? ? 1 ? ?

又 AB =(0,2,0) , 〈 MB , AB 〉=60° , 故 MB ·AB =| MB |· | AB |cos60° , 即

4 2 2 ?2 2 ? ( 2)2 ? ( ) ?( ) , 1? ? 1? ? 1? ?

解得 λ=1,即 SM ? MC . 所以 M 为侧棱 SC 的中点. (Ⅱ)由 M(0,1,1) ,A( 2 ,0,0) ,得 AM 的中点 G(

2 1 1 , , ). 2 2 2

又 GB =(

1 2 3 , ,? ) , MS =(0,-1,1) , AM =( ? 2 ,1,1), 2 2 2

GB ? AM ? 0 , MS ? AM ? 0 ,
所以 GB ? AM , MS ? AM . 因此〈 GB , MS 〉等于二面角 SAMB 的平面角.

cos〈 GB , MS 〉=

GB ? MS | GB || MS |

??

6 . 3

22 . ( 本小题满分 12 分 ) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a > b > 0) 的两个焦点分别为 F1( - c,0) 和 a2 b2

F2(c,0)(c>0),过点 E(

a2 ,0)的直线与椭圆相交于 A,B 两点,且 F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B|. c

(1)求椭圆的离心率; (2)求直线 AB 的斜率; (3)设点 C 与点 A 关于坐标原点对称,直线 F2B 上有一点 H(m,n)(m≠0)在△ AF1C 的外接圆上,求

n 的值. m
(1)解:由 F1A∥F2B 且|F1A|=2|F2B|,

a2 ?c | EF2 | | F2 B | 1 1 c ? .. 得 , 从而 ? ? 2 2 a | EF1 | | F1 A | 2 ?c c
整理,得 a2=3c2.故离心率 e ?

c 3 . ? a 3

(2)解:由(1),得 b2=a2-c2=2c2.所以椭圆的方程可写为 2x2+3y2=6c2. 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?

a2 ) ,即 y=k(x-3c). c
2 ? ? y ? k ( x ? 3c ), 2 2 2 ? ?2 x ? 3 y ? 6c .

由已知设 A(x1,y1),B(x2,y2),则它们的坐标满足方程组 ? 消去 y 并整理,得(2+3k2)x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0. 依题意,Δ=48c2(1-3k2)>0,得 ?

3 3 ?k? . 3 3

而 x1 ? x 2 ?

18k 2 c ,① 2 ? 3k 2

x1 x 2 ?

27k 2 c 2 ? 6c 2 .② 2 ? 3k 2

由题设知,点 B 为线段 AE 的中点,所以 x1+3c=2x2.③ 联立①③解得 x1 ?

9k 2 c ? 2c 9k 2 c ? 2c x ? , . 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

将 x1,x2 代入②中,解得 k ? ?

2 . 3
3c . 2

(3)解法一:由(2)可知 x1=0, x 2 ? 当k ? ?

2 时,得 A(0, 2c ),由已知得 C(0, ? 2c ). 3
c 2 2 c c?? ( x ? ) ,直线 l 与 x 轴的交点( ,0)是 2 2 2 2

线段 AF1 的垂直平分线 l 的方程为 y ?

△ AF1C 的外接圆的圆心.因此外接圆的方程为 ( x ? ) ? y ? ( ? c) .
2 2 2

c 2

c 2

直线 F2B 的方程为 y ?

2 ( x ? c) ,于是点 H(m,n)的坐标满足方程组

5 ? ? m ? c, c 2 9c 2 2 ? , 3 ?(m ? ) ? n ? ? 2 4 由 m≠0,解得 ? ? ?n ? 2 (m ? c ), ?n ? 2 2 c. ? ? 3 ?


n 2 2 . ? m 5 2 n 2 2 时,同理可得 ? ? . 3 m 5
3c . 2

当k ?

解法二:由(2)可知 x1=0, x 2 ? 当k ? ?

2 时,得 A(0, 2c ),由已知得 C(0, ? 2c ). 3

由椭圆的对称性知 B,F2,C 三点共线.因为点 H(m,n)在△ AF1C 的外接圆上,且 F1A∥F2B,所以四 边形 AF1CH 为等腰梯形. 由直线 F2B 的方程为 y ?

2 ( x ? c) ,知点 H 的坐标为(m, 2m ? 2c ).

因为|AH|=|CF1|,所以 m2 ? ( 2m ? 2c ? 2c) 2 ? a 2 , 解得 m=c(舍),或 m ? 则n ?

5 c. 3

2 2 n 2 2 c .所以 ? . 3 m 5 2 n 2 2 时,同理可得 ? ? . 3 m 5

当k ?


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