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人教A版新课标高中数学必修二第二章单元测试题(含答案)


高二周末检测题
一、选择题 1.下面四个命题: ①分别在两个平面内的两直线是异面直线; ②若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面; ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行. 其中正确的命题是( A.①② ) C.①③ ) C、异面 ) D、以上都有可能 D.②③

8.如图,在△ABC 中,∠BAC=90° ,PA⊥面 ABC,AB=AC,D 是 BC 的中点,则图中直角三角形的个数是( A.5 C.10 B .8 D.6 )

9. 如右图, 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, O 是底面 ABCD 的中心,M、N 分别是棱 DD1、D1C1 的中点,则直线 OM( A.与 AC、MN 均垂直相交 B.与 AC 垂直,与 MN 不垂直 C.与 MN 垂直,与 AC 不垂直 D.与 AC、MN 均不垂直 )

B.②④

2 .垂直于同一条直线的两条直线一定 ( A、平行 B、相交

A'
10、如图:直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,点 P、Q 分别在侧棱 AA1 和 CC1 上,AP=C1Q,则四棱锥 B—APQC 的体积为( )

C' B' Q

3.若三个平面两两相交,有三条交线,则下列命题中正确的是( A.三条交线为异面直线 C.三条交线交于一点 B.三条交线两两平行

P

D.三条交线两两平行或交于一点

4. 在空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点, 如果与 EF、GH 能相交于点 P ,那么 ( A、点 P 必在直线 AC 上 C、点 P 必在平面 BCD 内 ) B、点 P 必在直线 BD 上 D、点 P 必在平面 ABC 外 )

B 11.(2009· 海南、宁夏高考)如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E、
1 F,且 EF= ,则下列结论错误的是( 2 A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD )

V A、 2

V B、 3

V C、 4

V D、 5

A

C

5.若平面 α⊥平面 β,α∩β=l,且点 P∈α,P?l,则下列命题中的假命题是( A.过点 P 且垂直于 α 的直线平行于 β C.过点 P 且垂直于 β 的直线在 α 内

C.三棱锥 A—BEF 的体积为定值 D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等

B.过点 P 且垂直于 l 的直线在 α 内 D.过点 P 且垂直于 l 的平面垂直于 β )

12.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C,有如下四个结论: ①AC⊥BD;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面 BCD 成 60°的角;④AB 与 CD 所成的角是 60°. 其中正确结论的个数是( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 4

6.设 a,b 为两条不重合的直线,α ,β 为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是( A.若 a,b 与 α 所成的角相等,则 a∥b C.若 a?α ,b?β ,a∥b,则 α ∥β B.若 a∥α ,b∥β ,α ∥β ,则 a∥b D.若 a⊥α ,b⊥β ,α ⊥β ,则 a⊥b

二、填空题 13、已知 PA 垂直平行四边形 ABCD 所在平面,若 PC ? BD ,平行则四边形 ABCD 一定是 .

7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是线段 A1B1,B1C1 上的不与端点重合的动点,如果 A1E=B1F, 有下面四个结论: ①EF⊥AA1; ②EF∥AC; ) C.②④ D.①④ ③EF 与 AC 异面; ④EF∥平面 ABCD.

14.已知三棱锥 D-ABC 的三个侧面与底面全等,且 AB=AC= 3,BC=2,则以 BC 为棱,以面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的平面角大小为 .

其中一定正确的有( A.①② B.②③

15.如下图所示,以等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高 AD 为折痕. 使△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面,则: (1)BD 与 CD 的关系为________.(2)∠BAC=________. 16.在正方体 ABCD—A′B′C′D′中,过对角线 BD′的一个平面 交 AA′于 E,交 CC′于 F,则 ①四边形 BFD′E 一定是平行四边形. ②四边形 BFD′E 有可能是正方形. ③四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形. ④平面 BFD′E 有可能垂直于平面 BB′D. 以上结论正确的为__________.(写出所有正确结论的编号) 三、解答题 17、如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD, 点 E、F 分别是 AB、BD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥面 ACD. (2)平面 EFC⊥平面 BCD.

20.如图,DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120° , P,Q 分别为 AE,AB 的中点. (1)证明:PQ∥平面 ACD; (2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值.

21.如图,△ABC 中,AC=BC=

2 AB,ABED 是边长为 1 的正方 2

形,平面 ABED⊥底面 ABC,若 G,F 分别是 EC,BD 的中点. 18.如图所示,边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 (1)求证:GF∥底面 ABC; (2)求证:AC⊥平面 EBC; (3)求几何体 ADEBC 的体积 V.

ABCD 所在的平面,BC=2 2,M 为 BC 的中点.
(1)证明:AM⊥PM; (2)求二面角 P-AM-D 的大小.

19.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 与△A1B1C1 都为正三角 形且 AA1⊥面 ABC,F、F1 分别是 AC,A1C1 的中点. 求证:(1)平面 AB1F1∥平面 C1BF; (2)平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.

高二周末检测题答
一、选择题 二、填空题 13、菱形 14、90° 三、解答题 17、证明:(1)∵E、F 分别是 AB、BD 的中点, ∴EF∥AD. 又 AD?平面 ACD, EF?平面 ACD, ∴直线 EF∥面 ACD. (2)在△ABD 中,∵AD⊥BD,EF∥AD, ∴EF⊥BD. 在△BCD 中,∵CD=CB,F 为 BD 的中点,∴CF⊥BD. ∵CF∩EF=F,∴BD⊥平面 EFC, 又∵BD?平面 BCD, ∴平面 EFC⊥平面 BCD. 18、[解析] (1)证明:如图所示,取 CD 的中点 E, 连接 PE,EM,EA, ∵△PCD 为正三角形, ∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60°= 3. ∵平面 PCD⊥平面 ABCD, ∴PE⊥平面 ABCD,而 AM? 平面 ABCD,∴PE⊥AM. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴△ADE,△ECM,△ABM 均为直角三角形,由勾股定理可求得 EM= 3,AM= 6,AE=3, ∴EM +AM =AE .∴AM⊥EM. 又 PE∩EM=E,∴AM⊥平面 PEM,∴AM⊥PM. (2)解:由(1)可知 EM⊥AM,PM⊥AM, ∴∠PME 是二面角 P-AM-D 的平面角. ∴tan∠PME= =
2 2 2

∵F、F1 分别是 AC、A1C1 的中点, ∴B1F1∥BF,AF1∥C1F. 又∵B1F1∩AF1=F1,C1F∩BF=F,

1-5 BDDAB 6-10 DDBAB 11-12 DC

15、(1)BD⊥CD

(2)60°

16、①③④

∴平面 AB1F1∥平面 C1BF. (2)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AA1⊥平面 A1B1C1, ∴B1F1⊥AA1. 又 B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1=A1, ∴B1F1⊥平面 ACC1A1,而 B1F1? 平面 AB1F1, ∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1. 20.(1)证明:因为 P,Q 分别为 AE,AB 的中点, 所以 PQ∥EB.又 DC∥EB,因此 PQ∥DC, 又 PQ?平面 ACD, 从而 PQ∥平面 ACD. (2)如图,连接 CQ,DP,因为 Q 为 AB 的中点,且 AC=BC, CQ⊥AB. 因为 DC⊥平面 ABC,EB∥DC, 所以 EB⊥平面 ABC,因此 CQ⊥EB. 故 CQ⊥平面 ABE. 1 由(1)有 PQ∥DC,又 PQ= EB=DC, 2 所以四边形 CQPD 为平行四边形,故 DP∥CQ, 因此 DP⊥平面 ABE, ∠DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角, 在 Rt△DPA 中,AD= 5,DP=1, sin∠DAP= 5 , 5 5 . 5 所 以

因此 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为

PE EM

3 3

=1,∴∠PME=45°.

21[分析] (1)转化为证明 GF 平行于平面 ABC 内的直线 AC;(2)转化为证明 AC 垂直于平面 EBC 内的 两条相交直线 BC 和 BE;(3)几何体 ADEBC 是四棱锥 C-ABED. [解] (1)证明:连接 AE,如下图所示.

∴二面角 P-AM-D 的大小为 45°. 19[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理,寻找使结论成立的充分条件. [证明] (1)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,

∵ADEB 为正方形, ∴AE∩BD=F,且 F 是 AE 的中点, 又 G 是 EC 的中点, ∴GF∥AC,又 AC? 平面 ABC,GF?平面 ABC, ∴GF∥平面 ABC. (2)证明:∵ADEB 为正方形,∴EB⊥AB, 又∵平面 ABED⊥平面 ABC,平面 ABED∩平面 ABC=AB,EB? 平面 ABED, ∴BE⊥平面 ABC,∴BE⊥AC. 又∵AC=BC=
2 2

2 AB, 2
2

∴CA +CB =AB , ∴AC⊥BC. 又∵BC∩BE=B,∴AC⊥平面 BCE. (3)取 AB 的中点 H,连 GH,∵BC=AC= 2 2 AB= , 2 2

1 ∴CH⊥AB,且 CH= ,又平面 ABED⊥平面 ABC 2 1 1 1 ∴GH⊥平面 ABCD,∴V= ×1× = . 3 2 6


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