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2017届高考数学第三卷模拟仿真文科卷


2017 年全国高考 3 卷仿真卷
文科数学

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,交答题卡,试卷不交

第Ⅰ卷
一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) .已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={1,3,5,6},则?UA=( A.{1,3,5,6} B.{2,3,7} C.{2,4,7} ) D.{2,5,7} )

2i (2) .(2015· 安徽高考).设 i 是虚数单位,则复数 在复平面内所对应的点位于( 1-i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限 )

(3)(2016· 北师大附中模拟).已知向量 a=(x-1,2),b=(2,1),则 a⊥b 的充要条件是( 1 A.x=- 2 B.x=-1 C.x=5 D.x=0

? ?0≤x≤2, (4).设不等式组? 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的 ?0≤y≤2 ?

概率是( π A. 4

) π-2 B. 2 π C. 6 ) 3 C. 5
4 3 1

4-π D. 4

π π? 3 (5) .若 α∈? ?-2,2?,sin α=-5,则 cos(-α)=( 4 A.- 5 4 B. 5

3 D.- 5

(6)(2016 年全国 3 卷).已知 a ? 2 3 , b ? 4 4 , c ? 253 ,则 (A) b ? a ? c (B) a ? b ? c (C) b ? c ? a (D) c ? a ? b ) 1 D. 4

(7) .执行如图所示的程序框图,若输入的实数 x=4,则输出结果为(

A.4 sin A cos B (8).在△ABC 中,若 = ,则 B 的值为( a b A.30° B.45°

B.3 ) C.60°

C.2

D.90° )

(9).(2015· 陕西高考).一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

A.3π (10).已知 a,b∈R+,且 a+b=1,则 ab 的最大值为( A.1 1 B. 4 1 C. 2

B.4π ) D. 2 2

C.2π+4

D.3π+4

1 1? y2 (11).(2015· 南昌二模).已知椭圆: +x2=1,过点 P? ?2,2?的直线与椭圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 被点 P 平分, 9 则直线 AB 的方程为( A.9x-y-4=0 ) B.9x+y-5=0 C.2x+y-2=0 D.x+y-5=0

(12).(2016 年 3 卷 12 题).已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: x 2

a2

?

的左焦点,A,B 分别为 C y2 ? 1( a ? b ? 0) b2

的左,右顶点.P 为 C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( ) (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13).(2016 卷 3 改编).若 x,y 满足约束条件错误!未找到引用源。 则 z=x+y 的最大值为_______ x π? (14) .函数 f(x)= 3sin? ?2-4?,x∈R 的最小正周期为________ (15) . (2013· 天津高考文).已知过点 P(2,2) 的直线与圆(x-1)2+y2=5 相切, 且与直线 ax-y+1=0 垂直, 则 a=_____ (16).(2016 年文 3 卷 16 题).已知 f(x)为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? e 线方程式:_____________________________.
? x ?1

? x ,则曲线 y= f(x)在点(1,2)处的切

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) (文科)(2015· 北京高考改编)已知等差数列{an}满足 a1+a2=10,a4-a3=2. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和

(18) (本小题满分 12 分) (2014· 天津高考).某校夏令营有 3 名男同学 A,B,C 和 3 名女同学 X,Y,Z,其年级情况如下表:

一年级 男同学 女同学 A X

二年级 B Y

三年级 C Z

现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学” ,求事件 M 发生的概率.

(19) (本小题满分 12 分) (本小题满分 12 分)如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点, 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图(2). (1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE;

(20) (2014 年全国 2 卷,本小题满分 12 分) 设 F1 ,F2 分别是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左,右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 a 2 b2

MF1 与 C 的另一个交点为 N。 3 (I)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (II)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5|F1N|,求 a,b。

(21) (2014 年全国 2 卷,本小题满分 12 分)

3 2 已知函数 f(x)= x ? 3x ? ax ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2.

(I)

求 a;

(II) (II)证明:当时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点。

请考生在[22]、[23]题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做,则 按所做的第一题计分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , ( t 为参数, t ? 0 ) ,其中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为极点, x 轴正半轴为 ? y ? t sin ? ,

极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? ,曲线 C3 : ? ? 2 3 cos ? . (Ⅰ).求曲线 C2 直角坐标方程和曲线 C1 普通方程,并求它们交点的直角坐标; (Ⅱ).若 C2 与 C1 相交于点 A , C3 与 C1 相交于点 B ,求 AB 的最大值.

23(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? a (I)当 a=2 时,求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (II)设函数 g ( x) ?| 2 x ? 1|, 当 x ? R 时,f(x)+g(x)≥3,求 a 的取值范围.

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试题类型:新课标Ⅲ

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学正式答案
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。
(1)D (8)C (2)C (9)B (3)A (4)D (5)A (11)A (6)A (12)C (7)B

(10)B

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 (22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分
(13)

3 2 ?? 3

(14)

(15) y ? ?2 x ? 1 (16)4

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意得 a1 ? S1 ? 1 ? ?a1 ,故 ? ? 1 , a1 ?

1 , a1 ? 0 . 1? ?

由 Sn ? 1 ? ?an , Sn ?1 ? 1 ? ?an ?1 得 an ?1 ? ?an ?1 ? ?an ,即 an ?1 (? ? 1) ? ?an . 由 a1 ? 0 , ? ? 0 得 an ? 0 ,所以

an ?1 ? . ? an ? ?1
因此 {an } 是首项为

1 ? 1 ? n ?1 ( ) . ,公比为 的等比数列,于是 an ? 1? ? ? ?1 1? ? ? ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 S n ? 1 ? ( 解得 ? ? ?1 . (18) (本小题满分 12 分)

? ? ?1

) n ,由 S5 ?

? 5 1 31 ? 5 31 ) ? ) ? 得1 ? ( ,即 ( , 32 32 ? ?1 32 ? ?1

解: (Ⅰ)由折线图这数据和附注中参考数据得

t ? 4 , ? (ti ? t ) 2 ? 28 ,
i ?1

7

? ( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 ,

? (t
i ?1

7

i

? t )( yi ? y) ?

?t y ? t? y
i ?1 i i i ?1

7

7

i

? 40.17 ? 4 ? 9.32 ? 2.89 ,

r?

2.89 ? 0.99 . 0.55 ? 2 ? 2.646

因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相关相当高,从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系.

9.32 ?? ? 1.331 及(Ⅰ)得 b (Ⅱ)由 y ? 7

? (t
i ?1

7

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

7

?

? t )2

2.89 ? 0.103, 28

?t ? 1.331? 0.103? 4 ? 0.92 . ? ? y ?b a
? ? 0.92 ? 0.10t . 所以, y 关于 t 的回归方程为: y ? ? 0.92 ? 0.10? 9 ? 1.82 . 将 2016 年对应的 t ? 9 代入回归方程得: y
所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. (19) (本小题满分 12 分) 解: ( Ⅰ ) 由 已 知 得 AM ?

2 AD ? 2 , 取 BP 的 中 点 T , 连 接 AT , TN , 由 N 为 PC 中 点 知 TN // BC , 3

TN ?

1 BC ? 2 . 2

又 AD // BC ,故 TN 平行且等于 AM ,四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MN // AT . 因为 AT ? 平面 PAB , MN ? 平面 PAB ,所以 MN // 平面 PAB . ( Ⅱ ) 取 BC 的 中 点 E , 连 结 AE , 由 AB ? AC 得 AE ? BC , 从 而 AE ? AD , 且

AE ? AB2 ? BE2 ? AB2 ? (

BC 2 ) ? 5. 2

以 A 为坐标原点, AE 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,由题意知,

P(0,0,4) , M (0,2,0) , C( 5,2,0) , N (

5 ,1,2) , 2

PM ? (0,2,?4) , PN ? (

5 5 ,1,?2) , AN ? ( ,1,2) . 2 2

?2 x ? 4 z ? 0 ? ?n ? PM ? 0 ? 设 n ? ( x, y, z) 为平面 PMN 的法向量,则 ? ,即 ? 5 ,可取 n ? (0,2,1) , x ? y ? 2z ? 0 ? ? ?n ? PN ? 0 ? 2
于是 | cos ? n, AN ?|?

| n ? AN | 8 5 . ? | n || AN | 25

(20)解:由题设 F ( ,0) .设 l1 : y ? a, l2 : y ? b ,则 ab ? 0 ,且

1 2

A(

a2 b2 1 1 1 a?b ,0), B( , b), P(? , a), Q(? , b), R(? , ). 2 2 2 2 2 2
.....3 分

记过 A, B 两点的直线为 l ,则 l 的方程为 2 x ? (a ? b) y ? ab ? 0 . (Ⅰ)由于 F 在线段 AB 上,故 1 ? ab ? 0 . 记 AR 的斜率为 k1 , FQ 的斜率为 k2 ,则

k1 ?

a ?b a ?b 1 ? ab ? 2 ? ? ? ?b ? k 2 . 2 1? a a ? ab a a
......5 分

所以 AR ∥ FQ .

(Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为 D( x1 ,0) , 则 S ?ABF ?

a ?b 1 1 1 . b ? a FD ? b ? a x1 ? , S ?PQF ? 2 2 2 2
1 1 a ?b ,所以 x1 ? 0 (舍去) , x1 ? 1 . b ? a x1 ? ? 2 2 2

由题设可得

设满足条件的 AB 的中点为 E ( x, y ) . 当 AB 与 x 轴不垂直时,由 k AB ? k DE 可得 而

2 y ? ( x ? 1) . a ? b x ?1

a?b ? y ,所以 y 2 ? x ? 1( x ? 1) . 2
2

当 AB 与 x 轴垂直时, E 与 D 重合.所以,所求轨迹方程为 y ? x ?1 . (21) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? ?2a sin 2x ? (a ?1)sin x .
'

....12 分

(Ⅱ)当 a ? 1 时,

| f ' ( x) |?| a sin 2x ? (a ?1)(cos x ? 1) | ? a ? 2(a ? 1) ? 3a ? 2 ? f (0)
因此, A ? 3a ? 2 . ???4 分
2 当 0 ? a ? 1 时,将 f ( x) 变形为 f ( x) ? 2a cos x ? (a ?1)cos x ?1 .

令 g (t ) ? 2at 2 ? (a ?1)t ?1 , 则 A 是 | g (t ) | 在 [?1,1] 上的最大值, 且当 t ? g (?1) ? a ,g (1) ? 3a ? 2 ,

1? a 时,g (t ) 4a

取得极小值,极小值为 g ( 令 ?1 ?

1? a (a ? 1)2 a 2 ? 6a ? 1 )?? ?1 ? ? . 4a 8a 8a

1? a 1 1 ? 1 ,解得 a ? ? (舍去) ,a ? . 4a 3 5 1 时,g (t ) 在 (?1,1) 内无极值点, 所以 A ? 2 ? 3a . | g (?1) |? a , | g (1) |? 2 ? 3a , | g (?1) |?| g (1) | , 5

(ⅰ) 当0 ? a ? (ⅱ)当

1 1? a ? a ? 1 时,由 g (?1) ? g (1) ? 2(1 ? a) ? 0 ,知 g (?1) ? g (1) ? g ( ). 5 4a

1? a (1 ? a)(1 ? 7a) 1? a a 2 ? 6a ? 1 | g ( ) | ? | g ( ? 1) | ? ? 0 ) |? 又 ,所以 A ?| g ( . 4a 8a 4a 8a

1 ? ? 2 ? 3a, 0 ? a ? 5 ? 2 ? a ? 6a ? 1 1 综上, A ? ? , ? a ?1. 8a 5 ? 3a ? 2, a ? 1 ? ? ?

???9 分

(Ⅲ)由(Ⅰ)得 | f ' ( x) |?| ?2a sin 2 x ? (a ?1)sin x |? 2a? | a ?1| . 当0 ? a ? 当

1 时, | f ' ( x) |? 1 ? a ? 2 ? 4a ? 2(2 ? 3a) ? 2 A . 5

1 a 1 3 ? a ? 1 时, A ? ? ? ? 1 ,所以 | f ' ( x) |? 1 ? a ? 2 A . 5 8 8a 4

当 a ? 1 时, | f ' ( x) |? 3a ?1 ? 6a ? 4 ? 2 A ,所以 | f ' ( x) |? 2 A . 请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果 多做,则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解: (Ⅰ)连结 PB, BC ,则 ?BFD ? ?PBA ? ?BPD, ?PCD ? ?PCB ? ?BCD . 因为 AP ? BP ,所以 ?PBA ? ?PCB ,又 ?BPD ? ?BCD ,所以 ?BFD ? ?PCD . 又 ?PFD ? ?BFD ? 180? , ?PFB ? 2?PCD ,所以 3?PCD ? 180 , 因此 ?PCD ? 60 .
?
?
? (Ⅱ)因为 ?PCD ? ?BFD ,所以 ?PCD ? ?EFD ? 180 ,由此知 C , D, F , E 四点共圆,其圆心既在 CE 的垂直

平分线上,又在 DF 的垂直平分线上,故 G 就是过 C , D, F , E 四点的圆的圆心,所以 G 在 CD 的垂直平分线上,因 此 OG ? CD .

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ) C1 的普通方程为

x2 ? y 2 ? 1, C2 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 . ??5 分 3

(Ⅱ)由题意,可设点 P 的直角坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) ,因为 C2 是直线,所以 | PQ | 的最小值, 即为 P 到 C2 的距离 d (? ) 的最小值,

d (? ) ?

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | ? ? 2 | sin(? ? ) ? 2 | . ??????8 分 3 2

当 且 仅 当 ? ? 2 k? ?

?
6

(k? Z )时 , d (? ) 取 得 最 小 值 , 最 小 值 为

2 ,此时 P 的直角坐标为

3 1 ( , ). 2 2

??????10 分

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| 2 x ? 2 | ?2 . 解不等式 | 2 x ? 2 | ?2 ? 6 ,得 ?1 ? x ? 3 . 因此, f ( x) ? 6 的解集为 {x | ?1 ? x ? 3} . ??????5 分

(Ⅱ)当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ?| 2 x ? a | ?a? |1 ? 2 x |

?| 2 x ? a ? 1 ? 2 x | ?a ?|1 ? a | ?a ,
当x?

1 时等号成立, 2
① ??7 分

所以当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ? 3 等价于 |1 ? a | ?a ? 3 . 当 a ? 1 时,①等价于 1 ? a ? a ? 3 ,无解. 当 a ? 1 时,①等价于 a ? 1 ? a ? 3 ,解得 a ? 2 . 所以 a 的取值范围是 [2, ??) . ??????10 分


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