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北京市西城区2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解

2016-2017 学年北京市西城区高一(上)期末数学试卷
A 卷[必修模块 4]本卷满分:100 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合要求的.
1.如果 θ 是第三象限的角,那么( ) A.sinθ >0 B.cosθ >0 C.tanθ >0 D.以上都不对 2.若向量 =(1,﹣2), =(x,4)满足 ⊥ ,则实数 x 等于( ) A.8 B.﹣8 C.2 D.﹣2 3.若角 α 的终边经过点(﹣4,3),则 tanα =( )
A. B. C. D.

4.函数

是( )

A.奇函数,且在区间

上单调递增

B.奇函数,且在区间

上单调递减

C.偶函数,且在区间

上单调递增

D.偶函数,且在区间

上单调递减

5.函数 f(x)=sinx﹣cosx 的图象( )

A.关于直线

对称 B.关于直线

对称

C.关于直线

对称 D.关于直线

对称

6.如图,在△ABC 中,点 D 在线段 BC 上,且 BD=2DC,若

,则 =( )

A. B. C.2 D. 7.定义在 R 上,且最小正周期为 π 的函数是( ) A.y=sin|x| B.y=cos|x| C.y=|sinx| D.y=|cos2x|

8.设向量 , 的模分别为 2 和 3,且夹角为 60°,则| + |等于( )

A.

B.13

C.

D.19

9.函数

(其中 ω >0,0<φ <π )的图象的一部分如图所示,则( )

A.

B.

C.

D.

10.如图,半径为 1 的圆 M,切直线 AB 于点 O,射线 OC 从 OA 出发,绕 O 点顺时针方向旋转 到 OB,旋转过程中 OC 交⊙M 于 P,记∠PMO 为 x,弓形 PNO 的面积 S=f(x),那么 f (x) 的图象是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上. 11.若向量 =(﹣1,2)与向量 =(x,4)平行,则实数 x= .

12.若 θ 为第四象限的角,且

,则 cosθ = ;sin2θ = .

13.将函数 y=cos2x 的图象向左平移 个单位,所得图象对应的函数表达式为 .

14.若 , 均为单位向量,且 与 的夹角为 120°,则 ﹣ 与 的夹角等于 .

15.已知

,则 cos(x﹣y)= .

16.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,φ ∈(0,π ))满足



给出以下四个结论:

①ω =3; ②ω ≠6k,k∈N*;③φ 可能等于 ; ④符合条件的 ω 有无数个,且均为整

数. 其中所有正确的结论序号是 .

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(12 分)已知 φ ∈(0,π ),且



(Ⅰ)求 tan2φ 的值;

(Ⅱ)求

的值.

18.(12 分)已知函数



(1)求函数 f(x)的单调增区间; (2)若直线 y=a 与函数 f(x)的图象无公共点,求实数 a 的取值范围.

19.(12 分)如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2,CD=1,BC=a(a>0),

P 为线段 AD(含端点)上一个动点,设



,则得到函数 y=f(x).

(Ⅰ)求 f(1)的值;

(Ⅱ)对于任意 a∈(0,+∞),求函数 f(x)的最大值.

B 卷[学期综合]本卷满分:50 分. 一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 20.设全集 U=R,集合 A={x|x<0},B={x||x|>1},则 A∩(?UB)= .

21.已知函数

若 f(a)=2,则实数 a= .

22.定义在 R 上的函数 f (x)是奇函数,且 f(x)在(0,+∞)是增函数,f(3)=0,则 不等式 f(x)>0 的解集为 .

23.函数

的值域为 .(其中[x]表示不大于 x 的最大整数,

例如[3.15]=3,[0.7]=0.) 24.在如图所示的三角形空地中,欲建一个面积不小于 200m2 的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x(单位:m)的取值范围是 .

二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

25.(10 分)已知函数



(Ⅰ)若

,求 a 的值;

(Ⅱ)判断函数 f(x)的奇偶性,并证明你的结论.

26.(10 分)已知函数 f(x)=3x,g(x)=|x+a|﹣3,其中 a∈R. (Ⅰ)若函数 h(x)=f[g(x)]的图象关于直线 x=2 对称,求 a 的值; (Ⅱ)给出函数 y=g[f(x)]的零点个数,并说明理由.

27.(10 分)设函数 f(x)的定义域为 R,如果存在函数 g(x),使得 f(x)≥g(x)对 于一切实数 x 都成立,那么称 g(x)为函数 f(x)的一个承托函数.已知函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象经过点(﹣1,0). (1)若 a=1,b=2.写出函数 f(x)的一个承托函数(结论不要求证明); (2)判断是否存在常数 a,b,c,使得 y=x 为函数 f(x)的一个承托函数,且 f(x)为函



的一个承托函数?若存在,求出 a,b,c 的值;若不存在,说明理由.

2016-2017 学年北京市西城区高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
A 卷[必修模块 4]本卷满分:100 分一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. 1.如果 θ 是第三象限的角,那么( ) A.sinθ>0 B.cosθ>0 C.tanθ>0 D.以上都不对 【考点】三角函数值的符号. 【分析】根据象限角的符号特点即可判断. 【解答】解:如果 θ 是第三象限的角,则 sinθ<0,cosθ<0,tanθ>0, 故选:C. 【点评】本题考查了象限角的符号无问题,属于基础题.
2.若向量 =(1,﹣2), =(x,4)满足 ⊥ ,则实数 x 等于( ) A.8 B.﹣8 C.2 D.﹣2 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据题意,分析可得 ? =0,由向量数量积的坐标的运算公式可得 ? =1 ×x+(﹣2)×4=0,解可得 x 的值,即可得答案. 【解答】解:根据题意,若向量 、 满足 ⊥ ,必有 ? =0, 又由 =(1,﹣2), =(x,4), 则有 ? =1×x+(﹣2)×4=0,解可得 x=8; 故选:A. 【点评】本题考查向量数量积的坐标运算,若两个非零向量互相垂直,则其数量 积为 0.
3.若角 α 的终边经过点(﹣4,3),则 tanα=( ) A. B. C. D. 【考点】任意角的三角函数的定义.

【分析】由题设条件,根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切值,正切值 为纵坐标与横坐标的商. 【解答】解:由定义若角 α 的终边经过点(﹣4,3),∴tanα=﹣ , 故选:D. 【点评】本题考查任意角三角函数的定义,求解的关键是熟练掌握定义中知道了 终边上一点的坐标,求正切值的规律.知道了终边上一点的坐标的三角函数的定 义用途较广泛,应好好掌握.

4.函数

是( )

A.奇函数,且在区间

上单调递增

B.奇函数,且在区间

上单调递减

C.偶函数,且在区间

上单调递增

D.偶函数,且在区间

上单调递减

【考点】正弦函数的图象.

【分析】函数

=cosx,即可得出结论.

【解答】解:函数

=cosx,是偶函数,且在区间

调递减, 故选 D. 【点评】本题考查诱导公式,考查余弦函数的性质,比较基础.

上单

5.函数 f(x)=sinx﹣cosx 的图象( A.关于直线 对称 B.关于直线

) 对称

C.关于直线 对称 D.关于直线

对称

【考点】三角函数的化简求值;正弦函数的图象. 【分析】函数解析式提取 ,利用两角差的正弦函数公式化简,利用正弦函数 图象的性质即可做出判断.

【解答】解:函数 y=sinx﹣cosx= sin(x﹣ ),
∴x﹣ =kπ+ ,k∈Z,得到 x=kπ+ ,k∈Z,
则函数的图象关于直线 x=﹣ 对称. 故选:B. 【点评】本题考查了两角差的正弦函数公式,考查正弦函数图象的性质,熟练掌 握公式是解本题的关键,是基础题.

6.如图,在△ABC 中,点 D 在线段 BC 上,且 BD=2DC,若

,则

=( )

A. B. C.2 D.

【考点】平面向量的基本定理及其意义.

【分析】根据向量加减的几何意义可得,λ= ,μ= ,问题得以解决.

【解答】解:∵BD=2DC,

∴ = + = + = + ( ﹣ )= + ,





∴λ= ,μ= ,

∴ =, 故选:A 【点评】本题考查了向量的加减的几何意义,属于基础题.

7.定义在 R 上,且最小正周期为 π 的函数是( ) A.y=sin|x| B.y=cos|x| C.y=|sinx| D.y=|cos2x| 【考点】三角函数的周期性及其求法.

【分析】分别求出函数的最小正周期,判断即可. 【解答】解:对于 A:y=sin|x|的最小正周期为 2π, 对于 B,y=cos|x|的最小正周期为 2π, 对于 C,y=|sinx|最小正周期为 π, 对于 D,y=|cos2x|最小正周期为 , 故选:C 【点评】本题考查了三角形函数的最小正周期,属于基础题.

8.设向量 , 的模分别为 2 和 3,且夹角为 60°,则| + |等于( ) A. B.13 C. D.19 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】利用两个向量的数量积的定义求出 ,再利用| + |2=| |2+| |2+2 ,即可求出答案. 【解答】解:∵向量 , 的模分别为 2 和 3,且夹角为 60°,
∴ =| |?| |cos60°=2×3× =3, ∴| + |2=| |2+| |2+2 =4+9+2×3=19, ∴| + |= , 故选:C. 【点评】本题考查两个向量的数量积的定义,向量的模的定义,求向量的模的方 法.

9.函数 则( )

(其中 ω>0,0<φ<π)的图象的一部分如图所示,

A.

B.

C.

D. 【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】先利用图象中求得函数的周期,求得 ω,最后根据 x=2 时取最大值,求 得 φ,即可得解. 【解答】解:如图根据函数的图象可得:函数的周期为(6﹣2)×4=16, 又∵ω>0, ∴ω= = ,
当 x=2 时取最大值,即 2 sin(2× +φ)=2 ,可得:2× +φ=2kπ+ ,k ∈Z, ∴φ=2kπ+ ,k∈Z, ∵0<φ<π, ∴φ= , 故选:B. 【点评】本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查了 学生基础知识的运用和图象观察能力,属于基本知识的考查.
10.如图,半径为 1 的圆 M,切直线 AB 于点 O,射线 OC 从 OA 出发,绕 O 点 顺时针方向旋转到 OB,旋转过程中 OC 交⊙M 于 P,记∠PMO 为 x,弓形 PNO 的面积 S=f(x),那么 f (x)的图象是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象与图象变化. 【分析】写出函数 S=f ( x )的解析式.根据函数的单调性和极值判断出函数

图象的大体形状即可.

【解答】解:由题意得 S=f ( x )= x﹣

f′(x)=

≥0

当 x=0 和 x=2π 时,f′(x)=0,取得极值. 则函数 S=f ( x )在[0,2π]上为增函数,当 x=0 和 x=2π 时,取得极值.结合 选项,A 正确. 故选 A. 【点评】本题考查了函数的解析式的求法以及函数的求导,根据函数的性质判断 函数的图象,求出函数的解析式是解决此题的关键.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上.

11.若向量 =(﹣1,2)与向量 =(x,4)平行,则实数 x= ﹣2 .

【考点】平行向量与共线向量.

【分析】由于向量 =(﹣1,2)与向量 =(x,4)平行,可得

,进而列出

方程组求解出答案即可.

【解答】解:因为向量 =(﹣1,2)与向量 =(x,4)平行,

所以



所以﹣1=λx,2=λ4,

解得:λ= ,x=﹣2.

故答案为﹣2. 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握向量共线的坐标表示,并且结合正确的 计算.

12.若 θ 为第四象限的角,且

,则 cosθ=

;sin2θ= ﹣



【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cosθ,进而利用二倍角的正 弦函数公式可求 sin2θ 的值.

【解答】解:∵θ 为第四象限的角,且



∴cosθ=

=,

sin2θ=2sinθcosθ=2×(﹣ )× =﹣ . 故答案为: ,﹣ . 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式在三 角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.

13.将函数 y=cos2x 的图象向左平移 个单位,所得图象对应的函数表达式为 y=﹣sin2x . 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 【解答】解:将函数 y=cos2x 的图象向左平移 个单位,
所得图象对应的解析式为 y=cos2(x+ )=cos(2x+ )=﹣sin2x. 故答案为:y=﹣sin2x. 【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,考查了转化思想, 属于基础题.

14.若 , 均为单位向量,且 与 的夹角为 120°,则 ﹣ 与 的夹角等于 150° . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据向量数量积公式和向量的夹角公式计算即可. 【解答】解:∵ , 均为单位向量,且 与 的夹角为 120°, ∴( ﹣ )? = ﹣| |2=1×1×(﹣ )﹣1=﹣ ,
| ﹣ |2=| |2﹣2 +| |2=1﹣2×1×1×(﹣ )+1=3, ∴| ﹣ |= , 设 ﹣ 与 的夹角为 θ,

则 cosθ=

=

=﹣ ,

∵0°≤θ≤180°,

∴θ=150°, 故答案为:150° 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握平面向量数量积的运算性质与公式,以 及向量的求模公式的应用,此题属于基础题,主要细心的运算即可得到全分.

15.已知

,则 cos(x﹣y)= ﹣



【考点】两角和与差的余弦函数. 【分析】对已知两式分别平方相加,逆用两角和与差的余弦函数公式即可求得答 案.

【解答】解:∵sinx+siny= ,①

cosx+cosy= ,②

①2+②2 得:2+2sinxsiny+2cosxcosy= ,

∴cos(x﹣y)=sinxsiny+cosxcosy=﹣ ,

故答案为:﹣ . 【点评】本题考查两角和与差的余弦函数,考查三角函数的平方关系的应用,属 于基础题.

16.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,π))满足



给出以下四个结论:

①ω=3; ②ω≠6k,k∈N*;③φ 可能等于 ; ④符合条件的 ω 有无数个,且

均为整数. 其中所有正确的结论序号是 ①③ . 【考点】正弦函数的图象.

【分析】函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,π))满足



可得 ω(

)=nπ,ω= n(n∈Z),即可得出结论.

【解答】解:函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,π))满足



∴ω(

)=nπ,∴ω= n(n∈Z),

∴①ω=3 正确; ②ω≠6k,k∈N*,不正确;③φ 可能等于 ,正确; ④符合 条件的 ω 有无数个,且均为整数,不正确. 故答案为①③. 【点评】本题考查三角函数的图象与性质,考查学生分析解决问题的能力,属于 中档题.

三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.

17.(12 分)(2016 秋?西城区期末)已知 φ∈(0,π),且



(Ⅰ)求 tan2φ 的值;

(Ⅱ)求

的值.

【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【分析】(Ⅰ)利用特殊角的三角函数值,两角和的正切函数公式可求 tanφ 的 值,进而利用二倍角的正切函数公式即可计算得解. (Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解.

【解答】解:(Ⅰ)∵φ∈(0,π),且

=

,可得:

tanφ=﹣2,

∴tan2φ=

=.

(Ⅱ)

=

=

=﹣ .

【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值,两角和的正切函数公式,二倍角 的正切函数公式,同角三角函数基本关系式的应用,考查了转化思想,属于基础 题.

18.(12 分)(2016 秋?西城区期末)已知函数



(1)求函数 f(x)的单调增区间;

(2)若直线 y=a 与函数 f(x)的图象无公共点,求实数 a 的取值范围. 【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【分析】(1)运用两角差的余弦公式和二倍角公式,化简可得 f(x),再由余 弦函数的单调区间,解不等式可得所求增区间; (2)求得 f(x)的最值,即可得到 a 的取值范围.

【解答】解:(1)函数

=cosx( cosx+ sinx)

=

+ sin2x= cos(2x﹣ )+ ,

由 2kπ﹣π≤2x﹣ ≤2kπ,k∈Z,

解得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,

即 f(x)的增区间为[kπ﹣ ,kπ+ ],k∈Z;

(2)由(1)可得当 2x﹣ =2kπ,即 x=kπ+ ,k∈Z 时,f(x)取得最大值 ;

当 2x﹣ =2kπ+π,即 x=kπ+ ,k∈Z 时,f(x)取得最小值﹣ . 由直线 y=a 与函数 f(x)的图象无公共点, 可得 a 的范围是 a> 或 a<﹣ . 【点评】本题考查三角函数的化简和求值,考查余弦函数的图象和性质,属于中 档题.

19.(12 分)(2016 秋?西城区期末)如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,

AB⊥BC,AB=2,CD=1,BC=a(a>0),P 为线段 AD(含端点)上一个动点,设



,则得到函数 y=f(x).

(Ⅰ)求 f(1)的值;

(Ⅱ)对于任意 a∈(0,+∞),求函数 f(x)的最大值.

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】(Ⅰ)画出图形,建立直角坐标系,即得 y=f(x)的解析式,代值计算 即可 (Ⅱ)通过分类讨论,利用二次函数的单调性即可判断出. 【解答】解:(1)如图所示,建立直角坐标系. ∵在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2,CD=1,BC=a(a>0), ∴B(0,0),A(﹣2,0),D(﹣1,a),C(0,a). ∵ =x ,(0≤x≤1). ∴ = +x =(﹣2,0)+x(1,a)=(x﹣2,xa), ∴ = ﹣ =(0,a)﹣(x﹣2,xa)=(2﹣x,a﹣xa) ∴y=f(x)= ? =(2﹣x,﹣xa)?(2﹣x,a﹣xa) =(2﹣x)2﹣ax(a﹣xa) =(a2+1)x2﹣(4+a2)x+4. ∴f(1)=a2+1﹣(4+a2)+4=1 (Ⅱ)由 y=f(x)=(a2+1)x2﹣(4+a2)x+4.

可知:对称轴 x0=



当 0<a≤ 时,1<x0,∴函数 f(x)在[0,1]单调递减,因此当 x=0 时,函数 f(x)取得最大值 4. 当 a> 时,0<x0<1,函数 f(x)在[0,x0)单调递减,在(x0,1]上单调递 增. 又 f(0)=4,f(1)=1, ∴f(x)max=f(0)=4. 综上所述函数 f(x)的最大值为 4

【点评】本题考查了数量积运算、分类讨论、二次函数的单调性等基础知识与基

本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.
B 卷[学期综合]本卷满分:50 分.一、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分, 共 20 分.把答案填在题中横线上. 20.设全集 U=R,集合 A={x|x<0},B={x||x|>1},则 A∩(?UB)= {x|﹣1≤ x<0} . 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】化简集合 B,根据补集与交集的定义求出结果即可. 【解答】解:全集 U=R,集合 A={x|x<0}, B={x||x|>1}={x|x<﹣1 或 x>1}, 则?UB={x|﹣1≤x≤1}, A∩(?UB)={x|﹣1≤x<0}. 故答案为:{x|﹣1≤x<0}. 【点评】本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题目.

21.已知函数

若 f(a)=2,则实数 a= e2 .

【考点】函数的值. 【分析】当 a<0 时,f(a)=a﹣2=2;当 a>0 时,f(a)=lna=2.由此能求出实数 a.

【解答】解:∵函数

,f(a)=2,

∴当 a<0 时,f(a)=a﹣2=2,解得 a= ,不成立; 当 a>0 时,f(a)=lna=2,解得 a=e2. ∴实数 a=e2. 故答案为:e2. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质 的合理运用.

22.定义在 R 上的函数 f (x)是奇函数,且 f(x)在(0,+∞)是增函数,f (3)=0,则不等式 f(x)>0 的解集为 (﹣3,0)∪(3,+∞) . 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】易判断 f(x)在(﹣∞,0)上的单调性及 f(x)图象所过特殊点,作 出 f(x)的草图,根据图象可解不等式. 【解答】解:∵f(x)在 R 上是奇函数,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f(x)在(﹣∞,0)上也是增函数, 由 f(﹣3)=0,得﹣f(3)=0,即 f(3)=0,由 f(﹣0)=﹣f(0),得 f(0) =0, 作出 f(x)的草图,如图所示: ∴f(x)>0 的解集为:(﹣3,0)∪(3,+∞), 故答案为:(﹣3,0)∪(3,+∞).

【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用,考查数形结合思想,灵活作 出函数的草图是解题关键.

23.函数

的值域为 {0,1} .(其中[x]表示不大于

x 的最大整数,例如[3.15]=3,[0.7]=0.) 【考点】函数的值域. 【分析】由题设中的定义,可对 x 分区间讨论,设 m 表示整数,综合此四类即 可得到函数的值域 【解答】解:设 m 表示整数.

①当 x=2m 时,[ ]=[m+0.5]=m,[ ]=[m]=m.

∴此时恒有 y=0. ②当 x=2m+1 时,[ ]=[m+1]=m+1,[ ]=[m+0.5]=m. ∴此时恒有 y=1. ③当 2m<x<2m+1 时, 2m+1<x+1<2m+2 ∴m< <m+0.5
m+0.5< <m+1
∴[ ]=m,[ ]=m ∴此时恒有 y=0 ④当 2m+1<x<2m+2 时,
2m+2<x+1<2m+3 ∴m+0.5< <m+1
m+1< <m+1.5
∴此时[ ]=m,[ ]=m+1 ∴此时恒有 y=1. 综上可知,y∈{0,1}. 故答案为{0,1}. 【点评】此题是新定义一个函数,根据所给的规则求函数的值域,求解的关键是 理解所给的定义,一般从函数的解析式入手,要找出准确的切入点,理解[x]表 示数 x 的整数部分,考察了分析理解,判断推理的能力及分类讨论的思想
24.在如图所示的三角形空地中,欲建一个面积不小于 200m2 的内接矩形花园(阴 影部分),则其边长 x(单位:m)的取值范围是 [10,20] .

【考点】基本不等式.

【分析】设矩形的另一边长为 ym,由相似三角形的性质可得: =

,(0

<x<30).矩形的面积 S=x(30﹣x),利用 S≥200 解出即可. 【解答】解:设矩形的另一边长为 ym,

由相似三角形的性质可得: =



解得 y=30﹣x,(0<x<30) ∴矩形的面积 S=x(30﹣x), ∵矩形花园的面积不小于 200m2, ∴x(30﹣x)≥200, 化为(x﹣10)(x﹣20)≤0,解得 10≤x≤20. 满足 0<x<30. 故其边长 x(单位 m)的取值范围是[10,20]. 故答案为:[10,20]. 【点评】本题考查了相似三角形的性质、三角形的面积计算公式、一元二次不等 式的解法等基础知识与基本技能方法,属于基础题.

二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.

25.(10 分)(2016 秋?西城区期末)已知函数



(Ⅰ)若

,求 a 的值;

(Ⅱ)判断函数 f(x)的奇偶性,并证明你的结论. 【考点】对数函数的图象与性质;函数奇偶性的判断.

【分析】(Ⅰ)若

,则 =2,解得 a 的值;

(Ⅱ)函数 f(x)为奇函数,结合函数奇偶性的定义和对数的运算性质,可得答 案.

【解答】解:(Ⅰ)∵函数







=,

∴ =2,

解得:a=3; (Ⅱ)函数 f(x)为奇函数,理由如下: 函数 f(x)的定义域(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)关于原点对称,

且 f(﹣x)+f(x)=

+

=0,

即 f(﹣x)=﹣f(x), 故函数 f(x)为奇函数. 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性,对数函数的图象和性质,函数求值, 难度中档.

26.(10 分)(2016 秋?西城区期末)已知函数 f(x)=3x,g(x)=|x+a|﹣3, 其中 a∈R. (Ⅰ)若函数 h(x)=f[g(x)]的图象关于直线 x=2 对称,求 a 的值; (Ⅱ)给出函数 y=g[f(x)]的零点个数,并说明理由. 【考点】函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调性. 【分析】(Ⅰ)函数 h(x)=f[g(x)]=3|x+a|﹣3 的图象关于直线 x=2 对称,则 h (4﹣x)=h(x)? |x+a|=|4﹣x+a|恒成立? a=﹣2; (Ⅱ)函数 y=g[f(x)]=|3x+a|﹣3 的零点个数,就是函数 G(x)=|3x+a|与 y=3 的交点, 分①当 0≤a<3 时;②当 a≥3 时;③﹣3≤a<0 时;④当 a<﹣3 时,画出图象 判断个数. 【解答】解:(Ⅰ)函数 h(x)=f[g(x)]=3|x+a|﹣3 的图象关于直线 x=2 对称, 则 h(4﹣x)=h(x)? |x+a|=|4﹣x+a|恒成立? a=﹣2; (Ⅱ)函数 y=g[f(x)]=|3x+a|﹣3 的零点个数,就是函数 G(x)=|3x+a|与 y=3 的交点, ①当 0≤a<3 时,G(x)=|3x+a|=3x+a 与 y=3 的交点只有一个,即函数 y=g[f(x)] 的零点个数为 1 个(如图 1); ②当 a≥3 时,G(x)=|3x+a|=3x+a 与 y=3 没有交点,即函数 y=g[f(x)]的零点 个数为 0 个(如图 1);

③﹣3≤a<0 时,G(x)=|3x+a|与 y=3 的交点只有 1 个(如图 2); ④当 a<﹣3 时,G(x)=|3x+a|与 y=3 的交点有 2 个(如图 2);

【点评】本题考查了函数的零点,把零点个数转化为两函数交点个数是常用方法, 属于中档题.

27.(10 分)(2016 秋?西城区期末)设函数 f(x)的定义域为 R,如果存在函 数 g(x),使得 f(x)≥g(x)对于一切实数 x 都成立,那么称 g(x)为函数 f (x)的一个承托函数.已知函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象经过点(﹣1,0). (1)若 a=1,b=2.写出函数 f(x)的一个承托函数(结论不要求证明); (2)判断是否存在常数 a,b,c,使得 y=x 为函数 f(x)的一个承托函数,且 f

(x)为函数

的一个承托函数?若存在,求出 a,b,c 的值;若不存在,

说明理由. 【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【分析】(1)由题意可得 c=1,进而得到 f(x),可取 g(x)=x; (2)假设存在常数 a,b,c 满足题意,令 x=1,可得 a+b+c=1,再由二次不等式 恒成立问题解法,运用判别式小于等于 0,化简整理,即可判断存在. 【解答】解:(1)函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象经过点(﹣1,0), 可得 a﹣b+c=0,又 a=1,b=2, 则 f(x)=x2+2x+1,

由新定义可得 g(x)=x 为函数 f(x)的一个承托函数; (2)假设存在常数 a,b,c,使得 y=x 为函数 f(x)的一个承托函数,

且 f(x)为函数

的一个承托函数.

即有 x≤ax2+bx+c≤ x2+ 恒成立,
令 x=1 可得 1≤a+b+c≤1,即为 a+b+c=1, 即 1﹣b=a+c, 又 ax2+(b﹣1)x+c≥0 恒成立,可得 a>0,且(b﹣1)2﹣4ac≤0, 即为(a+c)2﹣4ac≤0,即有 a=c; 又(a﹣ )x2+bx+c﹣ ≤0 恒成立,

可得 a< ,且 b2﹣4(a﹣ )(c﹣ )≤0,

即有(1﹣2a)2﹣4(a﹣ )2≤0 恒成立.

故存在常数 a,b,c,且 0<a=c< ,b=1﹣2a,

可取 a=c= ,b= .满足题意. 【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查不等式恒成立问题的解法,注意运 用赋值法和判别式法,考查运算能力,属于中档题.


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