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2018版高中数学北师大版必修五学案:第一章 3.1 等比数列(二)


3.1 学习目标 等比数列(二) 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式 .2.熟悉等比数列的有关性质 .3.系统了解 判断数列是否成等比数列的方法. 知识点一 等比数列通项公式的推广 思考 1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形:an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d. 等比数列也有类似变形吗? 思考 2 我们知道等差数列的通项公式可以变形为 an=dn+a1-d,其单调性由公差的正负确 定;等比数列的通项公式是否也可做类似变形? a1 n - 梳理 公比为 q 的等比数列{an}中,an=a1qn 1= · q .{an}的单调性由 a1,q 共同确定如下: q ? ? ?a1>0, ?a1<0, 当? 或? 时,{an}是递增数列; ?q>1 ?0<q<1 ? ? ?a1<0, ?a1>0, ? ? 当? 或? 时,{an}是递减数列; ? ? ?q>1 ?0<q<1 q<0 时,{an}是摆动数列, q=1 时,{an}是常数列. 知识点二 由等比数列衍生的等比数列 思考 等比数列{an}的前 4 项为 1,2,4,8,下列判断正确的是 (1){3an}是等比数列; (2){3+an}是等比数列; 1 (3){ }是等比数列; an (4){a2n}是等比数列. 梳理 (1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项:ak1,ak2,ak3,…,akn,…,若 k1, k2,k3,…,kn,…成等差数列,那么 ak1,ak2,ak3,…,akn,…是等比数列. 1 bn (2)如果{an},{bn}均为等比数列,那么数列{ },{an· bn},{ },{|an|}仍是等比数列. an an 知识点三 等比数列的性质 2 2 思考 在等比数列{an}中,a2 n∈N+) 5=a1a9 是否成立?a5=a3a7 是否成立?an=an-2an+2(n>2, 是否成立? 梳理 一般地,在等比数列{an}中,若 m+n=s+t,则有 am· an=as· at(m,n,s,t∈N+).若 m+n=2k,则 am· an=a2 k (m,n,k∈N+). 类型一 等比数列的判断方法 例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=n-5an-85,n∈N+,证明:{an-1}是等比数列. 反思与感悟 判断一个数列是等比数列的基本方法: an+1 (1)定义法: =q(常数); an (2)等比中项法:a2 n+1=anan+2(an≠0,n∈N+); 要判断一个数列不是等比数列,举一组反例即可,例如 a2 2≠a1a3. 1 跟踪训练 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= (an+1)(n∈N+). 4 (1)求 a1,a2; (2)求证:数列{an}是等比数列. 类型二 等比数列的性质 命题角度 1 序号的数字特征 例 2 已知{an}为等比数列. (1)若 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求 a3+a5; (2)若 an>0,a5a6=9,求 log3a1+log3a2+…+log3a10 的值. 反思与感悟 抓住各项序号的数字特征,灵活运用等比数列的性质,可以顺利地解决问题. 跟踪训练 2 在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a3a5=4,则 a1a2a3a4a5a6a7=________. 命题角度 2 整体思想 例 3 已知等比数列{an}中,a4+a8=-2,则 a6(a2+2a6+a10)的值为( A.4B.6C.8D.-9 ) 反思与感悟 利用等比数列性质,挖

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