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数列 高一下学期期末复习


数列
数列概念: 1、数列的概念 (1)数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列; 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 an ,在数列第一个位置的项叫第 1 项(或首 项) ,在第二个位置的叫第 2 项,...,序号为 n 的项叫第 n 项(也叫通项)记作 an ; 数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ...,an ,..,简记作 ?an ?。 (2)通项公式的定义:如果数列 ?an ?的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么 这个公式就叫这个数列的通项公式。 说明: ①?an ?表示数列, an 表示数列中的第 n 项, an ? f (n) 表示数列的通项公式; ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如, an ? (?1) n ? ③ 不是每个数列都有通项公式。例如, 1,

?

?1,n?2 k ?1 1,n?2k

(k ? Z ) ;

1 . 4,

1.41,

1.4 1 ,4...

(3)数列的函数特征与图像表示: 序号:1 2 3 4 5 6 项 :4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。 从函数观 点看,数列实质上是定义域为正整数集 N ? (或它的有限子集)的函数 f ( n) 当自变量 n 从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值 f (1), f (2), f (3),..., f (n),...,通常用 an 来代替 f ( n) , 其图像是一群孤立点。 (4)数列分类:① 按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;② 按数列项与之 间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列。 (5)递推公式定义:如果已知数列 ?an ?的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前一项

an ?1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公
式。 (6)数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系: an ?

?

S1 Sn ?Sn?1

( n ?1) ( n? 2)

等差数列
1、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一 个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。用递推公式表示为 an ? an?1 ? d (n ? 2) 或 an?1 ? an ? d (n ? 1) 。

2、等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d 说明:等差数列的单调性: d ? 0 为递增数列, d ? 0 为常数数列, d ? 0 为递减数列。 3、等差中项的概念: 定义:如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 A ? 等差数列 ? A ?

a?b 即 a, A, b 成 2

a?b 。 2

4、等差数列的前 n 项的求和公式: S n ? 5、等差数列的性质:

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d。 2 2

(1)在等差数列 ?an ?中,从第 2 项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列 ?an ?中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列,如: a1 , a3 , a5 , a7 ,..... (3)在等差数列 ?an ?中, 对任意 m, n ? N ? ,an ? am ? (n ? m)d ,

d?

an ? am ( m ? n) ; n?m

(4)在等差数列 ?an ?中,若 m, n, p, q ? N ? 且 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ; 说明:设数列 ?an ?是等差数列,且公差为 d (I)若项数为偶数,设共有 2 n 项,则①S奇 ? S偶 ? nd ;②

S奇 a ? n ; S偶 an ?1 S奇 n 。 ? S偶 n ? 1

(II)若项数为奇数,设共有 2n ? 1 项,则①S偶 ? S奇 ? an ? a中; ② 6、数列最值 (1) a1 ? 0, d ? 0 时, Sn 有最大值; a1 ? 0, d ? 0 时, Sn 有最小值;

(2) Sn 最值的求法: ① 若已知 Sn , 可用二次函数最值的求法 (n ? N ? ) ; ② 若已知 an , 则 Sn 最值时 n 的值 (n ? N ? ) 可如下确定

?

an ? 0 an?1 ?0



?

an ? 0 an?1 ?0



等比数列
1、等比数列定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就 叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示 ?q ? 0? ,即: “从第二项起” 、 “常数”q、等比数列的公比和项都不为零) an?1 : an ? q(q ? 0) (注意: 2、等比数列通项公式为: an ? a1 ? q
n?1

(a1 ? q ? 0) 。

说明: (1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比 q ? 1 时该数列既是等比数列也是数列; (2)等比数列的通项公式知:若 ?an ?为等比数列,则 3、等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G , 使 a, G, b 成等比数列, 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 (两 个符号相同的非零实数,都有两个等比中项) 。其中 G ? ? a ? b 4、等比数列前 n 项和公式 一般地,设等比数列 a1 , a2 , a3 ,...an ,...的前 n 项和是 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ...? an ,当 q ? 1 时,

am ? q m?n 。 an

Sn ?

a ? an q a1 (1 ? q n ) 或 Sn ? 1 ;当 q ? 1 时, Sn ? na1 . 1? q 1? q
n

说明: (1) a1 , q, n, Sn 和 a1 , an , q, S n 各已知三个可求第四个; (2)注意求和公式中是 q , 通项公式是 q n ?1 不要混淆; (3)应用求和公式时 q ? 1 ,必要时应讨论 q ? 1 的情况。 5、等比数列的性质 ① 等比数列任意两项间的关系:如果 an 是等比数列的第 n 项, am 是等差数列的第 m 项,且

m ? n ,公比为 q ,则有 an ? amq n?m ;
② 对 于 等 比 数 列 ?an ? , 若 n ? m ? u ? v , 则 an ? am ? au ? av , 也 就 是 :

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? .......,
③ 若数列 ?an ?是等比数列, Sn 是其前 n 项的和, k ? N ,那么 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 成等
*

比数列。

数列通项与求和
(1)数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式: an ? (2)求通项常用方法 ① 作新数列法。作等差数列与等比数列; ② 累加法、累乘法。 (3)求前 n 项和方法 ① 重要共识: 1 ? 2 ? .....? n ?

?

Sn ?Sn?1 S1

n? 2 n ?1

1 n(n ? 1); 2

12 ? 2 2 ? ......? n 2 ?

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) ; 6

13 ? 23 ? .......? n 3 ?

1 2 n (n ? 1) 2 4

② 等差数列中, Sm?n ? Sm ? Sn ? mnd ; ③ 等比数列中, Sm?n ? Sn ? q n Sm ? Sm ? q m Sn ; ④ 裂项相消法 将数列的通项公式两个式子的代数和,即 an ? f (n ? 1) ? f (n) ,然后累加抵消掉中间的许 多项,这种先裂后消的求和法叫裂项相消求和,需要掌握一些常见的裂项,如:

1 1 1 1 1 1 1 、 an ? ? ? ? ( ? ) n(n ? 1) n n ? 1 ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C
⑤ 错位相减法 对 一 个由 等差 数列 及等比 数 列对 应之 积组 成的数 列 的前 n 项 和 ,常 用错项 相 消法 ,

an ? bn ? cn ,其中 ?bn ?是等差数列, ?cn ?是等比数列
记 Sn ? b1c1 ? b2c2 ? ...? bn?1cn?1 ? bncn ,则 qSn ? b1c2 ? .......? bn?1cn ? bncn?1 ⑥ 分组求和法

典型例题
例 1、设数列 ?an ?的前 n 项和 Sn .已知首项 a1 ? 3 ,且 Sn?1 ? Sn ? 2an?1 ,试求此数列的通项 公式 an 及前 n 项和 Sn 。

例 2、已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ?

?1? 1 n(n ? 1)( n ? 2) ,试求数列 ? ? 的前 n 项和. 3 ? an ?

例 3、已知数列 ?bn ?前 n 项和为 Sn ,且 b1 ? 1, bn ?1 ? (1)求 b2 , b3 , b4 的值; (2)求 ?bn ?的通项公式 (3)求 b2 ? b4 ? b6 ? ....? b2n 的值.

1 Sn 3

例 4、已知 a1 ? 2 ,点 ?an , an?1 ? 在函数 f ( x) ? x ? 2x 的图像上,其中 n ? 1,2,3,......
2

(1)证明数列 ?lg(1 ? an )?是等比数列; (2)设 Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )...( 1 ? an ) ,求 Tn 及数列 ?an ?的通项。

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