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三角函数与平面向量综合测试题

约稿:
三角函数与平面向量综合测试题 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,恰有一项是符合题目要求的。 .... 1.下列函数中,周期为 A . y ? sin D. y ? cos 4 x 2.已知命题 p : ?x ? R , sin x ≤1 ,则( A. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 C. ?p : ?x ? R , sin x ? 1 )
x 2

? 的是( ) 2
B . y ? sin 2 x C . y ? cos
x 4

B. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 D. ?p : ?x ? R , sin x ? 1

3. 条件甲 1 ? sin? ? a ,条件乙 sin

( ) ? a ,那么 2 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的充要条件 C.甲是乙的必要不充分条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 ??? ??? ??? ? ? ? 4.已知 O 是 △ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,
2

?

? cos

?

那么( ) ???? ???? A. AO ? OD
???? ???? C. AO ? 3OD

???? ???? B. AO ? 2OD ???? ???? D. 2AO ? OD
3 sin

5. 若 函 数 f(x)= ( ) A. 6. (
1 2

1 x, x ∈ [0, 2

? ], 则 函 数 f(x) 的 最 大 值 是 3
D. ° C.1 )
3 2

B. (1+tan25

2 3

° B.2

2 2 )(1+tan20

C.



值 D.-1 (



) A.-2

7. ? 、? 为锐角 a=sin( ? ? ? ), sin? ? cos? , a、 之间关系为 b= 则 b A.a>b B.b>a C.a=b D.不确定



8. 下面有五个命题: ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 ? .

k? , k ? Z |. 2 ③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ? ? ④把函数 y ? 3 sin(2 x ? )的图象向右平移 得到y ? 3 sin 2 x的图象. 3 6 ? ⑤函数 y ? sin(x ? )在〔 ,?〕上是减函数. 0 2 其中真命题的序号是 ① ④ ( (写出所有真命题的编号) )

②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a=

9. f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A > 0 , ω > 0 ) 在 x=1 处 取 最 大 值 , 则 ( ) A. f ( x ? 1) 一定是奇函数 C. f ( x ? 1) 一定是奇函数 B. f ( x ? 1) 一定是偶函数 D. f ( x ? 1) 一定是偶函数

10. 使 y ? sin?x (ω >0)在区间[0,1]至少出现 2 次最大值,则ω 的最小值为 ( )
5 B. ? 4 5 A. ? 2 3 D. ? 2

C.π

?? 11、在直角坐标系 xOy 中, i, j 分别是与 x 轴, y 轴平行的单位向量,若直角三 ??? ? ? ? ???? ? ? ? j 角 形 ABC 中 , A B 2 ? i , AC ? 3i ? k j , 则 k 的 可 能 值 有

(

) A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 12. 如图,l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 间的距离是 1, l2 与 l3 间的距离是 2,正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、l2、l3 上,则△ABC 的边长 是 ( ) (A) 2 3 (C)
3 17 4

(B)

4 6 3
2 21 3

(D)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.若 tan ? =2,则 2sin2 ? -3sin ? cos ? = 14.若 sin? - cos? ?
7 , ? ∈(0,π ) ,则 tan ? = 5

. .

? DC 15. 如右图, ?ABC 中, BAC ? 120?, AB ? 2, AC ? 1, D 是边 BC 上一点, ? 2BD, 在
A

???? ??? ? 则 AD?BC ? __________ .

16.2002 年在北京召开的国际数学家大会,

B

D

C

会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成 的一个大正方形(如图) .如果小正方形的面积为 1, 大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 ? , 那么 cos 2? 的值等于 .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 17.(本小题满分12分) 已知ΔABC_三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0). ??? ???? ? (1)若 AB ? AC ? 0 ,求c的值; (2)若C=5,求sin∠A的值.

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1, x ?R. (I)求函数 f ( x) 的最小正周期;
? ? 3? ? (II)求函数 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. ?8 4 ?

π 19.(本小题满分 12 分) 如图,函数 y ? 2cos(? x ? ? )( x ? R,≤ ? ≤ ) 的图象与 0 2

y 轴交于点 (0,3) ,且在该点处切线的斜率为 ?2 .
(1)求 ? 和 ? 的值;
?π ? 0 (2)已知点 A ? ,? ,点 P 是该函数图象上一点,点 ?2 ?
Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点,当 y0 ?

y
3

P

O

A

x

3 ?π ? , x0 ? ? ,π ? 时, 2 ?2 ?

求 x0 的值.

20. (本小题满分 12 分) 若函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? a 在(0, 2π )内有两个不同零点 ? 、 ? . (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求 tan(? ? ? ) 的值.

? ? ? ? 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? a ? (b ? c) ,其中向量 a ? (sin x ,? cos x ),

? ? b ? (sin x, ?3cos x) , c ? (? cos x,sin x) , x ? R 。

(Ⅰ) 、求函数 f ( x) 的最大值和最小正周期;

? ? (Ⅱ) 、将函数 f ( x) 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成

? ? 中心对称,求长度最小的 d 。

π? 1 ? 22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ? ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 12 ? 2 ?

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

三角函数与平面向量综合测试题参考答案
1. D 由 T=

2?

?

,逐一验证即可得出结果.

2. C 此题以三角函数为背景,考查命题的否定 : 全称命题的否定为特称命题,否定形式是 改全称量词为特称量词,同时还须否定结论.由此不难得到答案. 3. D

1 ? s i n ? ( s i n ? c o s ) 2 ?| s i n ? c o s | , 故选 D ? 2 2 2 2

?

?

?

?

4 . O 是 △ABC 所 在 平 面 内 一 点 , D 为 BC 边 中 点 , ∴

??? ???? ? ???? OB ? OC ? 2OD , 且

? ??? ? ? ?? ? ? ?? ???? ???? ??? ? ???? ? 2O A? O B? O C ,∴ 2OA ? 2OD ? 0 ,即 AO ? OD ,选 A ?0
5. D 函数 f(x)= 3 sin

3 1 1 1 ? ? x, ∵x∈[0, ],∴ x∈[0, ],∴ 3 sin x ? 2 2 2 2 3 6
0 0 0 0

6. B (1+tan25° )(1+tan20° )=1+ tan 25 ? tan 20 ? tan 25 tan 20

? 1 ? tan(25 0 ? 20 0 )(1 ? tan 25 0 tan 20 0 ) ? tan 25 0 tan 20 0 ? 1 ? 1 ? tan 25 0 tan 20 0 ? tan 25 0 tan 20 0 ?2
7. B ∵ ? 、 ? 为锐角∴ 0 ? sin ? ? 1, ∴a ? b 8.解答:① y ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x ? ?cos 2 x ,正确;②错误;③ y ? sin x ,
4 4 2 2

0 ? cos ? ? 1

又 sin( ? ? ? )= sin ? cos ? ? cos? sin ? < sin? ? cos?

y ? tan x 和 y ? x 在第一象限无交点,错误;④正确;⑤错误.故选①④.
【点评】 本题通过五个小题全面考查三角函数的有关概念、图象、性质的基础知识. 三角 函数的概念,在今年的高考中,主要是以选择、填空的形式出现,每套试卷都有不同程度的 考查.预计在 2008 年高考中,三角函数的定义与三角变换仍将是高考命题的热点之一. ∵ f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (A>0,ω >0)在 x=1 处取最大值 ∴ f ( x ? 1) 在 x=0 处取最大值, 即 y 轴是函数 f ( x ? 1) 的对称轴 ∴函数 f ( x ? 1) 是偶函数

9. D

10. A 要使 y ? sin ?x (ω >0)在区间[0,1]至少出现 2 次最大值

只需要最小正周期

5 2? 5 ? ? 1,故 ? ? ? 4 ? 2

11.【答案】B 【解析】解法一: BC ? BA ? AC ? ?2i ? j ? 3i ? k j ? i ? (k ? 1) j ??? (1) 若A为直角,则 AB ? AC ? (2i ? j )(3i ? k j ) ? 6 ? k ? 0 ? k ? ?6 ; (2) 若B为直角,则 AB ? BC ? (2i ? j )[i ? (k ? 1) j ] ? 1 ? k ? 0 ? k ? ?1 ; (3) 若C为直角,则 AC ? BC ? (3i ? k j )[i ? (k ? 1) j ] ? k ? k ? 3 ? 0 ? k ? ? 。
2

??? ?

??? ???? ?

? ?

?

? ?

?

??? ???? ?

? ?

?

?

??? ??? ? ?

? ? ? ?

?

???? ??? ?

? ?

?

?

所以 k 的可能值个数是2,选B 解法二:数形结合.如图,将 A 放在坐标原点,则 B 点坐标为(2,1), C 点坐标为(3,k),所以 C 点在直线 x=3 上,由图知,只可能 A、B 为直角, C 不可能为直角.所以 k 的可能值个数是 2,选 B

12.解答:D 因为 l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行直线, l1 与 l2 间的距离是 1,l2 与 l3 间的距离是 2,所以过 A 作 l2 的垂线,交 l2、l3 分别于点 D、E,如图,则∠BAD= ∠BAC+∠CAE,即∠BAD=60°+∠CAE,记正三角形 ABC 的边长为 a,两边取余弦得:

1 ? cos 60? cosCAE ? sin 60? sin CAE , a


1 1 3 3 a 2 ? 32 ? ? ? ? a 2 a 2 a
2

整理得 3(a ? 9) ? 1, 解之得, a ?

2 21 ,故选 D. 3

【点评】 本题以平面几何为平台, 主要考查运用三角函数的相关知识解决实际问题的能力. 本题意图与新课标接轨,需引起高三备考学生的密切关注.

13.

2 5

2sin2 ? -3sin ? cos ? =

2 sin 2 ? ? 3 sin ? cos? 2 tan 2 ? ? 3 tan? ? sin 2 ? ? cos2 ? tan 2 ? ? 1

14. ?

4 3 或? 3 4

∵ sin ? - cos? ?
2

7 ? >1,且 ? ∈(0,π )∴ ? ∈( ,π ) 5 2

∴ ( sin ? - cos? ) ? ( ) ∴2sin ? cos ? = ?

7 5

2

24 25

∴ sin ? + cos? ? ? ∴sin ? =

1 5
cos ? = ?

4 3 3 cos ? = ? 或 sin ? = 5 5 5 4 3 tan ? = ? 或 ? 3 4
8 3

4 5

15.【答案】 ?

【分析】由余弦定理得 cos B ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 AB 2 ? AD 2 ? BD 2 可得 ? 2 ? AB ? AC 2 ? AB ? BD

BC ? 7 , AD ?

13 , 3

???? ??? ? 又 AD, BC 夹角大小为 ?ADB ,
cos ?ADB ? BD 2 ? AD 2 ? AB 2 32 9 8 , ?? ? ?? 2 ? BD ? AD 9 4 13 ? 7 91

???? ??? ? 8 所以 AD?BC ? AD ? BC ? cos ?ADB ? ? . 3 16.图中小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,∴ 每一个直角三角形的面积是 6,

?a 2 ? b 2 ? 25 ? 设直角三角形的两条直角边长分别为 a, b,则 ? 1 , ab ? 6 ? ? 2
∴ 两条直角边的长分别为 3,4,直角三角形中较小的锐角为 ? ,cosθ= cos2θ=2cos2θ-1=

4 , 5

7 . 25
????

17.【解析】(1) AB ? (?3, ?4), AC ? (c ? 3, ?4) 由 AB ? AC ? 0 可得 ?3(c ? 3) ? 16 ? 0 ,

??? ?

??? ???? ?

解得 c ?

25 3

(2)当 c ? 5 时,可得 AB ? 5, AC ? 2 5, BC ? 5 , ΔABC为等腰三角形 过 B 作 BD ? AC 交 AC 于 D ,可求得 BD ? 2 5 故 sin A ?

BD 2 5 ? AB 5

(其它方法如①利用数量积 AB ? AC 求出 cos A 进而求 sin A ;②余弦定理,正弦定理等!)

??? ???? ?

18.【分析】 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2x ? cos 2x ? 2 sin ? 2 x ? 因此,函数 f ( x) 的最小正周期为 ? . (II)解法一:因为 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? 为减函数, 又

? ?

??

?. 4?

? ?

??

? ? 3? ? ? 3? 3? ? ? 在区间 ? , ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上 4? ?8 8 ? ?8 4?

?? ? f ? ? ? 0, ?8?

? 3? f? ? 8

? ? ? 3? ? ? 3? ? ? ? ? ? ? 2 cos ? ?1, ? ? 2, f ? ? ? 2 sin ? 4 ? ? 4 ? ? 2 4?

故函数 f ( x) 在区间 ?

? ? 3? ? , ? 上的最大值为 2, 最小值为 ?1 . ?8 8 ? ? ?

解法二: 作函数 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ?

??

? ? 9? ? ? 在长度为一个周期的区间 ? , ? 上的图象如下: 4? ?8 8 ?

由图象得函数 f ( x) 在区间 ?

? ? 3? ? , ? 上的最大值为 2, 最小值为 ?8 4 ?

? 3? f? ? 4

? ? ? ?1 . ?

【考点】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质等基础知识,考查基本运算能力.

19.解: (1)将 x ? 0 , y ? 3 代入函数 y ? 2cos(? x ? ? ) 得 cos ? ? 因为 0 ≤ ? ≤

3 , 2

? ? ,所以 ? ? . 2 6
x ?0

又因为 y? ? ?2? sin(? x ? ? ) , y ? 因此 y ? 2 cos ? 2 x ?

? ?2 , ? ?

? ,所以 ? ? 2 , 6

? ?

?? ?. 6?

(2)因为点 A ? ,? , Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 ? 0

?? ?2

? ?

3 , 2

所以点 P 的坐标为 ? 2 x0 ?

? ?

? ? ,3 ? . 2 ?
5? ? 3 ?? ? . ? 的图象上,所以 cos ? 4 x0 ? ? ? 6 ? 2 6? ?

又因为点 P 在 y ? 2 cos ? 2 x ? 因为

? ?

? 7? 5? 19? , ≤ x0 ≤ ? ,所以 ≤ 4 x0 ? ≤ 2 6 6 6 5? 11? 5? 13? 从而得 4 x0 ? 或 4 x0 ? . ? ? 6 6 6 6 2? 3? 即 x0 ? 或 x0 ? . 3 4

20.解: (Ⅰ)∵sinx+ 3 cosx=2(

3 1 ? sinx+ cosx)=2 sin(x+ ), 2 2 3 而函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? a 在(0, 2π )内有两个不同零点等价于关于 x 的

方程 sinx+ 3 cosx+a=0 在(0, 2π )内有相异二解 ∴方程化为 sin(x+

a ? )=- . 2 3

∵方程 sinx+ 3 cosx+a=0 在(0, 2π )内有相异二解, ∴sin(x+ 又 sin(x+

3 ? ? )≠sin = . 3 3 2

3 ? )≠±1 (∵当等于 和±1 时仅有一解), 2 3 3 a a ∴|- |<1 . 且- ≠ . 即|a|<2 且 a≠- 3 . 2 2 2
∴ a 的取值范围是(-2, - 3 )∪(- 3 , 2). (Ⅱ) ∵α 、 β 是方程的相异解, ∴sinα + 3 cosα +a=0 sinβ + 3 cosβ +a=0 ①. ②.

①-②得(sinα - sinβ )+ 3 ( cosα - cosβ )=0. ∴ 2sin ∴tan

???
2 2
=

cos

???
2

-2 3 sin

???
2

sin

???
2

=0, 又 sin

???
2

≠0,

???

3 . 3

2 tan
∴tan(α +β )=

???
2 ? ? ?

2

= 3.

2 ? tan

2

21. 分析:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图 像的基本知识,考查推理和运算能力。 解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=a· (b+c)=(sinx,-cosx)· -cosx,sinx-3cosx) (sinx

=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=2+ 2 sin(2x+
所以,f(x)的最大值为 2+ 2 ,最小正周期是

3? ). 4

2? =? . 2

(Ⅱ)由 sin(2x+

3? k? 3? 3? )=0 得 2x+ =k. ? ,即 x= ,k∈Z, ? 4 2 8 4

于是 d=(

k? 3? 2 k? 3? ? ) ? 4 , k∈Z. ,-2) d ? ( , ? 2 8 2 8

因为 k 为整数,要使 d 最小,则只有 k=1,此时 d=(―

? ,―2)即为所求. 8

点评: 三角函数, 三角形问题相结合也是一个很好的命题素材, 主要考查向量的数量积、 正弦定理、余弦定理与三角函数等基础知识.在这种试题中一般考查学生的转化化归思想, 要求学生利用三角形的几何特性, 通过构造向量, 将解三角形的问题转化化归为向量的基本 关系和基本运算. 22.解: (I)由题设知 f ( x) ?

1 π [1 ? cos(2 x ? )] . 2 6
π ? kπ , 6

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 ?

π ( k ?Z ) . 6 1 1 π 所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin(kπ ? ) . 2 2 6
即 2 x0 ? kπ ? 当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ? 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ? (II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 1 3 ? π? sin ? ? ? ? 1 ? ? , 2 ? 6? 4 4

1 π 1 5 sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4
1? π ?? 1 ? ?1 ? cos ? 2 x ? 6 ? ? ? 1 ? 2 sin 2 x 2? ? ??

?

? 3 1 1? ? π? ? 3 1? 3 1 π? 3 ? ? cos ? 2 x ? 6 ? ? sin 2 x ? ? 2 ? 2 ? 2 cos2x ? 2 sin 2 x ? ? 2 ? 2 sin ? 2 x ? 3 ? ? 2 . ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ?

当 2kπ ?

π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ?Z )时, 2 3 2 12 12
1 π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 ? 3? 2 ? ? 5π π? . ,kπ ? ? ( k ?Z ) 12 12 ?

函数 h( x) ?

故函数 h( x ) 的单调递增区间是 ? kπ ?


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