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高中数学42直线圆的位置关系423直线与圆的方程的应用课时作业新人教A版必修2-含答案

第四章 4.2 4.2.3 直线与圆的方程的应用 A 级 基础巩固 一、选择题 1.一辆卡车宽 1.6 m,要经过一个半圆形隧道(半径为 3.6 m),则这辆卡车的平顶车篷 篷顶距地面高度不得超过 ( A.1.4 m B ) B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m [解析] 圆半径 OA=3.6,卡车宽 1.6,所以 AB=0.8, 所以弦心距 OB= 3.6 -0.8 ≈3.5(m). 2 2 2.已知实数 x、y 满足 x +y -2x+4y-20=0,则 x +y 的最小值是 ( A.30-10 5 [解析] B.5- 5 C.5 2 2 2 2 A ) D.25 x2+y2为圆上一点到原点的距离.圆心到原点的距离 d= 5,半径为 5,所 2 以最小值为(5- 5) =30-10 5. 3.方程 y=- 4-x 对应的曲线是 ( A 2 ) [解析] 由方程 y=- 4-x 得 x +y =4(y≤0),它表示的图形是圆 x +y =4 在 x 轴 上和以下的部分. 4.y=|x|的图象和圆 x +y =4 所围成的较小的面积是 ( D π A. 4 3π B. 4 3π C. 2 2 2 2 2 2 2 2 ) D.π 1 2 2 [解析] 数形结合,所求面积是圆 x +y =4 面积的 . 4 5.方程 1-x =x+k 有惟一解,则实数 k 的范围是 ( D ) 2 1 A.k=- 2 C.k∈[-1,1) 2 B.k∈(- 2, 2) D.k= 2或-1≤k<1 2 [解析] 由题意知, 直线 y=x+k 与半圆 x +y =1(y≥0 只有一个交点. 结合图形易得 -1≤k<1 或 k= 2. 6.点 P 是直线 2x+y+10=0 上的动点,直线 PA、PB 分别与圆 x +y =4 相切于 A、B 两点,则四边形 PAOB(O 为坐标原点)的面积的最小值等于 ( C ) A.24 B.16 C.8 D.4 2 2 1 2 2 2 [解析] ∵四边形 PAOB 的面积 S=2× |PA|×|OA|=2 OP -OA =2 OP -4,∴当直 2 线 OP 垂直直线 2x+y+10=0 时,其面积 S 最小. 二、填空题 7.已知实数 x、y 满足 x +y =1,则 2 2 y+2 3 的取值范围为__ [ ,+∞) __. x+1 4 2 2 [解析] 如右图所示,设 P(x,y)是圆 x +y =1 上的点,则 y+2 表示过 P(x,y)和 Q(- x+1 1,-2)两点的直线 PQ 的斜率,过点 Q 作圆的两条切线 QA,QB,由图可知 QB⊥x 轴,kQB 不 存在,且 kQP≥kQA. 设切线 QA 的斜率为 k, 则它的方程为 y+2=k(x+1), 由圆心到 QA 的距离为 1, 得 3 y+2 3 =1,解得 k= .所以 的取值范围是[ ,+∞). 4 x+1 4 |k-2| k2+1 8.已知 M={(x,y)|y= 9-x ,y≠0},N={(x,y)|y=x+b},若 M∩N≠?,则实数 2 b 的取值范围是__ (-3,3 2]__. [解析] 数形结合法,注意 y= 9-x ,y≠0 等价于 x +y =9(y>0),它表示的图形 是圆 x +y =9 在 x 轴之上的部分(如图所示).结合图形不难求得,当-3<b≤3 2时,直 线 y=x+b 与半圆 x +y =9(y>0)有公共点. 2 2 2 2 2 2 2 2 三、解答题 9.为了适应市场需要, 某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图), 它的附近有一条公 路,从基地中心 O 处向东走 1 km 是储备基地的边界上的点 A,接着向东再走 7 km 到达公路 上的点 B;从基地中心 O 向正北走 8 km 到达公路的另一点 C.现准备在储备基地的边界上选 一点 D,修建一条由 D 通往公路 BC 的专用线 DE,求 DE 的最短距离. [解析] 以 O 为坐标原点,过 OB、OC 的直线分别为 x 轴和 y 轴,建立平面直角坐标系, 则圆 O 的方程为 x +y =1,因为点 B(8,0)、C(0,8),所以直线 BC 的方程为 + =1,即 x 8 8 +y=8. 当点 D 选在与直线 BC 平行的直线(距 BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时,DE 为最 短距离,此时 DE 的最小值为 |0+0-8| -1=(4 2-1)km. 2 2 2 x y 10.某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度 AB 是 36 m,拱高 OP 是 6 m,在建造时, 每隔 3 m 需用一个支柱支撑,求支柱 A2P2 的长.(精确到 0.01 m) [解析] 如图, 以线段 AB 所在的直线为 x 轴, 线段 AB 的中点 O 为坐标原点建立平面直 角坐标系,那么点 A、B、P 的坐标分别为(-18,0)、(18,0)、(0,6). 设圆拱所在的圆的方程是 x +y +Dx+Ey+F=0. 因为 A、B、P 在此圆上,故有 18 -18D+F=0 ? ? 2 ?18 +18D+F=0 ? ?62+6E+F=0 2 2 2 D=0 ? ? ,解得?E=48 ? ?F=-324 2 2 . 故圆拱所在的圆的方程是 x +y +48y-324=0. 将点 P2 的横坐标 x=6 代入上式,解得 y=-24+12 6. 答:支柱 A2P2 的长约为 12 6-24 m. B 级 素养提升 一、选择题 3 1.(2016·葫芦岛高一检测)已知圆 C 的方程是 x +y +4x-2y-4=0,则 x +y 的最 大值为 ( D A.9 ) B.14 2 2 2 2 2 2 C.14-6 5 D.14+6 5 [解析] 圆 C 的标准方程为(x+2) +(y-1) =9,圆心为 C(-2,1)

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