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高考数学专题直线、平面垂直的判定及其性质

高考数学专题直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面 垂直的有关性质与判定定理;2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间 图形的垂直关系的简单命题. 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线 l 与平面 α 内的任意直线都垂直,就说直线 l 与平面 α 互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定 理 一条直线与一个平面内的 两条相交直线都垂直, 则该 直线与此平面垂直 ? ? a∩b=O??l⊥ a?α ? ? b?α l⊥a l⊥b α a⊥α ? ??a∥b b⊥α ? 性质定 两直线垂直于同一个平面, 理 那么这两条直线平行 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 一个平面经过另一个平面 判定定理 的一条垂线,则这两个平 面互相垂直 l⊥α ? ??α ⊥β l? β ? 图形表示 符号表示 -1- 如果两个平面互相垂直, 性质定理 则在一个平面内垂直于它 们交线的直线垂直于另一 个平面 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直,则 l⊥α.( (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) ) α ⊥β α∩β=a l⊥a l? β ?l⊥α ? ? ? (3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( (4)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直线,则 α⊥β.( 解析 ) ) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直,则有 l⊥α或 l 与 α 斜交或 l? α或 l∥α,故(1)错误. (2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交,故(2)错误. (3)若两个平面垂直,则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面,也可能与 另一平面平行,也可能与另一平面相交,也可能在另一平面内,故(3)错误. (4)若平面 α 内的一条直线垂直于平面β内的所有直线,则α⊥β,故(4)错误. 答案 (1)× (2)× (3)× ) (4)× 2.下列命题中错误的是( A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面γ ,平面β ⊥平面γ ,α ∩β =l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 解析 对于 D,若平面 α⊥平面 β,则平面 α 内的直线可能不垂直于平面 β,即 与平面 β 的关系还可以是斜交、平行或在平面 β 内,其他选项易知均是正确的. 答案 D 3.(2016· 浙江卷)已知互相垂直的平面 α,β 交于直线 l,若直线 m,n 满足 m∥α, n⊥β ,则( A.m∥l C.n⊥l ) B.m∥n D.m⊥n -2- 解析 因为 α∩β=l,所以 l?β,又 n⊥β,所以 n⊥l,故选 C. 答案 C 4.已知 m 和 n 是两条不同的直线,α 和 β 是两个不重合的平面,下面给出的条件 中一定能推出 m⊥β 的是( A.α ⊥β 且 m?α C.m∥n 且 n⊥β ) B.α ⊥β 且 m∥α D.m⊥n 且 α∥β 解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知 C 正确. 答案 C 5.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2.将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线 进行翻折,在翻折过程中,( ) A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”, “AB 与 CD”, “AD 与 BC”均不垂直 解析 若 AB⊥CD,BC⊥CD,则可得 CD⊥平面 ACB,因此有 CD⊥AC.因为 AB =1,BC=AD= 2,CD=1,所以 AC=1,所以存在某个位置,使得 AB⊥CD. 答案 B 6.在三棱锥 P-ABC 中,点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O, (1)若 PA=PB=PC,则点 O 是△ABC 的________心. (2)若 PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点 O 是△ABC 的________心. 解析 (1)如图 1,连接 OA,OB,OC,OP, 在 Rt△POA、Rt△POB 和 Rt△POC 中,PA=PC=PB, 所以 OA=OB=OC,即 O 为△ABC 的外心. 图1 (2)如图 2,∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P, ∴PC⊥平面 PAB,AB?平面 PAB, -3- 图2 ∴PC⊥AB,又 AB⊥PO,PO∩PC=P, ∴AB⊥平面 PGC,又 CG?平面 PGC,∴AB⊥CG, 即 CG 为△ABC 边 AB 的高. 同理可证 BD,AH 分别为△ABC 边 AC,BC 上的高,即 O 为△ABC 的垂心. 答案 (1)外 (2)垂 考点一 线面垂直的判定与性质 【例 1】 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的 中点.证明: (1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE. 证明 (1)在四棱锥 P-ABCD 中, ∵PA⊥底面 ABCD,CD?平面 ABCD, ∴PA⊥CD, 又∵AC⊥CD,且 PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC.而 AE?平面 PAC, ∴CD⊥AE. (2)由 PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得 AC=PA. ∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC. 由(1)知 AE⊥

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