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2017年春季学期苏教版高中数学必修5教案:不等式第11课时


听课随笔 第 11 课时基本不等式的证明(2) 【学习导航】 1 1 + 的最小值. x y 知识网络 基本不等式 内容 (2) y 的最大值为2(x=1). 证明 最值定理 使用条件: 一正二定三相等 (3) xy 的最大值为 【解】 答案: (1) y 的最小值为 6(x=2) . 20 10 (x=2,y= ). 7 7 学习要求 作用:求最值 (4) 1 1 + 的最小值为 3 ? 2 2 x y 1. 理解最值定理的使用条件: 一正二定三相等. 2. 运用基本不等式求解函数最值问题. 【课堂互动】 (x ? 2 ? 1, y ? 1 ? 2 ). 2 自学评价 1.最值定理: 若 x、y 都是正数, (1)如果积 xy 是定值 P , 那么当且仅当 x=y 时, 和 x+y 有最小值 2 P . . (2)如果和 x+y 是定值 S , 那么当且仅当 x=y 时, 积 xy 有最大值 1 2 S 4 例 2. 错在哪里? . (1)求 y= x2 + 5 x2 + 4 (x∈R)的最小值. 2.最值定理中隐含三个条件: 一正二定 三相等 . 【精典范例】 例 1. (1).已知函数 y=x+ 此函数的最小值. 解∵y= x2 + 5 x2 + 4 x2 + 4 + 1 x +4 1 x +4 2 16 (x>-2), 求 x+ 2 = 2 5 1 (2)已知 x< , 求 y=4x-1+ 的最 4 4x - 5 大值; (3)已知 x>0 , y>0 , 且 5x+7y=20 , 求 xy 的最大值; (4) 已 知 x , y ∈ R+ 且 x+2y=1 , 求 ? 2 x2 4? 2 ∴ y 的最小值为 2 . .(2)已知 x , y∈R+ 且 x+4y=1,求 1 1 + x y 的最小值. 法 一 : 由 1 = x ? 4 y ? 2 4xy 得 (1) y 的最小值为12(x= ? 1 xy 6 ) . 2 听课随笔 ?4 1 1 2 + ? ? 8. x y xy (2) y 的最大值为-2(x= ? 1 ) . (3)x+ y 的最小值为 16(x= 4, y ? 12 ) . (4) y 的最大值为2(x= ? 1 ) . (5) y ? (??,?2] . 所以 所以原式最小值为8. 法二: 由 1 1 2 (当且仅当 x=y + ? x y xy ?x ? y 时等号成立) .于是有 ? 得 ?x ? 4 y ? 1 x=y=0.2.所以 【选修延伸】 利用函数单调性求函数最值. 例 3:求函数 y ? x ? 1 1 + 的最小值为 5+5=10. x y 16 ( x ? 4) 的最小值. x?2 略 解 : 令 t ? x?2 , 则 t ?6 且 y?t? 16 ? 2 ,椐单调性定义可证:关于 t t 思维点拔: 1.利用基本不等式求最值问题时,一定要 交代等号何时成立,只有等号成立了,才能 求最值,否则要用其它方法了.而在证明不 等式时,不必要交代等号何时成立. 2.例 2 是常见典型错误,它违背了最值定 理使用前提: “一正二定三相等”中的后两 条。 的函数 y 在 [6,??) 上为增函数,所以当 t ? 6 时, y 的最小值为 20 . 3 追踪训练一 1. 求函数 y=4x2+ 思维点拔: 9 的最小值; x2 利用基本不等式求解时,等号不能成立,故 改用函数单调性求解. 2.

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