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高中不等式的证明方法(学案)


不等式的证明方法
不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考出现较为形式较为活跃,证明中经常 需与函数、数列的知识综合应用,灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提,下面我们将证明中常 见的几种方法作一列举。 注意 a + b ≥ 2ab 的变式应用。 常用
2 2

a2 + b2 a + b ≥ 2 2

(其中 a, b ∈ R )来解决有关根式不等式的问题。

+

一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知 a,b,c 均为正数,求证:

1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + 2a 2b 2c a + b b + c c + a

二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论。 2、a、b、 c ∈ (0, + ∞ ) , a + b + c = 1 ,求证:

a2 + b2 + c2 ≥

1 3

1

4、 知 a,b,c ∈ R ,求证:

a +b
2

2

+

b +c
2

2

+

c +a
2

2

≥ 2 (a + b + c)

1 1 (1 + )(1 + ) ≥ 9 x y 。 5、 x、y ∈ (0, + ∞ ) 且 x + y = 1 ,证:

6、已知 a, b ∈ R + , a + b = 1 求证: 1 + ?

? ?

1 ?? 1 ? 1 ??1 + ? ≥ . a ?? b ? 9

三、分析法
2

分析法的思路是“执果索因” :从求证的不等式出发,探索使结论成立的充分条件,直至已成立的不等式。

7、已知 a 、 b 、 c 为正数,求证:

2(

a+b a+b+c 3 ? ab ) ≤ 3( ? abc ) 2 3

8、 a、b、c ∈ (0, + ∞ ) 且 a + b + c = 1 ,求证 a + b +

c ≤ 3。

四、换元法 换元法实质上就是变量代换法,即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换,以达到化难为易的目 的。

b <1
9、 ,求证:

ab + (1 ? a 2 )(1 ? b 2 ) ≤ 1


2 2 10、 x + y = 1 ,求证: ?

2 ≤ x+ y ≤ 2
3

11、已知 a>b>c,求证:

1 1 4 + ≥ . a?b b?c a?c

12、已知 1≤x 2 +y 2 ≤2,求证:

1 ≤x 2 -xy+y 2 ≤3. 2

13、已知 x 2 -2xy+y 2 ≤2,求证:| x+y |≤ 10 .

14、解不等式 5 ? x ?

x +1>

1 2
4

15、-1≤ 1 ? x -x≤ 2 .
2

五、增量代换法 在对称式(任意互换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如 a>b>c)的不等式,常用增量进行代换,代 换的目的是减少变量的个数,使要证的结论更清晰,思路更直观,这样可以使问题化难为易,化繁为简. 16、已知 a,b ∈ R,且 a+b = 1,求证:(a+2) 2 +(b+2) 2 ≥

25 . 2

六、利用“1”的代换型

1 1 1 已知a, b, c ∈ R + , 且 a + b + c = 1, 求证: + + ≥ 9. a b c 17、 策略:做“1”的代换。

七、反证法 反证法的思路是“假设 → 矛盾 → 肯定” ,采用反证法时,应从与结论相反的假设出发,推出矛盾的过程中, 每一步推理必须是正确的。

5

3

3

18、若 p>0,q>0,p +q = 2,求证:p+q≤2.证明:反证法

1 (1 ? a)b , (1 ? b)c , (1 ? c) a ,不能均大于 4 。 19、已知 a 、 b 、 c ∈(0,1),求证:

20、已知 a,b,c∈(0,1) ,求证: (1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 不能同时大于

1 。 4

21、 a 、 b 、 c ∈ R , a + b + c > 0 , ab + bc + ca > 0 , a ? b ? c > 0 ,求证: a 、 b 、 c 均为正数。

6

八、放缩法 放缩时常用的方法有:1 去或加上一些项 2 分子或分母放大(或缩小)3 用函数单调性放缩 4 用已知不等式放缩

22、已知 a、b、c、d 都是正数,求证:1<

b c d a + + + <2. a + b + c b + c+d c + d + a d + a + b

23、

n ∈ N ,求证:
*

2( n + 1 ? 1) < 1 +

1 2

+

1 3

+L+

1 n

< 2 n ?1


2 2 2 24、 B、 为 ?ABC 的内角,x 、y 、z 为任意实数, A、 C 求证:x + y + z ≥ 2 yz cos A + 2 xz cos B + 2 xy cos C 。

7

九、构造函数法 构造函数法证明不等式 24 设 0≤a、b、c≤2,求证:4a+b 2 +c 2 +abc≥2ab+2bc+2ca.

25、 设 a、b∈R + ,且 a+b =1,求证:(a+2) 2 +(b+2) 2 ≥

25 . 2

26、设 a>0,b>0,a+b = 1,求证: 2a + 1 + 2b + 1 ≤2 2 .

8


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