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直线、平面垂直的判定及其性质 习题


人教 A 版高中数学必修二第二章

《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》 练习题 3

2.3.3 直线与平面垂直的性质
基础练习

1.已知直线 l⊥平面 α,直线 m?α,则( A.l⊥m C.l,m 异面 B.l∥m D.l,m 相交而不垂直

).

2.若斜线段 AB 是它在平面 α 上的射影的长的 2 倍,则 AB 与平面 α 所成的角是 ( A.60° B.45° C.30° D.120° 3.如图所示,PO⊥平面 ABC,BO⊥AC,在图中与 AC 垂直的线段有( ). ).

A.1 条

B.2 条

C.3 条

D.4 条

4. 在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中, E, F 分别是棱 AB, BC 的中点, O 是底面 ABCD 的中心(如图),则 EF 与平面 BB1O 的关系是________.

5.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,截面 C1D1AB 与底面 ABCD 所成二面角 C1-AB-C 的大小为________.

巩固练习 6.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.

(1)求证:PA∥平面 EDB; (2)求证:PB⊥平面 EFD. 7.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这 两个二面角( A.相等 C.相等或互补 ). B.互补 D.关系无法确定

8.如图,设 P 是正方形 ABCD 外一点,且 PA⊥平面 ABCD,则平面 PAB 与平 面 PBC、平面 PAD 的位置关系是( ).

A.平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都垂直 B.它们两两垂直 C.平面 PAB 与平面 PBC 垂直,与平面 PAD 不垂直 D.平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都不垂直 9.已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,若 A1 在底面 ABC 内的射 影为△ABC 的中心,则 AB1 与 ABC 底面所成的角的正弦值等于________. 10.若 α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 外的两条不同的直线,给出 四个论断: ①m⊥n;②α⊥β;③m⊥α;④n⊥β. 以其中三个论断作为条件, 余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命 题________.

能力提高 π 11.如图所示,在 Rt△AOB 中,∠ABO=6,斜边 AB=4,Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B-AO-C 是直二面角,D 是 AB 的 中点.

求证:平面 COD⊥平面 AOB. 12.如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60° , E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA= 3.

(1)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (2)求二面角 A-BE-P 的大小.

答案 基础练习 1. 解析 无论 l 与 m 是异面,还是相交,都有 l⊥m,考查线面垂直的定义,故选 A. 答案 A 2. 解析 斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示,∠ABO 即是斜线

OB 1 AB 与平面 α 所成的角, 又 AB=2BO,所以 cos∠ABO= AB =2.所以∠ABO=60° . 故选 A. 答案 A

3. 解析 ∵PO⊥平面 ABC,∴PO⊥AC,又∵AC⊥BO, ∴AC⊥平面 PBD, ∴平面 PBD 中的 4 条线段 PB,PD,PO,BD 与 AC 垂直. 答案 D 4. 解析 由正方体性质知 AC⊥BD, BB1⊥AC, ∵E,F 是棱 AB,BC 的中点, ∴EF∥AC, ∴EF⊥BD,EF⊥BB1, ∴EF⊥平面 BB1O. 答案 垂直 5. 解析 ∵AB⊥BC,AB⊥BC1,∴∠C1BC 为二面角 C1ABC 的平面角,大小为 45° . 答案 45° 巩固练习 6. 证明 (1)连接 AC 交 BD 于点 O.连接 EO,如图.

∵底面 ABCD 是正方形, ∴点 O 是 AC 的中点. 在△PAC 中 EO 是中位线, ∴PA∥EO. 而 EO?平面 EDB,且 PA?平面 EDB. 所以 PA∥平面 EDB. (2)∵PD⊥底面 ABCD,且 DC?底面 ABCD. ∴PD⊥DC.

∵PD=DC,可知△PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴DE⊥PC.① 同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC, ∴BC⊥平面 PDC.而 DE?平面 PDC, ∴BC⊥DE.② 由①和②推得 DE⊥平面 PBC. 而 PB?平面 PBC,∴DE⊥PB. 又 EF⊥PB,且 DE∩EF=E,∴PB⊥平面 EFD. 7. 解析 如图所示,平面 EFDG⊥平面 ABC,当平面 HDG 绕 DG 转动时,平面

HDG 始终与平面 BCD 垂直,所以两个二面角的大小关系不确定,因为二面角 HDGF 的大小不确定. 答案 D 8. 解析 ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC. 又 BC⊥AB,PA∩AB=A, ∴BC⊥平面 PAB,∵BC?平面 PBC, ∴平面 PBC⊥平面 PAB. 由 AD⊥PA,AD⊥AB,PA∩AB=A,得 AD⊥平面 PAB. ∵AD?平面 PAD,∴平面 PAD⊥平面 PAB. 由已知易得平面 PBC 与平面 PAD 不垂直,故选 A. 答案 A 9.解析 由题意知,三棱锥 A1-ABC 为正四面体(各棱长都相等的三棱锥),设棱 长为 a,则 AB1= 3a,棱柱的高 A1O= a2-AO2= 6 ?2 3 ? a2-? × a?2= 3 a(即 ?3 2 ?

A1O 2 点 B1 到底面 ABC 的距离),故 AB1 与底面 ABC 所成的角的正弦值为 AB = 3 . 1 答案 10. 解析 如图,PA⊥α,PB⊥β, 垂足分别为 A、B, α∩β=l,l∩平面 PAB=O, 连接 OA、OB, 可证明∠AOB 为二面角 αlβ 的平面角, 则∠AOB=90° ?PA⊥PB. 答案 ①③④?②或②③④?① 2 3

能力提高 11. 证明 由题意:CO⊥AO,BO⊥AO, ∴∠BOC 是二面角 B-AO-C 的平面角, 又∵二面角 B-AO-C 是直二面角,∴CO⊥BO, 又∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面 AOB, ∵CO?平面 COD, ∴平面 COD⊥平面 AOB. 12. (1)证明 如图所示,连接 BD,

由 ABCD 是菱形且∠BCD=60° 知, △BCD 是等边三角形. 因为 E 是 CD 的中点,所以 BE⊥CD. 又 AB∥CD,所以 BE⊥AB. 又因为 PA⊥平面 ABCD, BE?平面 ABCD, 所以 PA⊥BE. 而 PA∩AB=A,

因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE?平面 PBE, 所以平面 PBE⊥平面 PAB. (2)解 由(1)知 BE⊥平面 PAB,PB?平面 PAB,

所以 PB⊥BE. 又 AB⊥BE, 所以∠PBA 是二面角 A-BE-P 的平面角. PA 在 Rt△PAB 中,tan∠PBA=AB= 3,∠PBA=60° , 故二面角 ABEP 的大小是 60° .

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