直线、平面垂直的判定及其性质 习题

人教 A 版高中数学必修二第二章

《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》 练习题 3

2.3.3 直线与平面垂直的性质
基础练习

1．已知直线 l⊥平面 α，直线 m?α，则( A．l⊥m C．l，m 异面 B．l∥m D．l，m 相交而不垂直

)．

2．若斜线段 AB 是它在平面 α 上的射影的长的 2 倍，则 AB 与平面 α 所成的角是 ( A．60° B．45° C．30° D．120° 3．如图所示，PO⊥平面 ABC，BO⊥AC，在图中与 AC 垂直的线段有( )． )．

A．1 条

B．2 条

C．3 条

D．4 条

4． 在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中， E， F 分别是棱 AB， BC 的中点， O 是底面 ABCD 的中心(如图)，则 EF 与平面 BB1O 的关系是________．

5．如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，截面 C1D1AB 与底面 ABCD 所成二面角 C1-AB-C 的大小为________．

巩固练习 6．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD， PD＝DC，E 是 PC 的中点，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.

(1)求证：PA∥平面 EDB； (2)求证：PB⊥平面 EFD. 7．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这 两个二面角( A．相等 C．相等或互补 )． B．互补 D．关系无法确定

8．如图，设 P 是正方形 ABCD 外一点，且 PA⊥平面 ABCD，则平面 PAB 与平 面 PBC、平面 PAD 的位置关系是( )．

A．平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都垂直 B．它们两两垂直 C．平面 PAB 与平面 PBC 垂直，与平面 PAD 不垂直 D．平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都不垂直 9．已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，若 A1 在底面 ABC 内的射 影为△ABC 的中心，则 AB1 与 ABC 底面所成的角的正弦值等于________． 10．若 α、β 是两个不同的平面，m、n 是平面 α 及 β 外的两条不同的直线，给出 四个论断： ①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β. 以其中三个论断作为条件， 余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命 题________．

能力提高 π 11．如图所示，在 Rt△AOB 中，∠ABO＝6，斜边 AB＝4，Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋转得到，且二面角 B-AO-C 是直二面角，D 是 AB 的 中点．

求证：平面 COD⊥平面 AOB. 12．如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠BCD＝60° ， E 是 CD 的中点，PA⊥底面 ABCD，PA＝ 3.

(1)证明：平面 PBE⊥平面 PAB； (2)求二面角 A-BE-P 的大小．

答案 基础练习 1． 解析 无论 l 与 m 是异面，还是相交，都有 l⊥m，考查线面垂直的定义，故选 A. 答案 A 2． 解析 斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO 即是斜线

OB 1 AB 与平面 α 所成的角， 又 AB＝2BO，所以 cos∠ABO＝ AB ＝2.所以∠ABO＝60° . 故选 A. 答案 A

3． 解析 ∵PO⊥平面 ABC，∴PO⊥AC，又∵AC⊥BO， ∴AC⊥平面 PBD， ∴平面 PBD 中的 4 条线段 PB，PD，PO，BD 与 AC 垂直． 答案 D 4． 解析 由正方体性质知 AC⊥BD， BB1⊥AC， ∵E，F 是棱 AB，BC 的中点， ∴EF∥AC， ∴EF⊥BD，EF⊥BB1， ∴EF⊥平面 BB1O. 答案 垂直 5． 解析 ∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC 为二面角 C1ABC 的平面角，大小为 45° . 答案 45° 巩固练习 6． 证明 (1)连接 AC 交 BD 于点 O.连接 EO，如图．

∵底面 ABCD 是正方形， ∴点 O 是 AC 的中点． 在△PAC 中 EO 是中位线， ∴PA∥EO. 而 EO?平面 EDB，且 PA?平面 EDB. 所以 PA∥平面 EDB. (2)∵PD⊥底面 ABCD，且 DC?底面 ABCD. ∴PD⊥DC.

∵PD＝DC，可知△PDC 是等腰直角三角形，而 DE 是斜边 PC 的中线， ∴DE⊥PC.① 同样由 PD⊥底面 ABCD，得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形，有 DC⊥BC， ∴BC⊥平面 PDC.而 DE?平面 PDC， ∴BC⊥DE.② 由①和②推得 DE⊥平面 PBC. 而 PB?平面 PBC，∴DE⊥PB. 又 EF⊥PB，且 DE∩EF＝E，∴PB⊥平面 EFD. 7． 解析 如图所示，平面 EFDG⊥平面 ABC，当平面 HDG 绕 DG 转动时，平面

HDG 始终与平面 BCD 垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角 HDGF 的大小不确定． 答案 D 8． 解析 ∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BC. 又 BC⊥AB，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面 PAB，∵BC?平面 PBC， ∴平面 PBC⊥平面 PAB. 由 AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得 AD⊥平面 PAB. ∵AD?平面 PAD，∴平面 PAD⊥平面 PAB. 由已知易得平面 PBC 与平面 PAD 不垂直，故选 A. 答案 A 9．解析 由题意知，三棱锥 A1-ABC 为正四面体(各棱长都相等的三棱锥)，设棱 长为 a，则 AB1＝ 3a，棱柱的高 A1O＝ a2－AO2＝ 6 ?2 3 ? a2－? × a?2＝ 3 a(即 ?3 2 ?

A1O 2 点 B1 到底面 ABC 的距离)，故 AB1 与底面 ABC 所成的角的正弦值为 AB ＝ 3 . 1 答案 10． 解析 如图，PA⊥α，PB⊥β， 垂足分别为 A、B， α∩β＝l，l∩平面 PAB＝O， 连接 OA、OB， 可证明∠AOB 为二面角 αlβ 的平面角， 则∠AOB＝90° ?PA⊥PB. 答案 ①③④?②或②③④?① 2 3

能力提高 11. 证明 由题意：CO⊥AO，BO⊥AO， ∴∠BOC 是二面角 B-AO-C 的平面角， 又∵二面角 B-AO-C 是直二面角，∴CO⊥BO， 又∵AO∩BO＝O，∴CO⊥平面 AOB， ∵CO?平面 COD， ∴平面 COD⊥平面 AOB. 12． (1)证明 如图所示，连接 BD，

由 ABCD 是菱形且∠BCD＝60° 知， △BCD 是等边三角形． 因为 E 是 CD 的中点，所以 BE⊥CD. 又 AB∥CD，所以 BE⊥AB. 又因为 PA⊥平面 ABCD， BE?平面 ABCD， 所以 PA⊥BE. 而 PA∩AB＝A，

因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE?平面 PBE， 所以平面 PBE⊥平面 PAB. (2)解 由(1)知 BE⊥平面 PAB，PB?平面 PAB，

所以 PB⊥BE. 又 AB⊥BE， 所以∠PBA 是二面角 A-BE-P 的平面角． PA 在 Rt△PAB 中，tan∠PBA＝AB＝ 3，∠PBA＝60° ， 故二面角 ABEP 的大小是 60° .

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