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江苏如东高级中学2011届高三数学考前热身练习试卷新人教B版【会员独享】


江苏如东高级中学 2011 届高三考前热身练习数学试卷
小题, 不需写出解答过程, 一、填空题:本题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸指 填空题: 定位置上. 定位置上. 1.已知集合 A = { x | x > 0} , B = { x | ?1 ≤ x ≤ 2} ,则 A U B = ▲ . ▲ ”. .

2. f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f ( ?2) + f (0) + f (3) = 2 , f (2) ? f (3) = 设 且 则 3. “直线 ax + 2 y + 1 = 0 和直线 3x + (a ? 1) y + 1 = 0 平行”的充要条件是“ a = 4.若复数 z 满足 z (1 + i ) = 1 ? i ( i 是虚数单位),则其共轭复数 z = ▲ . ▲

5. 某产品在连续 7 天中,不合格品的数据分别为 4,2,1,0,0,0,0,则这组数据的标准 差= ▲ . 6.顶点在原点且以双曲线 7.将函数 y = sin(2 x +

x2 ? y 2 = 1 的右准线为准线的抛物线方程是 3





π

3 称轴重合,则平移的最小单位是 ▲ . 8.设 a, b 为不重合的两条直线, α , β 为不重合的两个平面,给出下列命题:

) 的图像沿坐标轴右移,使图像的对称轴与函数 y = cos(2 x +

π
3

) 的对

(1)若 a ? α , b ? α , a, b 是异面直线,那么 b // α ; (2)若 a ∥ α 且 b ∥ α ,则 a ∥ b ; (3)若 a ? α , b // α , a, b 共面,那么 a // b ; (4)若 a ⊥ α 且 a ⊥ β ,则 α ∥ β . 上面命题中,所有真命题的序号是 ... ▲ . 开始 输入 n N n≤5 Y Sn←-n2+9n

9.已知有序数对 (a, b) 满足 a ∈ [ 0,3] , b ∈ [ ?2, 2] ,关于 x 的一元二次方 程 x 2 + 2ax + b 2 = 0 有实根的概率 ▲ .

10.已知 {an } 是等差数列,设 S n =| a1 | + | a2 | + L + | an | (n ∈ N ? ) .某 学生设计了一个求 Sn 的部分算法流程图(如图) ,图中空白处理框中是用

n 的表达式对 Sn 赋值,则空白处理框中应填入: Sn ← ▲
11.已知 x, y ∈ [?

. 输出 Sn 结束 (第 10 题图)

, ] , x3 + sin x ? 2a = 0, 4 y 3 + sin y cos y + a = 0 , 4 4 ▲ . 则 tan( x + 2 y ) =

π π

12.函数 f ( x) 满足 ln x = 则 f ( x1 x2 ) 的最小值为

1 + f ( x) ,且 x1 , x2 均大于 e , f ( x1 ) + f ( x2 ) = 1 , 1 ? f ( x)
▲ .
0

13. 已知 O 为 ?ABC 外心, AB=2, AC=1, BAC = 120 , AO = λ1 AB + λ2 AC , λ1 + λ2 = ∠ 若 则 ▲ .

uuur

uuu r

uuur

14.在平面直角坐标系中,定义 d ( P, Q ) = x1 ? x2 + y1 ? y2 为两点 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) 之间
专心 爱心 用心 -1-

的“折线距离”. 则圆 x + y = 1 上一点与直线 2 x + y ? 2 5 = 0 上一点的“折线距离”
2 2

的最小值是____▲___. 小题, 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请 解答题: 把答案写在答题纸的指定区域内. 把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分) 已知:正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点. (Ⅰ) 求证: B1D1 ⊥ AE ;(Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1 DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A-BDE 的体积.

16. (本小题满分 14 分) 已知 a =(1+cos α ,sin α ), b =( 1-cos β ,sinβ ), c = (1, 0) , α ∈ (0, π ), β ∈ (π , 2π ) ,向量 a 与

r

r

r

r

r r r π c 夹角为 θ1 ,向量 b 与 c 夹角为 θ 2 ,且 θ1 - θ 2 = ,若 ?ABC 中角 A、B、C 的对边分别为 a、 6
b、c,且角 A= β ? α . 求(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 ?ABC 的外接圆半径为 4 3 ,试求 b+c 取值范围.

专心

爱心

用心

-2-

17.(本题满分 15 分) 国家加大水利工程建设,某地区要修建一条灌溉水渠,其横断面为等腰梯形(如图) ,底角 A 为 600 ,考虑到坚固性及用料原因,要求其横断面的面积为 6 3 平方米,记水渠深为 x 米,用 料部分的周长(即渠底 BC 及两腰长的和)为 y 米, ⑴.求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; ⑵.当水渠的腰长 x 为多少米时,水泥用料最省(即断面的用料部分 的周长最小)?求此时用料周长的值 ⑶.如果水渠的深限制在 ?3, 3 ? ? ? 最小值是多少米? 范围内时,横断面用料部分周长的

18.(本小题满分 15 分) 如图,在直角坐标系中,中心在原点,焦点在 X 轴上的椭圆 G 的离心率为 e = (-4,0) ,圆 O′ : ( x ? 2)2 + y 2 = r 2 是椭圆 G 的内接 ?ABC 的内切圆. (Ⅰ) 求椭圆 G 的方程; (Ⅱ) 求圆 O′ 的半径 r; (Ⅲ)过 M (0,1) 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E,F 两点,判断直线 EF 与圆 O′ 的位置关系,并 证明.

15 ,左顶点 A 4

y
M

B
F

A

0

o′

x
C

E

19.(本小题满分 16 分)
专心 爱心 用心

-3-

数列 {bn } 定义如下:对于正整数 m , bm 是使不等式 an ≥ m 成立中的所有 n 中的最小值 (Ⅰ)若正项数列 {an } 前 n 和为 Sn , S n 是

1 与 (an + 1) 2 的等比中项,求 an 及 bn 通项; 4

( Ⅱ ) 若 数 列 {an } 通 项 为 an = pn + q (n ∈ N ? , p > 0) , 是 否 存 在 p 和 q , 使 得

bm = 3m + 2( m ∈ N ? ) ,如果存在,求出 p 和 q 的取值范围,如果不存在,请说明理由.



20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) = ln x ? ax +

1? a ? 1 (a ∈ R) . x

(Ⅰ) 当 a ≥ 0 时,讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 g ( x) = x ? 2bx + 4. 当 a =
2

1 时, 4

( i )若对任意 x1 ∈ (0, 2) ,存在 x2 ∈ [1, 2] ,使 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围. ( ii ) 对于任意 x1 , x2 ∈ (1, 2] 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ λ

1 1 ? ,求 λ 的取值范围. x1 x2

附加题部分
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题 21.
专心 爱心 用心 -4-

卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1 几何证明选讲 如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙O 上一点,AE=AC, DE 交 AB 于点 F.求证:△PDF∽△POC. E F B D C B.选修 4-2 矩阵与变换
(第 21-A 题)

A

· O

P

1 已知矩阵 A = ? a b ? ,若矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为 α1 = ? ? ,属于特征值-1 的一 ?1? ?c d ? ?? ? ?

? 1? 个特征向量为 α 2 = ? ? ,求矩阵 A . ? ?1?

C.选修 4-4 坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C1 :

ρ cos(θ + ) = 2 2 与曲线 C2: ?

π 4

? x = 4t 2 , ? y = 4t

(t∈R)交于 A、B 两点.求证:OA⊥OB. R

D.选修 4-5 不等式选讲
y 已知 x,y,z 均为正数.求证: x + + z ≥1+ 1+ 1 . yz zx xy x y z

专心

爱心

用心

-5-

【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 是棱 BC 的中点, Q 在棱 CD 上. 22 且 DQ = λ DC ,若二面角 P ? C1Q ? C 的余弦值为

14 ,求实数 λ 的值. 7
A1 D1

B1

C1

A Q B P C

D

23.已知 ( x + 1) = a0 + a1 ( x ? 1) + a2 ( x ? 1) + a3 ( x ? 1) + ... + an ( x ? 1) , (其中 n ∈ N )
n 3 n
*

(1)求 a0 及 S n =

∑a ;
i =1 i

n

(2) 试比较 Sn 与 (n ? 2)2 + 2n 的大小,并说明理由.
n
2

参考答案
一、填空题: 填空题:
1、 ?1, +∞ ) [

? 2、 2
8、③④ 9、

? 3、 2

i 4、
10、 10、 n ? 9n + 40
2

5、

2
11、 11、0

2 6、y = ?6 x

7、 13、 13、

π
4

2 3

12、 12、

5 7

专心

爱心

用心

-6-

13 6

14、 14、

5 2

二、解答题: 解答题:
15.解:(Ⅰ)证明:连结 BD ,则 BD // B1 D1 , ∵ ABCD 是正方形,∴ AC ⊥ BD .∵ CE ⊥ 面 ABCD ,∴ CE ⊥ BD . 又 AC I CE = C , ∴ BD ⊥ 面

ACE .

--------------------------------3 分

∵ AE ? 面 ACE , BD ⊥ AE , B1 D1 ⊥ AE . ∴ ∴ --------------------5 分 (Ⅱ)证明:作 BB1 的中点 F,连结 AF、CF、EF . ∵ E、F 是 CC1、BB1 的中点,∴ CE

B1 F ,

∴四边形 B1 FCE 是平行四边形,∴ CF// B1 E . ∵ E , F 是 CC1、BB1 的中点,∴ EF //BC ,又 BC // AD ,∴ EF // AD . ∴四边形 ADEF 是平行四边形,∴ AF // ED ,∵ AF I CF = C , B1 E I ED = E , ∴ 平 面

ACF // 面 B1 DE .



AC ? 平 面 ACF , ∴ AC // 面

B1 DE .---------------------------10 分
(Ⅲ) S ?ABD =

VA? BDE

1 AB ? AD = 2 . 2 1 1 2 = VE ? ABD = S ?ABD ? CE = S ?ABD ? CE = ---------------------------------3 3 3
Ⅰ ) 据 题 设 , 并 注 意 到

-----------------14 分 16 . (

α、 β









r r a?b α cos θ1 = r r = cos ---------------------------------2 分 2 a b

cos θ 2 =

1 ? cos β (1 ? cos β ) 2 + sin 2 β

= sin

β
2

= cos(

β

? ) 2 2

π



-------------------------------------------4 分 由于 θ1、 2 为向量夹角,故 θ1、 2 ∈ [ 0,π ] , θ θ



α

∈ (0, ), 2 2

π

β
2

?

π

∈ (0, ), 2 2
专心 爱心

π


用心



α
2

= θ1 ,

β
2

?

π
2

= θ2




-7-

A = β ?α =
( Ⅱ

2π .-----------7 分 3
2 ) 由 正 弦 定 理

) (

a sin

π
3

=

b c = =8 3 sin B sin C



--------------------------------------------------10 分 得

b + c = 8 3(sin B + sin C ) = 8 3[sin B + sin( ? B)] = 8 3 sin( B + ) ----------------3 3
------12 分 注 意 到

π

π

B+

π

π 2π ∈( , ) 3 3 3









b + c ∈ (12,8 3]. -----------------------------------------------------14 分
17.解: (1)由 AD = BC + 2

x 1 ,及 S = ( AD + BC ) x = 6 3 , 2 3



6 3 x BC = ? x 3





?x ≥ 0 ? ? 6 3 x >0 ? BC = x ? 3 ?





0< x<3 2



------------------------------4 分 所 以

y = BC + 2 AB =

6 3 + 3x x











(0,3 2)

-------------------------------6 分 (2) y =

6 3 6 3 + 3x ≥ 2 ? 3 x = 6 2 ,当且仅当,即 x = 6 ∈ ( 0,12 ) 时等号成立, x x

所 以 用 料 周 长 最 少 为 ------------------------------10 分

6 2

米 , 此 时 腰 长 为

6

米 .

( 3 ) x ∈ ?3, 2 3 ? , y = 3( x + ) 递 增 , 所 以 x = 3 时 , ymin = 5 3 米

?

?

6 x

-------------------------------15 分

15 c x2 = , a = 4 得 c = 15, b = 1 , 椭 圆 G 方 程 为 + y2 = 1 4 a 16 -----------------------5 分
18. 解 : (Ⅰ) e= (Ⅱ)设 B 2 + r , y0) ( ,过圆心 o′ 作 O′D ⊥ AB 于 D , BC 交长轴于 H 由

O′D HB = AD AH



r 36 ? r 2

=

y0 6+r

,



y0 =

r 6+r 6?r

(1)---------------------------7 分
专心 爱心 用心

-8-

而 点 B (2 + r , y0) 在 椭 圆 上 , y0 = 1 ?
2

(2 + r ) 2 12 ? 4r ? r 2 (r ? 2)(r + 6) = =? 16 16 16
2 6 或 r=? ( 舍 去 ) 3 5

(2)-------------9 分 由 (1) 、 (2) 式 得 15r + 8r ? 12 = 0 , 解 得 r =
2

-------------------------------------------11 分 (2) 直线 EF 与圆 O′ 的相切 设过点 M(0,1) 与圆 ( x ? 2) 2 + y 2 = 则

4 相切的直线方程为: y ? 1 = kx 9
(4)

(3)

2k + 1 2 = ,即 32 k 2 + 36 k + 5 = 0 2 3 1+ k

解得 k1 =

?9 + 41 ?9 ? 41 , k2 = 16 16 x2 + y 2 = 1 得 (16k 2 + 1) x 2 + 32kx = 0 , 则 异 于 零 的 解 为 16

将 (3) 代 入

x=?

32k ----------------------13 分 16k 2 + 1 32k1 32k 2 , x2 = ? 2 16k1 + 1 16k 2 2 + 1

设 F ( x1 , k1 x1 + 1) , E ( x2 , k2 x2 + 1) ,则 x1 = ?

则直线 FE 的斜率为: k EF =

k2 x2 ? k1 x1 k +k 3 = 1 2 = x2 ? x1 1 ? 16k1k2 4
即y=

于是直线 FE 的方程为: y +

32k12 3 32k1 ?1 = (x + ) 2 16k1 + 1 4 16k12 + 1

3 7 x? 4 3

3 7 ? 2 2 3 则 圆 心 (2, 0) 到 直 线 FE 的 距 离 d = = 3 9 1+ 16
---------------------------------------------15 分 19.解:(Ⅰ)由于 S n 是

故 结 论 成 立 .

1 1 与 (an + 1) 2 的等比中项,∴ S n = (an + 1)2 4 4 1 当 n =1 时 , S1 = (a1 + 1)2 ,∴ a1 = 1 4 ------------------------------2 分 1 1 当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = (an + 1) ? (an ?1 + 1) ,由 an > 0 ,化简有 an ? an ?1 = 2 4 4



所 以 { an } 是 等 差 数 列 , an = 2 n ? 1 , 检 验 当 n = 1 时 也 适 合 , 即 an = 2 n ? 1
专心 爱心 用心 -9-

---------------------5 分 对于正整数,由 an ≥ m ,得 n ≥

m +1 .根据 bm 的定义可知 2

w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

当 m = 2k ? 1 时, bm = k k ∈ N * ;当 m = 2k 时, bm = k + 1 k ∈ N * .

(

)

(

)

? n +1 ? 2 , n是奇数 ? ∴ bn = ? ? n + 1, n是偶数 ?2 ?
--------------------------------------------9 分 (Ⅱ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn + q ≥ m 及 p > 0 得 n ≥

-

m?q . p

∵ bm = 3m + 2( m ∈ N ? ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m + 1 <

m?q ≤ 3m + 2 ,即 ?2 p ? q ≤ ( 3 p ? 1) m < ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立. p p+q 2p + q (或 m ≤ ? ) , 3 p ?1 3 p ?1
结 论 矛 盾 !

当 3 p ? 1 > 0 (或 3 p ? 1 < 0 )时,得 m < ? 这 与 上 述 -------------------------------13 分 当 3 p ? 1 = 0 ,即 p =

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ≤ 0 < ? ? q ,解得 ? ≤ q < ? . 3 3 3 3 3 1 2 1 ∴ 存在 p 和 q, 使得 bm = 3m + 2( m ∈ N ? ) ;p 和 q 的取值范围分别是 p = , ? ≤q<? , 3 3 3
---------------------------16 分 20.解:(Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 ( 0,+∞ ) ,因为 f ′( x ) = 所以当 a = 0 时,f ′( x ) = 上 是 增 函

1 1 ? a ? ax 2 + x + a ? 1 ?a? 2 = , x x x2

x ?1 x ?1 , f ′( x ) = 2 > 0 得 x > 1 , 令 所以此时函数 f ( x ) 在 (1,+∞ ) 2 x x
数 , 在

1) ( 0,











-----------------------------------------2 分

1 ? x 2 + 2 x + ?1 ?( x ? 1) 2 ′( x) = = ≤ 0 ,所以此时函数 f ( x) 在 ( 0,+∞ ) 是减函 当 a = 时, f 2 2 x2 2 x2
数; 当0<a<

1 ? ax 2 + x + a ? 1 1 时 , 令 f ′( x ) = > 0 , 解 得 1 < x < ? 1 , 此 时 函 数 f ( x) 在 2 2 x a
专心 爱心 用心 - 10 -

? 1 ? ?1, ? 1? ? a ?













1 (0,1)和( ? 1, +∞) a













--------------------------------------------------------------4 分 当

1 ? ax 2 + x + a ? 1 1 < a < 1 , 令 f ′( x) = > 0 , 解 得 ? 1 < x < 1 , 此 时 函 数 f ( x) 在 2 2 x a
是 增 函 数 , 在

?1 ? ? ? 1,1 ? ?a ?

1 (0, ? 1)和(1, +∞) a













--------------------------------------------------------------6 分 当 a ≥1, 由于

1 ? ax 2 + x + a ? 1 ? 1 ≤ 0 , 令 f ′( x) = , > 0, 解得 0 < x < 1 , 此时函数 f ( x ) 在 a x2
增 函 数 , 在

( 0,1)



(1, +∞)











.

--------------------------------------------------------------8 分 (Ⅱ) ( i )当 a = 意 x1 ∈ (0, 2) ,

1 时, f(x) 在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任 4

1 1 , 又已知存在 x2 ∈ [1, 2] , f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) , 使 所以 ? ≥ g ( x2 ) ,x2 ∈ [1, 2] , 2 2 9 1 9 17 11 2 2 即存在 x ∈ [1, 2] , g ( x ) = x ? 2bx + 4 ≤ ? , 2bx ≥ x + , 2b ≥ x + 2 ∈ [ , ] , 使 即 即 2 2 x 4 2 17 17 17 所 以 2b ≥ , 解 得 b≥ , 即 实 数 b 取 值 范 围 是 [ , +∞ ) . 4 8 8
有 f(x1 ) ≥ f(1)=----------------------------12 分 ( ii )不妨设 1 < x1 ≤ x2 ≤ 2 ,由函数 f ( x ) 在 (1, 2] 上是增函数,函数 y = 减函数,

1 在 (1, 2] 是 x

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ λ

1 1 ? x1 x2







f ( x2 ) ? f ( x1 ) ≤ λ (

1 1 ? ) x1 x2







f ( x2 ) + λ

1 1 ≤ f ( x1 ) + λ x2 x1

1 3 λ x+ + 是减函数, x 4 4x x 3 1 1 所 以 h′( x) ≥ 0 在 (1, 2] 上 恒 成 立 , 即 + λ ≥ x ? x 2 = ? ( x ? 2) 2 + 1 , 解 得 4 4 4 1 λ ≥ .-------------16 分 4
设 h( x) = f ( x) +

λ

= ln x ?

专心

爱心

用心

- 11 -

附加题部分
A.选修 4-1 几何证明选讲 证 明 : ∵ AE=AC , ∠ CDE = ∠ AOC , ---------------------------------------------------3 分 又∠CDE=∠P+∠PDF,∠AOC=∠P+∠OCP, PDF = ∠ 从 而 ∠ OCP. ---------------------------------------------------8 分 在△PDF 与△POC 中, ∠P=∠P,∠PDF=∠OCP, PDF ∽ △ 故 △ POC. --------------------------------------------------10 分 B.选修 4-2 矩阵与变换 解:由矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为 α1 = ? ? 可 得

?a b ? ?c d ? ? ?

?1? ?1? ??



3

?1? ?1? ?1? ?1? ??





?a + b = 3 ? ?c + d = 3



----------------------------------------------------4 分 由矩阵 A 属于特征值 2 的一个特征向量为 α 2 = ?

? 1? ?a b ? ? 1? ? 1? ? ,可得 ?c d ? ? ?1? =(-1) ? ?1? , ? ?1? ? ? ? ? ? ? ?a ? b = ?1 ? ?c ? d = 1

即 ----------------------------------------------------6 分 解 得
?a ?b ? ? ?c ?d ? =1 = 2 = 2 =1







?1 2 ? A=? ? ? 2 1?

---------------------------------------------------10 分 C.选修 4-4 坐标系与参数方程 解:曲线 C1 的直角坐标方程 x ? y = 4 ,曲线 C2 的直角坐标方程是抛物线 y 2 = 4 x ,…4 分 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,将这两个方程联立,消去 x , 得

y 2 ? 4 y ? 16 = 0 ? y1 y2 = ?16



y1 + y 2 = 4 . ---------------------------------6 分

∴ x1 x 2 + y1 y 2 = ( y1 + 4)( y 2 + 4) + y1 y 2 = 2 y1 y 2 + 4( y1 + y 2 ) + 16 = 0 . ---------------8 分
专心 爱心 用心 - 12 -



uuu uuu r r OA ? OB = 0



∴ OA ⊥ OB .

-------------------------------------------------10

分 D.选修 4-5 不等式选讲 证 明 : 因 为 x , y , z 都 是 x y 1 x y 2 + = ( + ) ≥ .-------------------------4 分 yz zx z y x z
同理可得 y z 2 z x 2 + ≥ , + ≥ , zx xy x xy yz y













当 且 仅 当 x = y = z 时 , 以 上 三 式 等 号 都 成 立. --------------------------------------7 分 将 上 述 三 个 不 等 式 两 边 分 别 相 加 , 并 除 以 2 , 得 x y z 1 1 1 + + ≥ + + . --------------------------- 10 分 yz zx xy x y z 22. 22.解:以 AB, AD, AA1 为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz , 设正方体的棱长为 4,则各点的坐标分别为 A(0, 0, 0) ,

uuu uuur uuur r

B (4, 0, 0) , C (4, 4, 0) , D (0, 4, 0) ; A1 (0, 0, 4) ,

z
A1 D1

B1 (4, 0, 4) , C1 (4, 4, 4) , D1 (0, 4, 4) , P(4, 2, 0) , Q(4λ , 4, 0)
----------------------------------------2 分 设平面 C1 PQ 法向量为 n = (1, b, c ) ,而 PC1 = (0, 2, 4) ,

B1

C1

r

uuuu r

uuu r PQ = (4λ ? 4, 2, 0) , ? 2b + 4c = 0 , 可 得 一 个 法 向 量 所 以 ? ?(4λ ? 4) + 2b = 0 r n = (a, b, c) = (1, ?2(λ ? 1), (λ ? 1)) ,------------6


A Q B P C

D

y

x

设面 C1 PQ 的一个法向量为 u = (0,1, 0) , 则

r

r r cos < n, u > =

?2(λ ? 1) 1 + 4(λ ? 1) + (λ ? 1)
2 2

=

14 7



-----------------------------------8 分 即 :

(λ ? 1) 2 = 2 3

1 9











Q





CD









λ = .--------------------------------10 分
23.解: (1)令 x = 1 ,则 a0 = 2 ,令 x = 2 , 23.
n



∑a
i =0

n

i

= 3n ,∴ S n = 3n ? 2 n ;
n 2
n

----------------------3 分

(2)要比较 Sn 与 (n ? 2)2 + 2n 的大小,即比较: 3 与 ( n ? 1)2 + 2n 的大小,
n

2

专心

爱心

用心

- 13 -

当 n = 1 时, 3 > ( n ? 1)2 + 2n ;当 n = 2,3 时, 3 < ( n ? 1)2 + 2n ;
n n 2 n n 2



n = 4, 5





3n > (n ? 1)2n + 2n 2



-----------------------------------5 分 猜想:当 n ≥ 4 时 n ≥ 4 时, 3n > ( n ? 1)2n + 2n 2 ,下面用数学归纳法证明: 由上述过程可知, n = 4 n = 4 时结论成立, 假设当 n = k ( k ≥ 4) n = k , ( k ≥ 4) 时结论成立,即 3 > ( n ? 1)2 + 2n ,
n n 2

两边同乘以 3 得: 3 而

k +1

> 3[(k ? 1)2k + 2k 2 ] = k 2k +1 + 2(k + 1)2 + [(k ? 3)2k + 4k 2 ? 4k ? 2]

(k ? 3)2k + 4k 2 ? 4k ? 2 = (k ? 3)2k + 4(k 2 ? k ? 2) + 6 = (k ? 2)2 k + 4(k ? 2)(k + 1) + 6 > 0
∴3
k +1

> [(k + 1) ? 1]2k +1 + 2(k + 1) 2

即 n = k + 1 时结论也成立, ∴当 n ≥ 4 时, 3n > ( n ? 1)2n + 2n 2 成立. 综上得,当 n = 1 时, 3n > ( n ? 1)2n + 2n 2 ; 当 n = 2,3 时, 3n < ( n ? 1)2 n + 2n 2 ;当 n ≥ 4, n ∈ N ? 时, 3n > ( n ? 1)2n + 2n 2 ------10 分

专心

爱心

用心

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