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高三数学(文)双曲线复习(一)人教版知识精讲.doc


高三数学(文)双曲线复习(一)人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容: 双曲线复习(一) (一)双曲线的基础知识 名称 1. 定义 2. 标准方程 双曲线

MF1 ? MF 2 ? 2a ( 2a ? 2c )

x2 y2 焦点在 x 轴上: 2 ? 2 ? 1 a b 2 y x2 焦点在 y 轴上: 2 ? 2 ? 1 a b

3. 图形

c2 ? a2 ? b2
4. 范围 5. 对称性 6. 顶点、准线

x ? a; y?R
将 M( x, y )的对称点坐标( x , ? y ); ( ? x, y ); ( ? x,? y ) 代入原方程,原方程不变 顶点: A1 (?a,0) A2 (a,0) 实轴: A1 A2 ;虚轴: B1 B2

7. 渐近线

8. 离心率

a2 c x2 y2 b (1)记忆: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x a a b 2 x y2 (2)有共同渐近线的双曲线系: 2 ? 2 ? ? a b 2 2 x y (3)共轭双曲线: 2 ? 2 ? ?1 a b 2 2 2 2 2 2 (4)等轴双曲线: x ? y ? a ; y ? x ? a c e? e ?1 a
准线: x ? ?

用心

爱心

专心

9. 统一定义

MF d

?e?

MF1 d

?

MF2 ?e d?

【典型例题】
[例 1] 求与两个定圆 C1: x 2 ? y 2 ? 10x ? 24 ? 0 和 C2: x 2 ? y 2 ? 10x ? 24 ? 0 都相切的 动圆的圆心的轨迹方程。 解:⊙C1: ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 49 ? C1 (?5,0), r1 ? 7 ⊙C2: ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 1 ? C2 (5,0), r2 ? 1 设动圆圆心为 M( x, y ),半径为 R (1)如图 1,当⊙M 与⊙C1、⊙C2 都外切时,有 MC1 ? r1 ? R , MC2 ? r2 ? R 则 MC1 ? MC2 ? r1 ? r2 ? 6

图1 (2)如图 2,当⊙M 与⊙ C1 、⊙ C 2 都内切时,有 MC1 ? R ? r1 , MC2 ? R ? r2 则 MC1 ? MC2 ? r2 ? r1 ? ?6

图2 在(1)(2)两条情况下,点 M 与两定点 C1、C2 的距离的差的绝对值是 6,由双曲线的 定义,点 M 的轨迹是以 C1( ? 5,0 ),C2(5,0)为焦点实轴长为 6 的双曲线 c ? 5 , a ? 3

? b ? c 2 ? a 2 ? 52 ? 32 ? 4 ,方程为: ? MC1 ? MC2 ? r1 ? r2 ? 8

x2 y2 ? ?1 9 16 (3)如图 3,当⊙M 与⊙C1 外切,与⊙C2 内切时,有 MC1 ? r1 ? R, MC2 ? R ? r2

用心

爱心

专心

图3 (4)如图 4,当⊙M 与⊙C1 内切,与⊙C2 外切时,有

MC1 ? R ? r1 , MC2 ? r2 ? R ? MC1 ? MC2
x2 y2 ? ?1 ? ?(r1 ? r2 ) ? ?8 ,同理双曲线方程为 16 9

图4

x y x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 综上,所求动点轨迹方程为 9 16 16 9
注意: (1)涉及平面上到两定点距离之和或差的绝对值用椭圆或双曲线定义来解题。 (2)涉及平面上到定点和定直线距离之比用圆锥曲线,椭圆,双曲线,抛物线的定义 来解题。

2

2

[例 2] 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上, a2 b2 ?F1 PF2 ? ? ,求 ?F1 PF2 的面积 S。
y P x

F1

F2

用心

爱心

专心

解:设 PF 1 PF 2 中,由余弦定理,有 1 ?r 1 , PF 2 ? r2 ,在 ?F

F1 F2

2

? PF1 ? PF2

2

2

? 2 PF1 ? PF2 ? cos ?F1 PF2

(2c) 2 ? r12 ? r22 ? 2r1r2 cos? (2c) 2 ? (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1r2 (1 ? cos? )
2r1 r2 ? (2c) 2 ? (2a) 2 1 ? cos?
即 r1 r2 ?

2b 2 1 ? cos?

S ?F1PF2 ?

1 sin ? r1 r2 ? sin ? ? b 2 ? b2 2 1 ? cos?

2 sin

?
2

cos

?
2

1 ? (1 ? 2 sin 2
2

?
2

? b 2 cot )

?
2

进一步由 S ?F1PF2 ? 注意: 椭圆中, cos ? ?

1 b ? F1 F2 ? y P ? y P ? cot 2 c 2

a 1 ? c e

双曲线中 cos ? ?

a 1 ? c e

x2 y2 ? ? 1 右支上两点, F1 、 F2 分别是左、右焦点。 [例 3] 设 A、B 是双曲线 4 5 (1)若 AB 过 F2,且 AB ? m ,求 ?ABF 1 的周长;
(2)若弦 AB 的中点到 y 轴的距离为 4,求 AB 的最大值。 解: (1)由 A、B 在双曲线的右支上,故由双曲线的定义 ?

? ? AF1 ? AF2 ? 4 两式相加,得 ? ? BF1 ? BF2 ? 4

AF1 ? BF1 ? ( AF2 ? BF2 ) ? 8 ,又 AB ? AF2 ? BF2 ? m
故 AF 1 ? BF 1 ? 8 ? m ,则周长为 AF 1 ? BF 1 ? AB ? 8 ? 2m
用心 爱心 专心

(2)设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),由焦半径公式 AF2 ? e x1 ?

a2 ? ex1 ? a c

x2 y2 3 ? ? 1 ? a ? 2, b ? 5 , c ? 3, e ? 4 5 2 x1 ? x 2 3 3 ? 4 ? x1 ? x 2 ? 8 则 AF2 ? x1 ? 2, BF2 ? x 2 ? 2 ,由已知 2 2 2 3 又 AB ? AF2 ? BF2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 ? 8 2 故 AB max ? 8 ,此时 AB 过焦点 F2

BF2 ? ex2 ? a ,而双曲线方程为

[例 4] 焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y ? ? 2 x ,过它的右焦点 F2 且倾斜角为 的直线 l 与双曲线交于 A、B 两点,且 AB 的中点 M 到双曲线的左准线的距离为 (1)求双曲线的方程; (2)F1 是双曲线的左焦点,求 ?AF1 B 的周长。 解:

? 3

10 3。 3

? x2 y2 ? ? 1 ? 2 2 (1) a 2 2a 2 ? ? x ? 6 3ax ? 11a ? 0 ? AB:y ? 3 ( x ? 3a) ? x ? x2 xM ? 1 ? 3 3a 2 a2 3 双曲线左准线方程: x ? ? 即x ?? a c 3 3 10 3 10 a) ? 3 ? 3 3a ? a? 3 由已知 x M ? (? 3 3 3 3 y2 2 ?1 则 a ? 1 ,故双曲线方程为 x ? 2
设双曲线的方程为
(2) AB ? 1 ? ( 3 )
2

(6 3 ) 2 ? 4 ? 11 ? 16

?AF1 B 的周长 ? ( BF 1 ? BF 2 ) ? ( AF 1 ? AF 2 ) ? 2 AB

? 4a ? 2 AB ? 4 ? 2 ?16 ? 36

用心

爱心

专心

[例 5] 若直线 ax ? y ? 2 ? 0 与平分等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 的斜率为 2 的弦的轨迹有交点, 求 a 的取值范围。 解:如图,设双曲线斜率为 2 的弦的两个端点 M( x1 , y1 ),N( x2 , y2 )( x1 ? x 2 )
2 2 ? ? x1 ? y1 ? 4 MN 中点为 P( x, y )则 ? 2 相减 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y2 ) ? 0 2 ? ? x2 ? y 2 ? 4

又 x1 ? x2 ? 2 x , y1 ? y2 ? 2 y ,

y1 ? y 2 y 1 ? 2 代入得 ? x 2 x1 ? x2

? 4 3 ? 4 3 x? ? ?x ? ? ?x ? 2 y ? 0 ? 3 或? 3 故 x ? 2y ? 0 由? 2 ? 3x 2 ? 16 ? ? ? 2 ?x ? y ? 4 ?y ? 2 3 ?y ? ? 2 3 ? ? 3 3 ? ? 4 3 2 3 4 3 2 3 故直线 x ? 2 y ? 0 与双曲线的两个交点为 E( ? ),H( ) , ,? 3 3 3 3 4 3 4 3 所以 P 点的轨迹为 x ? 2 y ? 0 ( x ? 或x? ? ) 3 3 直线 ax ? y ? 2 ? 0 为过定点 D(0, ? 2 )斜率 ? a 的直线 z
2 3 2 3 ?2 ?2 1? 3 1? 3 3 ? ? 又由 k DE ? , k DH ? 3 , 2 2 4 3 4 3 ? 3 3 1 1 则当 ? ? a ? k DH 或 k DE ? ? a ? 2 2 1 3 ?1 1? 3 1 即? 时直线 ax ? y ? 2 ? 0 与 P 点轨迹有交点 ? a ? ? 或? ? a ? 2 2 2 2 ?

用心

爱心

专心

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , F1 、 F2 是左、右焦点,P 是它左侧分支上 a2 b2 一点,P 到左准线距离为 d 。 (1)若双曲线的一条渐近线为 y ? 3x ,是否存在点 P1 使 d 、 PF1 、 PF2 成等比数
[例 6] 已知双曲线 列。 (2)在已知双曲线的左支上,使 d 、 PF1 、 PF2 成等比数列的点 P 存在时,求离心 率 e 的取值范围。 解:

c b2 ? 1? 2 ? 1? 3 ? 2 a a 2 假设存在点 P( x0 , y0 )使 d 、 PF1 、 PF2 成等比数列,即 PF1 ? d ? PF2
(1)由渐近线为 y ? 3x ? 离心率 e ? 由双曲线第二定义 又 PF1 ? e(?
2

PF1 d

?e?d ?

1 1 PF1 ,故上式即 PF1 ? PF2 e e

a ? x0 ) ? ?a ? ex0 c

1 a2 ? x0 ) ? a ? ex0 代入上式得 ? a ? ex 0 ? a ? x 0 e c e ?1 3 a ,把 e ? 2 代入得 x 0 ? ? a 由 x0 ? ?a 整理得 x0 ? ? 2 2 e ?e 3 5 故双曲线上存在点 P( ? a,? b )满足条件 2 2 e ?1 a ? ?a (2)存在点 P( x, y )满足条件 ? x0 ? ? 2 e ?e e ?1 ? 2 ? 1 ? e 2 ? 2e ? 1 ? 0 ? 1 ? e ? 2 ? 1 e ?e 故满足条件的离心率的取值范围是 (1, 2 ? 1]

PF2 ? e(

【模拟试题】(答题时间:40 分钟) 3 1. 若双曲线的两条渐近线是 y ? ? x ,焦点 F1 (? 26,0) , F2 ( 26,0) ,则它的两条 2
准线间的距离是( )

用心

爱心

专心

8 4 18 9 26 26 26 26 B. C. D. 13 13 13 13 x2 y2 2. 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点 F1、F2,弦 AB 过点 F1(AB 在左支上), a b ) AB ? l ,则 ?ABF2 的周长为(
A. A. 4a ? l
2

B. 4a ? 2l
2

C. 2a ? l

D. 4a ? l

x y ? ? 1 上一点 P 到它的左焦点距离是 24, 则 P 到右准线的距离是 ( ) 64 36 96 32 32 A. 32 或 B. 32 或 C. D. 32 5 5 5 x2 y2 4. 设双曲线 2 ? 2 ? 1 ( 0 ? a ? b )的半焦距为 c ,直线 l 过( a ,0 ),( 0, b )两 a b 3 点,已知原点到直线 l 的距离为 。 c ,则双曲线的离心率为 4 ? x2 y2 ? ? 1 上有点 P, F1 , F2 是双曲线的焦点,且 ?F1PF2 ? ,则 ?PF 5. 双曲线 1F2 3 16 9
3. 若双曲线 的面积为
2



x y2 6. 双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 3 , F1 、 F2 为焦点,P 在双曲线上且 ?PF 1 F2 的面 a b 积为 4 3 ,又 ?F1 PF2 ? 60? ,则双曲线方程是 。 x2 y2 ? ? 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 45 ? 的直线 l ,它们的交点为 A、B,求: 7. 过双曲线 9 16 (1)线段 AB 的中点 M 与 F2 的距离;(2)线段 AB 的长度。

用心

爱心

专心

试题答案
1. A 7. 解: 2. B 3. B 4. 2 5. 9 3

x2 y2 ? ?1 6. 2 4

? 90 ? 2 (1) x ? ? 7 x ? 90x ? 369 ? 0 ? x1 ? x2 ? ? y 7 又 ? ? 1? 9 16 ? 369 45 80 45 80 80 x1 ? x 2 ? ? ? M ( ? ,? ) 则 MF2 ? (? ? 5) 2 ? (? ) 2 ? 2 7 7 7 7 7 7 y 45 16 另法,由 M ? , y M ? xM ? 5 ? xM ? ? 下略 7 xM 9 (2)由 x1 ? x2 ? 0 ,则 A、B 分别在双曲线两支上
2 2

l:y ? x ? 5

a2 a2 AB ? AF2 ? BF2 ? ( ? x1 )e ? ( x2 ? )e c c 5 90 192 ? 2a ? e( x1 ? x 2 ) ? 6 ? (? ) ? 3 7 7 192 2 也可以 AB ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 7 45 x F2 ? x M 5 ? 7 80 MF2 ? ? ? 2 1 cos 45? 7 2

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爱心

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