2018版高中数学(人教A版)必修1同步教师用书：第1章 1.3.1 第1课时 函数的单调性

1.3 函数的基本性质 1．3.1 单调性与最大(小)值 第 1 课时 函数的单调性 1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单 调性．(重点、难点) 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点) 3．会求一些具体函数的单调区间．(重点) [基础· 初探] 教材整理 1 增函数与减函数的定义 阅读教材 P27～P28，完成下列问题． 增函数与减函数的定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 条件 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1＜x2 时 都有 f(x1)＜f(x2) 结论 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 都有 f(x1)＞f(x2) 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图示 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为 f(－1)<f(2)，所以函数 f(x)在[－1,2]上是增函数．( (2)若 f(x)为 R 上的减函数，则 f(0)>f(1)．( ) ) (3)若函数 f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数 f(x)在区间(1,3)上为 增函数．( 【解析】 ) (1)×.函数的单调性强调自变量的任意性而非特殊性． (2)√.由减函数的定义可知 f(0)>f(1)． ?x＋1，x∈?1，2] (3)×.反例：f(x)＝? ?x－1，x∈?2，3?. 【答案】 教材整理 2 (1)× (2)√ (3)× 函数的单调性与单调区间 阅读教材 P29 第一段，完成下列问题． 函数的单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的单调区间． 函数 f(x)＝x2－2x＋3 的单调减区间是________． 【解析】 因为 f(x)＝x2－2x＋3 是图象开口向上的二次函数，其对称轴为 x ＝1，所以函数 f(x)的单调减区间是(－∞，1)． 【答案】 (－∞，1) [小组合作型] 求函数的单调区 间 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还 是减函数． 1 (1)f(x)＝－x； ?2x＋1，?x≥1? (2)f(x)＝? ?5－x，?x<1?； (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 【精彩点拨】 (1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分 段求出相应的函数的单调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间． 1 【自主解答】 (1)函数 f(x)＝－ x 的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在 (－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数． (2)当 x≥1 时，f(x)是增函数，当 x<1 时，f(x)是减函数，所以 f(x)的单调区间 为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数 f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上 是增函数． 2 ?－x ＋2x＋3，x≥0 (3)因为 f(x)＝－x ＋2|x|＋3＝? 2 ?－x －2x＋3，x<0. 2 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数 f(x)的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)． f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数． 1．求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间 要根据函数的自变量的取值范围分段求解； (2)利用函数的图象，如本例(3)． 2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间 要用“，”隔开，如本例(3)． [再练一题] 1．函数 f(x)＝－x2＋2ax＋3(a∈R)的单调减区间为________. 2．【导学号：97030046】 【解析】 因为函数 f(x)是开口向下的二次函数， 其对称轴为 x＝a， 所以 f(x) 的单调减区间为(a，＋∞)． 【答案】 (a，＋∞) 函数单调性的判定与证 明 (1)下列四个函数中在(0，＋∞)上为增函数的是( A．f(x)＝3－x 1 C．f(x)＝x B．f(x)＝(x－1)2 D．f(x)＝x2＋2x ) x2 (2)用单调性定义证明函数 f(x)＝ 2 在区间(0,1)上是减函数． x －1 【精彩点拨】 (1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断． (2)利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得． 【自主解答】 (1)A.f(x)＝3－x 在(0，＋∞)上为减函数．B.f(x)＝(x－1)2 是 开口向上的二次函数，其对称轴为 x＝1，它的单调增区间为(1，＋∞)，所以它 1 在(0，＋∞)上不为单调函数．C.f(x)＝ x 在(0，＋∞)上为减函数．D.f(x)＝x2＋2x 是开口向上的二次函数， 其对称轴为 x＝－1， 则它的单调递增区间是(－1， ＋∞)， 所以它在(0，＋∞)上为增函数． 【答案】 D (2)设 x1，x2∈(0,1)且 x1＜x2，则 2 x2 ?x2－x1??x2＋x1? x2 x2 2－x1 1 2 f(x1)－f(x2)＝ 2 － ＝ 2 ＝ . 2 x1－1 x2 － 1 ? x － 1 ?? x － 1 ? ? x － 1 ?? x1＋1??x2－1??x2＋1? 2 1 2 1 ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.∵x1，x2∈(0,1)，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－1＜0， x2－1＜0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， x2 所以，函数 f(x)＝ 2 在区间(0,1)上是减函数． x －1 利用定义证明函数单调性的 4 个步骤 [再练一题] 1 1 2．已知函数 f(x)＝a－x，用单调性定义证明 f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函 数. 【证明】 【导