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高中数学苏教版选修2-2教学案:第1章 章末小结 知识整合与阶段检测

数学 [对应学生用书 P31] 一、导数的概念 1.导数 函数 y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),当 Δx 无限趋近于 0 时,比值 Δy = Δx f?x0+Δx?-f?x0? 无限趋近于一个常数 A,则称 f(x)在点 x=x0 处可导,称常数 A 为函数 f(x) Δx 在点 x=x0 处的导数,记作 f′(x0). 2.导函数 若 f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则 f′(x)在各点的导数中随着自变量 x 的变化 而变化,因而也是自变量 x 的函数,该函数称为 f(x)的导函数.记作 f′(x). 二、导数的几何意义 1.f′(x0)是函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率,这是导数的几何意义. 2.求切线方程: 常见的类型有两种: 一是函数 y=f(x)“在点 x=x0 处的切线方程”,这种类型中(x0,f(x0))是曲线上的点, 其切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 二是函数 y=f(x)“过某点的切线方程”,这种类型中,该点不一定为切点,可先设切 点为 Q(x1,y1),则切线方程为 y-y1=f′(x1)(x-x1),再由切线过点 P(x0,y0)得 y0-y1= f′(x1)(x0-x1),又 y1=f(x1),由上面两个方程可解得 x1,y1 的值,即求出了过点 P(x0,y0) 的切线方程. 三、导数的运算 1.基本初等函数的导数 (1)f(x)=C,则 f′(x)=0(C 为常数); (2)f(x)=xα,则 f′(x)=α· xα 1(α 为常数); - (3)f(x)=ax(a>0 且 a≠1),则 f′(x)=axln a; (4)f(x)=logax(a>0,且 a≠1),则 f′(x)= 1 ; xln a 数学 (5)f(x)=sin x,则 f′(x)=cos x; (6)f(x)=cos x,则 f′(x)=-sin x. 2.导数四则运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); f′?x?g?x?-f?x?g′?x? f?x? ? (3)? (g(x)≠0). ?g?x??′= g2?x? 四、导数与函数的单调性 利用导数求函数单调区间的步骤: (1)求导数 f′(x); (2)解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0; (3)写出单调增区间或减区间. 特别注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔开,绝对不能用“∪”连接. 五、导数与函数的极值 利用导数求函数极值的步骤: (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求方程 f′(x)=0 的根; (3)检验 f′(x)=0 的根的两侧的 f′(x)的符号,若左正右负,则 f(x)在此根处取得极大 值. 若左负右正,则 f(x)在此根处取得极小值,否则此根不是 f(x)的极值点. 六、求函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求 f(x)在(a,b)内的极值; (2)将(1)求得的极值与 f(a)、f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为 最小值. 特别地,①当 f(x)在[a,b]上单调时,其最小值、最大值在区间端点取得;②当 f(x) 在(a,b)内只有一个极值点时,若在这一点处 f(x)有极大(或极小)值,则可以判断 f(x)在该点 处取得最大(或最小)值,这里(a,b)也可以是(-∞,+∞). 七、导数的实际应用 利用导数求实际问题的最大(小)值时,应注意的问题: (1)求实际问题的最大(小)值时, 一定要从问题的实际意义去考查, 不符合实际意义的值 应舍去. (2)在实际问题中,由 f′(x)=0 常常仅解到一个根,若能判断函数的最大(小)值在 x 的 变化区间内部得到,则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值. 八.定积分 数学 (1)定积分是一个数值.定积分的定义体现的基本思想是:先分后合、化曲为直(以不变 代变). 定积分的几何意义是指相应直线、曲线所围曲边梯形的面积.要注意区分? ? f(x)dx,? ? a b b a |f(x)|dx 及 ? ?af?x?dx 三者的不同. (2)微积分基本定理是计算定积分的一般方法,关键是求被积函数的原函数.而求被积 函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算,要注意它们在计算和求解中的不同,避 免混淆. | b | ?对应阶段质量检测?一?? ? ? ? 见8开试卷 ? 一、填空题(本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在题中横线上) 1.已知函数 f(x)=ax2+c,且 f′(1)=2,则 a 的值为________. 解析:∵f(x)=ax2+c,∴f′(x)=2ax, ∴f′(1)=2a, 又∵f′(1)=2,∴a=1. 答案:1 2.曲线 y=x3-4x 在点(1,-3)处的切线的倾斜角为________. 解析:∵y′=3x2-4, ∴当 x=1 时,y′=-1,即 tan α=-1. 3 又∵α∈(0,π),∴α= π. 4 3 答案: π 4 3.已知函数 f(x)=-x3+ax2-x+18 在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数 a 的取值范 围是________. 解析: 由题意得 f′(x)=-3x2+2ax-1≤0 在(-∞, +∞)上恒成立, 因此 Δ=4a2-12≤0 ?- 3≤a≤ 3,所以实数 a 的取值范围是[- 3, 3]. 答案:[- 3, 3] 4.y=2x3-3x2+a 的极大值为 6,则 a=________. 解析:y′=6x2-6x=6x(x-1), 令 y′=0,则 x=0 或 x=1. 当 x=0 时,y=a,当 x=1 时,y=a-1. 由题意知 a=6. 答案:6 数学 5.函数 y= sin x 的导数为________. x sin x?

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