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直线、平面平行与垂直的判定及其性质(证明题详解)


直线、平面平行与垂直的判定及其性质
7. 在四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 是梯形,AD∥BC,∠ABC=90° ,平面 PAB⊥平面 ABCD, 平面 PAD⊥平面 ABCD. (1)求证:PA⊥平面 ABCD; (2)若平面 PAB ? 平面 PCD ? l ,问:直线 l 能否与平面 ABCD 平行? 请说明理由. 【解析】 (1)因为∠ABC=90° ,AD∥BC,所以 AD⊥AB. 而平面 PAB⊥平面 ABCD,且平面 PAB ? 平面 ABCD=AB, 所以 AD⊥平面 PAB, 所以 AD⊥PA. 同理可得 AB⊥PA. 由于 AB、AD ? 平面 ABCD,且 AB ? AD=A,所以 PA⊥平面 ABCD. (2) (方法一)不平行. 证明:假定直线 l∥平面 ABCD, 由于 l ? 平面 PCD,且平面 PCD ? 平面 ABCD=CD, 所以 l ∥CD. 同理可得 l∥AB, 所以 AB∥CD. 这与 AB 和 CD 是直角梯形 ABCD 的两腰不平行相矛盾, 故假设错误,所以直线 l 与平面 ABCD 不平行. (方法二)因为梯形 ABCD 中 AD∥BC, 所以直线 AB 与直线 CD 相交,设 AB ? CD=T. 由 T ? CD,CD ? 平面 PCD 得 T ? 平面 PCD. 同理 T ? 平面 PAB. 即 T 为平面 PCD 与平面 PAB 的公共点,于是 PT 为平面 PCD 与平面 PAB 的交线. 所以直线 l 与平面 ABCD 不平行. B A D P

C (第 16 题)

1

8. 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC, BC ? BC1 , AB ? BC1 , E, F , G 分别为线段 AC1 , AC 1 1 , BB 1的 中点,求证: (1)平面 ABC ? 平面 ABC1 ; (2) EF // 面 BCC1B1 ; F (3) GF ? 平面 AB1C1 【解析】(1) ? BC ? AB B C E G B1 C1 A A1

BC ? BC1 AB ? BC1 ? B

? BC ? 平面 ABC1 ? BC ? 平面 ABC
?平面 ABC ? 平面 ABC1
(2)? AE ? EC1 , A1 F ? FC1 ,? EF // AA1

? BB1 // AA1

? EF // BB1

A

A1

? EF ? 面BCC1 B1 ? EF // 面 BCC1B1 ;
(3)连接 EB ,则四边形 EFGB 为平行四边形 B C

F E G B1 C1

? EB ? AC1 ? FG ? AC1 ? BC ? 面ABC1 ? B1C1 ? 面ABC1 ? B1C1 ? BE ? FG ? B1C1 ? B1C1 ? AC1 ? C1
,

?GF ? 平面 AB1C1 。

2

9. 在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,OA⊥平面 ABCD,E 为 OA 的中点,F 为 BC 的中点, 求证: (1)平面 BDO⊥平面 ACO; (2)EF//平面 OCD. 【解析】证明:⑴∵ OA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,所以 OA ? BD , ∵四边形 ABCD 是菱形,∴ AC ? BD ,又 OA ? AC ? A , ∴ BD ? 平面 OAC , 又∵ BD ? 平面 OBD ,∴平面 BDO ? 平面 ACO . ⑵取 OD 中点 M ,连接 EM ,CM ,则 ME‖ AD, ME ? ∵四边形 ABCD 是菱形,∴ AD // BC, AD ? BC ,
1 ∵ F 为 BC 的中点,∴ CF‖ AD, CF ? AD , 2 1 AD , 2
O

E
A

M D F
C

∴ ME‖ CF , ME ? CF . ∴四边形 EFCM 是平行四边形,∴ EF // CM , 又∵ EF ? 平面 OCD , CM ? 平面 OCD . ∴ EF‖ 平面 OCD .

B

3

10. 如图 l,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=600,E 是 BC 的中点.如图 2,将△ABE 沿 AE 折起,使二面角 B—AE—C 成直二面角,连结 BC,BD,F 是 CD 的中点,P 是棱 BC 的中点. (1)求证:AE⊥BD; ’ B A D A 【解析】 (1) 连接 BE , 取 AE 中点 M , 连接 BM , DM . P D F B 图1 E C E 图2 C

(2)求证:平面 PEF⊥平面 AECD; (3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC? 并说明理由.

? 在 等 腰 梯 形 ABCD 中 ,

AD ∥ BC ,AB=AD, ?ABC ? 60? ,E 是 BC 的中点
??ABE 与 ?ADE 都是等边三角形
? BM ? AE, DM ? AE

? BM ? DM ? M , BM , DM ? 平面 BDM

? AE ? 平面 B D M

? BD ? 平面 BDM

. ? A E? B D

(2)连接 CM 交 EF 于点 N ,连接 PN

? ME ∥ FC ,且 ME = FC ? P 是线段 BC 的中点 ? BM ? 平面 AECD

是平行四边形 ?四边形 M E C F

? N 是线段 CM 的中点

? PN ∥ BM
.? PN ? 平面 PEF ?平面 P E F? 平面 ? PN ? 平面 A E C D

AECD

(3) DE 与平面 ABC 不垂直. 证明:假设 DE ? 平面 ABC , 则 D E? A B

? BM ? 平面 AECD

?B M ? D E ? DE ? 平面 ABE

? AB ? BM ? B , AB, BM ? 平面 ABE

? DE ? AE ,这与 ?AED ? 60? 矛盾 ? DE 与平面 ABC 不垂直.

4

11. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 中为菱形, ?BAD ? 60 , Q 为 AD 的中点。
?
P

(1) 若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; (2) 点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC ,试确定实数 t 的值,使得 PA ‖平面
D Q A

M

C

MQB 。
【解析】 (1)连 BD ,?四边形 ABCD 菱形

B

? AD ? AB , ?BAD ? 60
P

?

? ?ABD为正三角形? Q为AD中点
? AD ? BQ

M

? PA ? PD

Q 为 AD 的中点,? AD ? PQ
Q

D O N A B

C

又 BQ ? PQ ? Q , AD ? 平面P A D ? AD ? 平面P Q B

? 平面PQB ? 平面PAD
(2)当 t ?

1 时,使得 PA ‖ 平面MQB ,连接 AC 交 BQ 于 N ,交 BD 于 O ,则 O 为 BD 的中点,又 3

? BQ 为 ?ABD 边 AD 上 中 线 , ? N 为 正 三 角 形 ABD 的 中 心 , 令 菱 形 ABCD 的 边 长 为 a , 则
AN ? 3 a , AC ? 3a 。 3

? PA ‖ 平面M Q B
? PA ‖ MN
3 a PM AN 1 3 ? ? ? PC AC 3a 3

PA ? 平面PAC

平面PAC ? 平面MQB ? MN

即: PM ?

1 PC 3

1 t? 。 3

5

12. 如图,四边形 ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD,M 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证:PC∥平面 BDM; (Ⅱ)若 PA=AC= 2 ,BD= 2 3 ,求直线 BM 与 平面 PAC 所成的角. 【解析】 (Ⅰ)设 AC 与 BD 的交点为 O,连结 OM. 因为四边形 ABCD 是菱形,则 O 为 AC 中点. 又 M 为 PA 的中点,所以 OM∥PC. 因为 OM 在平面 BDM 内,所以 PC∥平面 BDM. (Ⅱ)因为四边形 ABCD 是菱形,则 BD⊥AC. 又 PA⊥平面 ABCD,则 PA⊥BD. 所以 BD⊥平面 PAC. 所以∠BMO 是直线 BM 与平面 PAC 所成的角. 因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥AC. 在 Rt△ PAC 中,因为 PA=AC=
1 又点 M 与点 O 分别是 PA 与 AC 的中点,则 MO= 2 PC=1.

2 ,则 PC=2.

BO 1 ? 又 BO= 2 BD= 3 ,在 Rt△ BOM 中,tan∠BMO= MO
故直线 BM 与平面 PAC 所成的角是 60° .

3
,所以∠BMO=60° .

6

13. 一个棱柱的直观图和三视图(主视图和俯视图是边长为 a 的正方形,左视图是直角边长为 a 的等腰三 角形)如图所示,其中 M 、 N 分别是 AB 、 AC 的中点, G 是 DF 上的一动点. (Ⅰ)求证: GN ? AC; (Ⅱ)求三棱锥 F ? MCE 的体积; (Ⅲ)当 FG ? GD 时,证明 AG / / 平面 FMC .

a
主视图 侧视图

F
G

E

D

a

N

C

a
俯视图

A

M

B

【解析】 (Ⅰ) 由三视图可知, 多面体是直三棱柱, 两底面是直角边长为 a 的等腰直角三角形, 侧面 ABCD ,

CDFE 是边长为 a 的正方形.
连结 DN , 因为 FD ? CD, FD ? AD , 所以, FD ? 面 ABCD FD ? AC 又 AC ? DN , 所以, AC ? 面 GND , GN ? 面 GND 所以 GN ? AC (Ⅱ)

F
G
Q

E

D
VE ? FMC ? VADF ? BCE ? VF ? AMCD ? VE ? MBC

N

C

A

1 1 S?BCE ? CD ? FD ? S AMCD ? EC ? S?MBC 3 3 ? 1 1 1 a 1 1 a 1 3 a ? a ? a ? a ? ? ( ? a) ? a ? a ? ? ? ? a ? a 2 3 2 2 3 2 2 =6 . VE ? FMC ? VM ?CEF ? 1 1 1 1 AD ? S?CEF ? ? a ? a ? a ? a3 3 3 2 6

M

B

另解:

(Ⅲ)连结 DE 交 FC 于 Q ,连结 QG

1 CD 因为 G, Q, M 分别是 FD, FC, AB 的中点,所以 GQ // 2 , 1 CD AM // 2 ,所以, AM // GQ , AMGQ 是平行四边形
7

AG ∥ QM , AG ? 面 FMC , MQ ? 面 FMC

所以, AG //平面 FMC . 倍,P 为侧棱 SD 上的点。

14. 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的

(1)求证:AC⊥SD; (2)若 SD⊥平面 PAC,在 SC 上取一点 E,使 【解析】 (1)连 BD,设 AC 交 BD 于 O,由题意 在正方形 ABCD 中, 所以 (2)由 ,得 ,知 , . ,在等腰三角形 SCD 中, 。 ,连接 BE,求证:BE∥平面 PAC.

可解得 在 上取一点

. ,使 中知 ,故平面 . ,所以 , , O ,

连 BN,在 又由于 得

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