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高中物理竞赛必备辅导资料——角动量例题


“角动量守恒”及其应用
在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时,我们常利用“角动量守恒 定律”来处理此类问题。 “角动量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一,应用该定 律来处理力学问题在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现。 从反馈情况来看, 能否灵活 应用“角动量守恒”成为解题的“瓶颈” 。帮助学生认清该定律的内容及其规律并能够适当 地变式处理此类问题,无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。下面就“角动量守恒” 及其应用作一些简单探讨。 1 角动量守恒定律 1.1 质点对参考点的角动量守恒定律 如图 1 所示,质点 m 的动量为 P,相对于参考点 O 的角动量 为 L,其值 L
? r ? p sin ?

P α r 图1 m

,其中α 是质点的动量与质点相对参考点 0

的位置矢量 r 的夹角。其角动量的变化量 ? L 等于外力的冲量矩
M ? ? t (M

为外力对参考点 O 的力矩) ,即 ? L

? M ? ?t

。若 M=0,得

O

?L

=0,即质点对参考点 O 的角动量守恒。 1.2 质点系对参考点的角动量守恒定律 由 n 个质点组成的质点系, 且处于惯性系中, 可以推导出作用于各质点诸力对参考点

的外力矩的冲量 ? 同样当 ?
M
i

M

i

? ?t

, 仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量, ? L 即

?

?

M

i

? ?t



? 0

时,质点系对该参考点的角动量守恒。

如果 n 个质点组成的质点系,处于非惯性系中,只要把质点系的质心取作参考点,上 述结论仍成立。 1.3 角动量守恒的判断 当外力对参考点的力矩为零,即 ?
M
i

? 0

时,质点或质点系对该参考点的角动量守

恒。有四种情况可判断角动量守恒:①质点或质点系不受外力。②所有外力通过参考点。③ 每个外力的力矩不为零,但外力矩的矢量和为零。甚至某一方向上的外力矩为零,则在这一 方向上满足角动量守恒。 ④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩, 即内力矩对 质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的 影响,角动量近似守恒。 D C B 2 角动量守恒定律的应用 V0 例题 1 (第 23 届物理竞赛复赛第 2 题) A 如图 2 所示,一根质量可以忽略的细杆,长为 M 图2 2l, 两端和中心处分别固连着质量为 m 的小球 B、D 和 C,开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为 M 的小球 A,以一给定 速度 v0 沿垂直于杆 DB 的方向与右端小球 B 作弹性碰撞。求刚碰后小球 A、B、C、D 的速 度,并详细讨论以后可能发生的运动情况。 本题粗看是一类弹性碰撞类问题,利用动量守恒、能量守恒及杆子牵连速度来求解。但 本题涉及 4 个物体组成的质点系,未知量多,利用上述关系还不能求解。挖掘题中的守恒规 m m m

律成为本题的难点,且守恒规律不易挖掘。 解析 ①小球 A、 碰撞瞬间, A 挤压 B, B 球 其作用力方向垂直于杆, 使球 B 获得沿 v 0 方向的速度 v B 。从而在碰撞瞬间使小球 C、D 的速度也沿 v 0 方向。对质点组 B、C、D 与 A 组成的系统,碰撞前后动量守恒。由于小球 C 位于由 B、C、D 三球组成的质点组的质心处, 所以小球 C 的速度也就是质点组的质心速度。 可得: M v 0 ? M v A ? 3 m v C D 的速度分别为 v A 、 v B 、 v C 、 v D ,得
1 2 M v0 ?
2

(1)

②质点组 B、C、D 与 A 是弹性碰撞,碰撞前后质点组的动能相等。碰撞后 A、B、C、
1 2 1 2 1 2 1 2

M vA +

2

m vB ?
2

m vC ?
2

m vD

2

(2)

③对质点组 B、C、D 在碰撞瞬间,在 B 处受到 A 球的作用力,若取 B(与 B 球重合的 空间固定点)为参考点,则质点组 B、C、D 在碰撞前后,外力矩等于零,所以质点组角动 量守恒。可得: 0 ? m l v C ? 2 m l v D ④由杆的刚性条件有: v B ? v c ? v c ? v D 由(1)(2)(3)(4)式,可得 、 、 、
vC ? 4M 5M ? 6m v0

(3) (4)

(5) (6) (7) (8)

vA ? vB ?

5M ? 6m 5M ? 6m 10M 5M ? 6m 2M 5M ? 6m

v0 v0 v0

vD ? ?

⑤碰撞后各小球的运动 碰撞后,质点组 B、C、D 不受外力作用,其质心作匀速运动,即 v C ? 撞后,B、D 两小球将绕小球 C 作匀角速度转动,角速度的大小为
? ?
v B ? vC l ? 6M v0 5M ? 6m l

4M 5M ? 6m

v0

,碰

方向为逆时针方向。由(6)式可知,碰后小球 A 的速度的大小和方向与 M、m 的大小有关, 由于 M、 取值不同而导致运动情形比较复杂, m 即可以使 v A
vA ? vC
=0

;v A

<0

;v A > 0 且 v A ? v C ;

情景的出现,在此不作详细讨论。

例题 2 (第 20 届物理竞赛复赛第 1 题)如图 3 所示,a 为一固定放置的半径为 R 的均匀带电球 体,O 为其球心.己知取无限远处的电势为零时, 球表面处的电势为 U=1000 V.在离球心 O 很远的 O′点附近有一质子 b, 它以 Ek=2000 eV 的动能 图3 沿与 O?O 平行的方向射向 a.以 l 表示 b 与 O?O 线之间的垂直距离,要使质子 b 能够与带电球体 a 的表面相碰,试求 l 的最大值.把质子换

成电子,再求 l 的最大值. 解析 ①质子在运动过程中受到 a 球对它的库仑力作用,且库仑力总是通过 a 球的球心。 类似这样的力我们称之为有心力。如取球心 O 为参考点,则其作用力对 O 的力矩始终为零, 即质子在运动过程中对参考点 O 的角动量守恒。即在有心力作用下角动量守恒。 如图 4 所示,令 m 表示质子的质量, v 0 和 v 分别表示质子的初速度和到达 a 球球面处的速 度, e 表示元电荷。质子在 b 处的角动量 为 L b ? mv 0 l max ;到达球 a 表面时的角 动量为 L a ? mv ? R 所以得: m v 0 l m ax ? m vR (1) 图4 v

②质子从 b 运动到 a,能量守恒,由于无穷远处电势能为零,故得:
1 2 m v0 ?
2

1 2

m v ? eU
2

(2)

由式(1)(2)可得 、
lm ax ? 1? eU m v0 / 2
2 2
2

R

代入数据,可得

lm ax ?

R

③若把质子换成电子,此时式(2)中 e 改为 ? e 。同理可求得
lm ax ? 6 2 R

例题 3 如图 5 所示,滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相同,均为 M,处于静止。现有距盘 底高为 h 质量为 m 的胶泥自由下落,求胶泥粘在盘上时盘获得的初速度。不计滑轮与绳质 量,及轴承摩擦和绳的伸长。 解析 ①对盘、重物、胶泥组成的质点系,在胶泥下落过程中,质点系 对轴心 O 的外力矩为胶泥的重力矩。当胶泥与盘碰撞时,碰撞内力对 O 的内力矩远大于胶泥的重力矩,从而得质点系对 O 的角动量近似守恒。 ②质点系碰撞前对 O 的角动量 L1 ? mv 0 r (1) 速度,r 为滑轮的半径) ; 质点系碰撞后瞬间对 O 的角动量 L 2 ? ? m ? M ?vr ? Mrv ③胶泥碰前作自由落体运动,所以 v 0 ? 由(1)(2)(3)式可得 v ? 、 、 (2) (3) 图5 (v0 为 m 碰前的 M m O

2 gh

m 2M ? m

2 gh


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