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《概率论与数理统计》期末复习题


? 题目类型:选择题,填空题,计算题。 提醒注意以下几点: ? 1、概率论部分中的古典概率计算只要求常见类型如抽球问题和分球入盒问题 ? 2、要求熟知事件关系及其运算,各种概率计算公式等; ? 3、常用分布的概率计算以及性质,数学期望与方差; ? 4、一维、二维随机变量的分布函数密度函数之间的关系以及运算, 随机变量的独立性与相关性的关系以及判别; ? 5、随机变量数学期望与方差以及协方差与相关系数的性质与计算; ? 6、掌握正态分布随机变量的有关计算以及利用中心极限定理的计算; ? 7、数理统计的基本概念,常用的抽样分布以及各分布表分位点的性质; ? 8、掌握参数估计中的矩估计与极大似然估计、估计量的无偏性和有效性; ? 9、区间估计与假设检验,只考单个正态总体的两个参数的区间估计和假设检 验,对于假设检验,要求会区分并进行单侧或双侧检验。

《 概率论与数理统计 》复习

一、填空题
1.设A、B、C为三事件,则事件“A发生B与C都不发生”
A BC 可 表示为_________; A? B ?C 事件“A、B、C不都发生”可表示为_____________ A? B ?C 事件“A、B、C都不发生”可表示为______________。

3 2 C10 C90 5 2. 100件产品中有10件次品,任取5件恰有3件次品的概率为_______(只写算式)。 C100 ?0, x ? 1 ?0.4,1 ? x ? 2 3. 已知随机变量X的分布函数为 F ?x ? ? ? ,则P(X=1)=_0.4 ,P(X=2.5)= 0_ ? ?0.5,2 ? x ? 3 ?1, x ? 3 ?

4. 设 X ~ N ?1,3? 则X的函数Y=

X ?1 3

~ N(0,1)



5.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

P?X ? xi , Y ? y j ? ?

1 i ? 1,2,3; j ? 1,2,3,4 则 P?X ? x1 ? ? __1/3__ 12

2 D 6.已知 EX ? 1.5 EX ? 6 ,则 E?2 X ? ? __ 3 _____( X ) ? __ 3.75 _____ D?2 X ? ? _ 15 __

7. 在假设检验中若原假设H0实际为真时却拒绝H0 ,称这类错误为 弃真(第一类)错误 8.设随机变量 X

~ b?n, p?

EX ? 2.4 DX ? 1.44 则
6

n ? _ 6 __

p ? ___0.4 _

p?x ? 0? ? ?0.6?

9.若X~?2(10),则E(X)=10,D(X)=20
2 10. P(?2(11)>s)=0.05,则 s ? ?0.05 (11 ? 19.675 )

1 1 1 11. F0.95 (12,9) ? ? ? ? 0.357 F1?0.95 (9,12) F0.05 (9,12) 2.80

12. t0.95 (5) ? ?t0.05 (5),t0.05 (50) ? u0.05

1 1 1 P ( A) ? , P ( B) ? , P ( B A) ? 13.已知A,B为两事件, 2 3 2

则P( AB)? 1/ 4,P( A ? B) ? 7 / 12, P( A B) ? 3 / 4

14.已知A,B为两事件,P? A? ? 0.4 P?B A? ? 0.6 则P? AB? ? 0.16 15. 设随机变量X??N(0,1),Y?U(0,1),Z?B(5,0.5),且X,Y,Z独立, 则E{(2X+3Y)(4Z-1) }= 27/2 16.若X与Y相互独立,则必有X与Y 不相关

二、解答题
1.将两信息分别编码为A和B传送出去,接收站收到时, A被误收作B的概率为 0.02,而 B被误收作 A的概率为 0.01.信息 A与信息 B传送的频率程度为2:1。 (1)若接受站收到一信息,是 A的概率是多少? (2)若接受站收到的信息是 A,问原发信息是 A的概率是多少? 解:设

A,A2 分别表示发出A,B. 1

B1 B2 分别表示收到A,B

P?B1 ? ? P?A1 ?P?B1 A1 ? ? P? A2 ?P?B1 A2 ?
? 2 1 ? 0.98 ? ? 0.01 3 3

? 0.6567

2 P? A1 ?P?B1 A1 ? 3 ? 0.98 196 P?A1 B1 ? ? ? ? ? 0.9949 P?B1 ? 0.6567 197

事件独立性的应用举例
1、加法公式的简化: 若事件A1,A2,…,An相互独立, 则
P( A1 ? A2 ??? An ) ? 1 ? P( A1 )P( A2 )?P( An )

2、乘法公式的简化: 若事件A1,A2,…,An相互独立, 则

P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 )?P( An )

2. 甲、乙两射手独立地射击同一目标,他们击中目标的概
率分别为0.9与0.8,求在一次射击中(每人各射一次)目标 被击中的概率。

解 设A,B分别表示甲、乙射中目标的事件, C表示目标被
击中的事件,则

P(A)=0.9,P(B)=0.8 P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.9+0.8-0.9×0.8=0.98 另解
P(C ) ? P( A B ) ? P( A) P( B ) ? (1 ? 0.9)(1 ? 0.8) ? 0.02
P(C) ? 1 ? P(C ) ? 0.98

3 .甲、乙、丙三人独立破译一份密码。已知甲、乙、丙三人能译出的概率 分别为1/5,1/3,1/4。 (1)求密码能破译的概率; (2)求甲、乙、丙中恰有一人破译密码的概率。 解 设A,B,C分别表示甲、乙、丙译出的事件, D表示密码被破译的事件, E表示恰有一人译出的事件,则

1 1 1 2 (1) P( D) ? P( A ? B ? C ) ? P ( A) * P ( B) * P (C ) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? 5 3 4 5 3 P( D) ? P( A ? B ? C ) ? 1 ? P( D) ? 5

(2)恰有一人译出的概率为 P( E ) ? P( AB C ? A BC ? A B C ) ? P( A) P( B ) P(C ) ? P( A ) P( B) P(C ) ? P( A ) P( B ) P(C ) ? 13 30

4.设X是连续型随机变量,已知X的密度函数为
试求 (1)常数A (2)X的分布函数F(x) 解:

? Ae??x , f ( x) ? ? ? 0,

x?0 ,? ? 0 x?0

?

??

??

f ( x)dx ? ? 0dx ? ?
??

0

??

0

Ae

? ?x

dx ?

A

?

?1 ? A ? ?

F ( x) ? ?

x

??

f ( x)dx
F ( x) ? ? 0dx ? 0
?? x

当x ? 0,

F ( x) ? ? f ( x)dx ? ? 0dx ? ? ? e ??x dx ? 1 ? e ??x 当x ? 0 ?? ?? 0

x

0

x

?1 ? e? ?x ? F ( x) ? ? ? 0

x?0 x?0

?ax 5.已知随机变量X的密度函数为 f ( x ) ? ?2 ? x ? ?0 ?

0? x ?1 1? x ? 2 其他

求 (1)常数a

x?0 ? 0 x?0 ? x 0 ? x ?1 ? tdt 0 ? x ?1 ? ?0 (2)F ( x) ? ? 1 x 1? x ? 2 1? x ? 2 ??0 tdt ? ?1 (2 ? t )dt ? x?2 1 x?2 ? 3 ? 1 3 3 1 x2 x2 2 3 1 3 ? (2 x ? ) ? (3)P( ? X ? ) ? ?12 f ( x)dx ? ?1 xdx ? ?12 (2 ? x)dx ? 21 2 1 4 2 2 2 2
2
1 2 2

2 2 解: ?? 1 2 a 1 (1) f ( x)dx ? 1 ? ? axdx ? ? (2 ? x)dx ? ? ? 1 得a =1 ?? 2 2 ? 0 1

(2)分布函数 (3)P( 1 ? X ? 3 )

(4)求E(X),D(X)

? 0 ? ? ? 1 x2 ? 2 ? F ( x) ? ? x2 ?2 x ? ?1 ? 2 ? 1 ? ?

1 1 (4)EX ? ? x dx ? ? x?2 ? x ?dx ? x3 10 ? x 2 12 ? x3 12 ? 1 0 1 3 3

EX ? ? x dx ? ?
2 3 0

1

2

1

1 41 2 32 1 32 7 x ?2 ? x ?dx ? x 0 ? x 1 ? x 1 ? 4 3 4 6
2

DX ? EX 2 ? ?EX ? 7 1 ? ?1 ? 6 6

2

6. 设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯。每盏信 号灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽车首 次停下时,它已通过的信号灯的盏数(各信号灯工作相互独立)。 求X的分布律、分布函数以及概率 3 3 5 P(2 ? X ? 3) P( X ? ), P( ? X ? ), 2 2 2 解 设p为每盏信号灯禁止汽车通过的概率,则 P(X=k)=p(1-p)k,k=0,1,2;P(X=3)=(1-p)3,故X的分布律为:
X 0 1/2 1 1/4 2 1/8 3 1/8

X的分布函数:

P

x?0 ?0 ?0 ?1 0 ? x ?1 ?1 ?2 ?1 1 ?2 1? x ? 2 ? ?3 F ( x) ? P( X ? x) ? ? 2 ? 4 ?4 ?1 ? 1 ? 1 2 ? x ? 3 ?7 ?2 4 8 ?8 1 1 1 1 ?2 ? 4 ? 8 ? 8 x ? 3 ? ?1 ?

x?0 0 ? x ?1 1? x ? 2 2? x?3 x?3

7. 离散型随机变量X的分布函数为 0, x? ?1 ? ? a,?1 ? x ?1 ? F ( x) ? ? 且P(X ? 2) 1 / 2 ? ?2 / 3 ? a,1 ? x? 2 ? a ? b, x ? 2 ? 求a,b及X的分布律,E(X),D(X)。



因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2
于是a=1/6,b=5/6

,a+b=1

X的分布律为

X p

-1 1/6

1 1/3

2 1/2

8. 设连续型随机变量X的分布函数为 ? A ? Be ? ?x , x? 0 求(1)常数A,B的值; F ( x) ? ? ( ? ? 0) 0, x ? 0 (2)P(-1<X<1); ? (3)求X的密度函数。

解(1)1 ? F (??) ? lim ( A ? Be? ?x ) ? A ? A ? 1
x ? ??

因X是连续型随机变量,所 以分布函数是连续的, 故
x ?0 ?

lim F ( x) ? A ? B ? 0 ? B ? ?1

?1 ? e ? ?x , x? 0 ? ? F ( x) ? ? ? 0, x ? 0 ?
(2) P(?1? X ?1) ? F (1) ? F (?1) ? 1 ? e
??

??e ? ?x , x ? 0 (3)f ( x ) ? F/ ( x ) ? ? ? 0, x ? 0

9; 设某种轮胎在损坏以前 能行驶的路程X(以万公里计)

x ? 1 ?10 ? 是一个随机变量,已知 其概率密度为f ( x) ? ?10 e , x ? 0, ? 0, x ? 0 ? 今从中随机抽取 只轮胎,试求至少有两 5 只行驶路程不足 万公里的概率。 30

解一只轮胎能行驶的路 程不足30万公里的概率为 1 ?10 P(X〈30) ? f ( x)dx ? ? ? e dx ? 1 ? e ?3 ? 0.9502 ?? 0 10 5只轮胎中至少有两只行 驶路程不足30万公里的概率为
30 30 x

? 5? ? 5? 0 5 1 4 P ? 1 ? ? ??0.9502? ?1 ? 0.9502? ? ? ??0.9502? ?1 ? 0.9502? ? 0? ? 1? ? ? ? ? ? 0.99997

10.二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ?x, y ? ? ? f

? Ay?1 ? y ? , 0 ? x ? 1,0 ? y ? x 其他 ? 0 ,

(1)试确定常数A;(2)求关于X和Y的边缘密度函数;(3)判断X和Y是否相互独立。 解:(1)

? ?

?? ??

?? ??

f ?x, y ?dxdy ? ? dx? Ay?1 ? y ?dy ? ? ? A x ? 2
1 x
1

2

0

0

0

?

?

A 3? A x ?dx ? ?1 3 12 ?

A ? 12

? x 12y(1 ? y)dy 0 ? x ? 1 ?6 x 2 ? 4 x3 ,0 ? x ? 1 ? (2)f X ?x ? ? ? f ?x, y ?dy ? ??0 ?? ?? ? 0 其他 ?0, 其他 ?
??

? 112y(1 ? y)dx 0 ? y ? 1 ?12y(1 ? y) 2 0 ? y ? 1 ? f ( y) ? ? f ( x, y)dx ? ??y ?? ?? 其他 ? 0 其他 ? 0 ?
??

(3)f ?x, y ? ? f X ?x ? ? fY ? y ?

所以 X与Y不独立

? A(1 ? y ? xy), 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 11.二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 f ( x, y) ? ? 其他 ?0,
(1)确定常数A 解: (1) 1 ? (2)试问X与Y是否相互独立?

? ?
4 7
??

??

??

?? ??

? f ?x, y ?dxdy

? dy? A?1 ? y ? xy?dx
1 1 0 0
1

A?

3 2?1 7 ? 1 ? ? ? A? ? x ? xy ? yx 2 ? 1 dy ? A? y ? y ? 0 ? A 0 4 ? 4 0 ? 2 ? ?

(2)f X ?x ? ? ?
??

??

f ?x, y ?dy ? ?
1

4 ?1 ? y ? xy ?dy ? 4 ? y ? 1 y 2 ? 1 xy 2 ? 10 ? 2 ?3 ? x? 当0<x<1 ? ? 07 7? 2 2 7 ?
1

f Y ? y ? ? ? f ?x, y ?dx ? ?
??

4 1 4 3 4 ? ? ? ? ?1 ? y ? xy ?dx ? 7 ? x ? xy ? 2 x 2 y ? 10 ? 7 ?1 ? 2 y ? 当0<y<1. 0 7 ? ? ? ?

? f X ?x? fY ? y ? ? f ?x, y ?
所以X与Y不独立

12. 已知

?Ke ?2 x ?3 y ( X , Y ) ~ f ( x, y) ? ? ? 0
?? ??

x ? 0, y ? 0 其它

(1)求常数K;(2)求联合分布函数F(x,y);(3) 求概率P(X+2Y?1)。
?? ??

解 (1)

????

??
?? 0

f ( x, y)dxdy ? 1
??

dx ? Ke ?2 x ?3 y dy ? 1 ?
0 0

y

K ? e ?2 x dx ? e ?3 y dy ?
0

k ?1 6

K=6
x+2y=1

(2) F ( x, y) ?
x y

? ?? ? 6e ?2u ?3v dudv x ? 0, y ? 0 ?? 0 0 ? 0 其它 ?
?(1 ? e ?? ?
?2 x

????

? ? f (u, v)dudv
(3)
P( X ? 2Y ? 1) ? ? dx ? 6e?2 x e?3 y dy
0 0

x y

O x 1

1? x 2

)(1 ? e 0

?3 y

) x ? 0, y ? 0 其它

? ?2? e
0

1

1 (1? x ) ? 2 x ?3 y 2 0

e

dx ? 0.5135

13. 设二维随机变量(X,Y)具 ? xe ? ( x ? y ) x ? 0, y ? 0 f ( x, y ) ? ? 有概率密度函数 其它 ?0 (1)求X,Y的边缘概率密度;
y

(2)问X与Y是否相互独立?

??

f X ( x) ?

??? ?( x ? y ) ? xe ? x dy x ? 0 ? xe ?? ? ?? 0 ?0 ?0 其它 ?
??

??

? f ( x, y)dy

x?0 其它

??? ?( x ? y) dx ? e ? y ? ? xe fY ( y) ? f ( x, y)dx ? ? 0 ?0 ?? ?

O x

?

y?0 其它

由于f(x,y)=fX(x)fY(y) ,因此X与Y相互独立。

14. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 其中p+q=1,求相关系数ρXY ,判断X,Y相 关性和独立性。 解 由题意可得X,Y的边缘分布律为
X P 0 q 1 p Y P 0 q 1 p X 0 1

Y

0 q 0

1 0 p

均为0—1分布, E(X),D(X)=pq,E(Y)=p,D(Y)=pq, 所以Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y) =0×0×q+0×1×0+1×0×0+1×1×p?p×p =p?p2=pq 因此

? XY ?

Cov( X , Y ) ? D( X ) D(Y )

pq ?1 pq pq

(1)X,Y正相关

(2) X,Y不独立

15.设(X,Y)服从区域D:0<x<1,0<y<x上的均匀分布,求X与Y的相关系数。



?2 f ( x, y ) ? ? ?0
1 x

( x, y ) ? D 其它

2 E ( X ) ? ? 2 xdx? dy ? 3 0 0 4 1 2 D( X ) ? ? 2 x dx? dy ? ? 9 18 0 0
1 E ( XY ) ? ? 2 xdx ? ydy ? 4 0 0
1 x

1 E (Y ) ? ? 2dx? ydy ? 3 0 0 1 1 D(Y ) ? ? 2dx? y dy ? ? 9 18 0 0
2 1 x

1

x

1

x

1 Cov ( X , Y ) ? E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? 36

? XY

Cov( X , Y ) ? ? 1 D( X ) D(Y ) 2

16. (X,Y)的联合分布律如下: 试求(1)X,Y的边缘分布律。
Y X 1 2
1/4 1/8 1/12 1/16 25/48 0 1/8 1/12 1/16 13/48 0 0 1/12 1/16 7/48 0 0 0 1/16 3/48

1

2

3

4

pi?

(2)P{1.5 ? X ? 3,1 ? Y ? 2} (3)判断X, Y的相关性 (4)判断X,Y的独立性

1/4 1/4

3
4 p?j

1/4
1/4

解 (1)X和Y的边缘分布律分别为
X P Y P 1 1/4 1 2 1/4 2 3 1/4 3 4 1/4 4

(3)计算? ?

cov(X , Y ) D( X ) D(Y )

(4) pij ? pi * p j ? X , Y不独立

25/48 13/48 7/48 3/48

(2)P{1.5 ? X ? 3,1 ? Y ? 2} ? 1/ 8 ? 1/ 12 ? 5 / 24

17.某校抽样调查结果表明,考生的概率论与数理统计成绩X近似地服从正态 分布 N (? ,? 2 ) ,平均成绩 ? ? 72分,96分以上的占考生总数的2.3%,求考 生的概率统计成绩在60分至84分之间的概率。
解:X ~ N (72, ? 2 )
? 96 ? 72 ? P( X ? 96) ? 1 ? P( X ? 96) ? 1 ? ?? ? ? 2.3% ? ? ?
? 24 ? ?? ? ? 0.977 ?? ?
24 ?2

?

? ? 12
? 84 ? 72 ? ? 60 ? 72 ? P(60 ? X ? 84) ? ? ? ? ?? ? ? ? ? (1) ? ? (?1) ? 2? (1) ? 1 ? 0.682 12 ? 12 ? ? ?

18 . 某车间有200台车床,每台车床有60%的时间在开动,每台

车床开动期间的耗电量为1千瓦,问至少应供应给此车间多少电 量才能以99.9%的概率保证此车间不因供电不足而影响生产?
解:设至少需供给nE千瓦电量,X为同时开动的车床数,则

X ~ B(200,0.6)

np ? 200? 0.6 ? 120, np(1 ? p) ? 200? 0.6 ? 0.4 ? 48 P{X ? n} ? 0.999
X ? 120 n ? 120 P{ ? } ? 0.999 48 48
?( n ? 120 n ? 120 ) ? 0.999 ? ? 3.01 48 48

n ? 141

19.设X1 , X 2 ,?, X n 为总体的一个样本,总体X的概率密度函数为
??x? ?1 , 0 ? x ? 1 f ?x ? ? ? 其中 ? ? 0 为未知参数。 其他 ? 0 ,
求:(1) 的矩估计量 ? 解:(1) (2) 的极大似然估计量。 ?

?? x? ?1 ? ? E(X) ? xf ?x ?dx ? ? ?x? dx ? ? ? ? ?? 0 ? ?1 ?0 ? ?1 ? ?
?? 1

1

E( X ) ?

? ? ?1

?X

解得矩估计量为: ? ??

X 1? X

(2)似然函数为
? ?1 n ? ?1 xi ? 0, L(? ) ? ? f ( xi ) ? ??xi ? ? ? xi

n

n

n

i ?1

i ?1

i ?1

ln L?? ? ? n ln ? ? ?? ? 1?? ln xi
i ?1

n

n d ln L?? ? n ? ? ? ln xi ? 0 d? ? i ?1

解得极大似然估计为:

? ? ??

n

? n ? ? ? ln xi ? ? i ?1 ? n ??? ? ? n ? ? ? ln Xi ? ? i ?1 ?

? 20.为了解灯泡使用时数的均值 及标准差 ? ,测量10个灯泡,得
x ? 1500 , S ? 20h 如果已知灯泡的使用时数服从正态分布,求 h

?,?

的95%的置信区间.

解:(1)这是一个总体方差未知求

?

的置信度为0.95的置信区间的问题

n ? 10, x ? 1500 S ? 20 ,

t ? (n ? 1) ? t 0.025 (9) ? 2.262
2

? ? ? 20 20 ? x ? t? (n ? 1) ? S / n , x ? t? (n ? 1) ? S / n ? ? ?1500? 2.262? ,1500? 2.262? . . ? ? ? ?148569,151431? 10 10 ? 2 2 ? ? ?

(2)这是一个求? 的置信度为0.95的置信区间的问题.
1? 2

2 ? 2 ? (n ? 1) ? ?02.975 (9) ? 2.700 ? ? (n ? 1) ? ? 02.025 (9) ? 19.023 2

? ? 2 2 (n ? 1) S ? ? 9 ? 202 9 ? 202 ? ? (n ? 1) S 2 ? 的为: 2 . ? ? (n ? 1) , ? 2 (n ? 1) ? ? ? 19.023 , 2.700 ? ? [189.24,1333 33] ? ? ? ? ? ? 1? 2 ? 2 ?

?的为( 189.24,133.33 )

? 21 .某校进行教学改革,一学科学生成绩X服从正态分布, , ? 均未知。
2

现抽测19人的成绩如下: 70 80 67 86 61 96 92 87 62 51 81 99 76 86 93 79 81 62 47 问是否有理由认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70? ? ? 0.05 解:检验 H 0:? ?

? 0 ? 70
S n

H 1: ? ? 0 ?

t 选取统计量: ?

X ? ?0

} 拒绝域 {T ? t? (n ? 1) ? t0.05 (18) ? 1.734

, 由题意条件得: n ? 19 X ? 76.6316 s ? 15.023
t? X ? ?0 S n ? 1.9241 ? t0.05 ?18? ? 1.734

假设检验九种类型!

故拒绝 H0 即认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70。

22.

X ~ N (0,1) (X1,X2,…X6)为X的一个样本
Y ? (X1 ? X2 ? X3 )2 ? (X4 ? X5 ? X6 )2

求常数C使得CY服从?2分布。 解 因为(X1,X2…X6)为X的一个样本,

Xi~N(0,1),i=1,2…6 则 (X1 ? X2 ? X3 ) ~ N(0,3)

(X4 ? X5 ? X6 ) ~ N(0,3)

X1 ? X 2 ? X 3 X 4 ? X5 ? X6 ? ~ N(0,1) ~ N(0,1) 3 3 X1 ? X 2 ? X 3 2 X 4 ? X 5 ? X 6 2 ?( ) ?( ) ~ ? 2 (n ) 3 3
所以,取常数C=1/3使得CY服从?2分布

23..设总体X服从N(0,1),样本X1,X2…Xn来自总体X,试求 c ( X 1 ? X 2 ) 服从t-分布. 常数c使统计量
2 2 2 X3 ? X4 ? X5

解:X 1 ? X 2 服从N (0,2) ? Y1 ?

X1 ? X 2 2

服从N (0,1)

2 2 2 X 3, X 4, X 5 服从N (0,1) ? Y2 ? X 3 ? X 4 ? X 5 服从? 2 (3)

又因为Y1 , Y2 相互独立 X1 ? X 2 ? 2
2 2 2 (X 3 ? X 4 ? X 5 ) 3 /

服从t(3)

?c ?

3/2

24. (X1,X2,…,X5)为取自正态总体X~N(0,σ2)的样本,
2 3( X 12 ? X 2 ) 求统计量 的分布 2 2 2 2( X 3 ? X 4 ? X 5 ) Xi ? 0 Xi 2 ? ~ N (0,1) 解 X i ~ N (0,? ) ? ?

(i ? 1,2,?,5)
2

? X1 ? ? X 2 ? 2 ? ? ?? ? ~ ? ( 2) ?? ? ? ? ?
2 2

2

2

? X3 ? ? X4 ? ? X5 ? ? ? ?? ? ~ ? 2 (3) ? ?? ?? ? ?? ? ?? ?

2

2

? X1 ? ? X 2 ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 2 ~ F (2,3) 2 2 2 ? X3 ? ? X4 ? ? X5 ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? 3

2 3( X 12 ? X 2 ) ~ F (2,3) 2 2 2 2( X 3 ? X 4 ? X 5 )

25. 设离散型随机变量X有如下分布律,试求随机 变量Y=(X-3)2+1的分布律 X 1 3 5 7 P 0.5 0.1 0.15 0.25 解 Y的所有可能取值为
1,5,17

P(Y ? 1) ? P(( X ? 3) 2 ? 1 ? 1) ? P( X ? 3) ? 0.1
P(Y ? 5) ? P(( X ? 3) 2 ? 1 ? 5) ? P( X ? 1) ? P( X ? 5) ? 0.5 ? 0.15 ? 0.65

P(Y ? 17) ? P(( X ? 3) ? 1 ? 17) ? P( X ? 7) ? 0.25
2

故,Y的分布律为 Y P 1 0.1 5 0.65 17 0.25

设(X1,X2,…,Xn)是正态总体N(μ,σ2)的样本,则
(1)
? ?2? X ~ N? ?, ? ? n ? ? ?
? ?

(n ? 1)S 2 1 n (2) ? 2 ? (Xi ? X) 2 ~ ? 2 (n ? 1) 2
i ?1

(3) X 与S2独立
(4)
1
n

X ?? (5) ~ t (n ? 1) S n

?2

( X i ? ? ) 2 ~ ? 2 ( n) ?
i ?1

26.设X1, X2 … ,X25是取自N(21,4)的样本,
求(1)样本均值的数学期望和方差;

( 2) P{ X - 21 ? 0.24}

解:

? X ~ N ( 21 4), n ? 25 , 4 ? X ~ N ( 21 , ) 25 4 ? E( X ) ? 21, D( X ) ? ? 0.16 25
? X ~ N(21,0.16) X - 21 ? ~ N(0,1) 0.4 ? P{ X - 21 ? 0.24} ? P{ X - 21 0.4 ? 2? (0.6) ? 1 ? 0.4514 ? 0.6}

27.设X1, … ,X10是取自N(2,16)的样本,
求a。 解:
1 10 ? S ? ? ( X i ? X )2 9 i ?1
2

5S 2 P{ ? a} ? 0.95 2

9S 2 ? ~ ? 2 ( 9) 16

5S 2 9S 2 9 9S 2 9 ? P{ ? a} ? P{ ? a} ? 1 ? P{ ? a} ? 0.95 2 16 40 16 40

9 ? a ? ? 02.05 (9) ? 16.919 40
? a ? 75.196

28. 设X1,X2, … ,X8 是取自N(1,9)的样本,求样本方差 S2的期望与方差。 解:
1 8 ? S ? ? ( X i ? X )2 7 i ?1
2

7S 2 ? ~ ? 2 (7) 9
7S 2 7 ? E( ) ? E( S 2 ) ? 7 9 9

? E( S 2 ) ? 9
7S 2 49 ? D( )? D( S 2 ) ? 14 9 81
? D( S 2 ) ? 162 7

29.设X1,X2, … ,X9 是取自N(0,9)的样本,求 P{ X ? 0} S 解:
? X i ~ N (0,9)
n ( X ? ? ) 3X ? ~ t (8) S S

?

? P{

X 3X ? 0} ? P{ ? 0} S S 3X 1 ? 1 ? P{ ? 0} ? S 2

30. 设总体X的k阶矩存在,则不论X的分布如何,样本 1 n k k阶原点矩 Ak ? ? X i 是总体k阶矩的无偏估计。 n i ?1

证明 设X的k阶矩 μk=E(Xk),k≥1
(X1,X2,…,Xn)是来自正态总体X的一个样本,则

E( X ) ? E( X ) ? ? k
k i k

i ? 1,2,?, n

1 n k 1 n 1 n E ( Ak ) ? E ( ? X i ) ? ? ? E ( X ik ) ? ? ? ( ? k ) ? ? k n i ?1 n i ?1 n i ?1

所以Ak是μk的无偏估计.

31. 设X~N(0,σ2), (X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本
1 n (1) 证明 ? ? ? X i 2 是σ2无偏估计。 ? n i ?1
2

(2)求

? D(? 2)

n n 1 n 1 1 2 2 ? ? 解:E(? 2) E[ ? X i ] ? E[? X i ] ? D[? X i ] n i ?1 n i ?1 n i ?1 1 ? n? 2 ? ? 2 n 1 n 2 2 ? ?? ? ? X i 是σ2无偏估计。 n i ?1

?

? Xi
i ?1

n

2

?

2

~ ? 2 (n )

? D( i ?1

? Xi
?
2

n

2

) ? 2n
2

n Xi 1 n ?4 ?4 2? 4 2 ? ? ? D(? 2) D[ ? X i ] ? 2 D[? 2 ] ? 2 2n ? n i ?1 n n n i ?1 ?

32. 设(X1,X2,…,Xn)是总体X的一个样本,
1 2 1 3 2 3 ( )证明 X1 ? X 2 , X1 ? X 2 , X1 ? X 2为?的无偏估计; 1 3 3 4 4 5 5 (2)三个无偏估计中哪一 个最有效?

1 2 1 2 ( )E( X1 ? X 2) 1 ? ?? ??? 3 3 3 3 1 3 1 3 E( X1 ? X 2) ? ?? ??? 4 4 4 4 2 3 2 3 E( X1 ? X 2) ? ?? ??? 1 2 1 2 4 2 5 2 5 5 5 5 (2)D( X1 ? X 2) ? ? ? ? ? ? 3 3 9 9 9 ? 三个估计都是 的无偏估计。 ?
1 3 1 9 5 D( X1 ? X 2) ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 4 4 16 16 8 2 3 4 9 13 D( X1 ? X 2) ? ?2 ? ?2 ? ?2 5 5 25 25 25 2 3 ? X1 ? X 2最有效。 5 5

注:(X,Y)~N(?1,?2,?12,?22,?),X与Y相互独立? X与Y不相关。 其中?=cov(X,Y)。

33.设(X,Y)服从N(1,0,9,16,-0.5)分布,Z=X/3+Y/2 1)求Z的概率密度,2)求X与Z的相关系数,3) X与Z是否相互独立?
解:(1)∵X~N(1,9),Y~N(0,16),?XY=-0.5

cov(X , Y ) ? ? xy ? D( X ) ? D(Y ) ? (?0.5) ? 3 ? 4 ? ?6
E( Z ) ? E( D( Z ) ? D( X Y E ( X ) E (Y ) 1 0 1 ? )? ? ? ? ? 3 2 3 2 3 2 3

X Y D( X ) D(Y ) X Y 9 16 1 ? )? ? ? 2 cov( , ) ? ? ? 2 ? ? ( ?6) ? 3 3 2 9 4 3 2 9 4 6

Z~N(1/3,3), (2)cov(X,Z)=cov(X,X/3+Y/2)=cov(X,X/3)+cov(X,Y/2)

=(1/3)cov(X,X)+(1/2)cov(X,Y)=(1/3)D(X)+(1/2)(-6)=0
(3) X与Z相互独立

34.设随机变量X~B(12,0.5),Y~N(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1 与W=-2X+4Y的方差与协方差。 解: ∵X~B(12,0.5),Y~N(0,1) ∴E(X)=12*0.5=6,D(X)=12*0.5*0.5=3 E(Y)=0,D(Y)=1
∴D(V)=D(4X+3Y+1)=D(4X+3Y) =D(4X)+D(3Y)+2COV(4X,3Y) =16D(X)+9D(Y)+24COV(X,Y)=16*3+9*1-24=33 ∴D(W)=D(-2X+4Y)=D(-2X)+D(4Y)+2COV(-2X,4Y) =4D(X)+16D(Y)-16COV(X,Y)=4*3+16*1+16=44 ∴COV(V,W)=COV(4X+3Y+1,-2X+4Y) =COV(4X,-2X+4Y)+ COV(3Y,-2X+4Y)+ COV(1,-2X+4Y) =COV(4X,-2X)+COV(4X,4Y)+ COV(3Y,-2X)+COV(3Y,4Y) =-8D(X)+16COV(X,Y)-6COV(Y,X)+12D(Y) =-8*3+10*(-1)+12=-22

六个重要分布的数学期望和方差
(1)0—1分布

X~B(1,p),P(X=1)=p,P(X=0)=1-p=q E(X)=p,D(X)=p(1-p) E(X)=np D(X)=npq

(2)二项分布X~B(n,p)

分布律为P(X=k)=Cnkpkqn-k,(p+q=1),k=0,1,2,…,n

(3)Poisson分布 X~P(λ) E(X) ? ? D(X) ? ?
分布律为 ( X ? k ) ? P

?k
k!

e ?? k ? 0, ,2, ? 1
a ? x ?b 其它

(4)均匀分布X~U[a, b] (5 )正态分布 (6)指数分布

a?b (b ? a ) E( X) ? D(X) ? 2 12
X ~ N (? , ?
1 2? ? e
2

密度函数为
2

? 1 ? f ( x) ? ? b ? a ? 0 ?

)

E(X)=μ,D(X)=σ2
2

f ( x) ?

?

( x?? )2 2?

X ~ E (? )

P48与P100两种定义式

x ? 1 ?? ? e f ( x) ? ?? ? 0 ?

x?0 x?0

E(X) ? ?,D(X) ? ? 2


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