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第4课时 不等式及_图文

第4课时 不等式及 一元一次不等式(组)

1. (2012· 义乌)在 x=- 4,-1,0,3 中,满足不等
? ?x<2 式组? 的 x 值是( ? ?2? x+ 1?>- 2

D

)

A.- 4 和 0 C. 0 和 3

B.- 4 和-1 D.- 1 和 0

2.(2013· 丽水 )若关于 x 的不等式组的解集表示在 数轴上如图所示,则这个不等式组的解集是( D )

A. x≤ 2 C. 1≤ x< 2

B. x> 1 D. 1< x≤2

3.(2013· 台州 )若实数 a,b,c 在数轴上对应点的 位置如图所示,则下列不等式成立的是( A. ac> bc C. a+ c> b+ c B. ab> cb D. a+b> c+ b B )

1 2 4. (2012· 衢州)不等式 2x- 1> x 的解集是 x> . 2 3

?x-2≥0 5 . (2013· 衢 州 )不等 式组? 的 解 集是 ?3x+ 1>x
x≥2.

x+1 x-1 6. (2013· 绍兴)解不等式: + ≤ 1. 2 3 解: 3(x+1)+ 2(x- 1)≤ 6,3x+ 3+ 2x-2≤ 6, x≤ 1.

?2? x-1?>3, 7. (2013· 湖州)解不等式组:? ?x<10-x. ?2? x- 1?>3,① 5 解:? 由①,得 x> .由②,得 x 2 ?x<10-x. ②
< 5. 5 则原不等式组的解集为 < x<5. 2

?x+3>4, 8 . (2012· 台州 )解不等式组 ? 并把解集 ?2x<6,
在数轴上表示出来.

解:解不等式 x+3>4,得 x>1.解不等式 2x<6,得 x<3. ∴不等式组的解集为 1<x<3. 在数轴上表示为:

9.(2013· 台州)某校班级篮球联赛中,每场比赛都 要分出胜负,每队胜 1 场得 3 分,负 1 场得 1 分,如 果某班要在第一轮的 28 场比赛中至少得 43 分,那么 这个班至少要胜多少场? 解:设这个班要胜 x 场,则负(28-x)场. 由题意,得 3x+ (28- x)≥43,解得 x≥ 7.5. 因为场次 x 为正整数,故 x≥ 8. 答:这个班至少要胜 8 场.

10. (2012· 温州 )温州享有“中国笔都”之称,其 产品畅销全球.某制笔企业欲将 n 件产品运往 A, B, C 三地销售,要求运往 C 地的件数是运往 A 地件数的 2 倍,各地的运费如图所示.设安排 x 件产品运往 A 地.

(1)当 n= 200 时, ①根据信息填表: A地 产品件数 (件 ) 运 费 (元 ) x 30x B地 C地 2x 合计 200

②若运往 B 地的件数不多于运往 C 地的件数,总 运费不超过 4 000 元,则有哪几种运输方案? (2)若总运费为 5 800 元,求 n 的最小值.

解:(1)①根据信息填表: A 地 产品件数 (件 ) 运费(元) B地 200- 3x 1 600- 24x 50x 1 600+ 56x C 地 合计

?200-3x≤2x, ②由题意,得? ?1 600+56x≤4 000,
6 40≤ x≤ 42 . 7

解 得

∵ x 为整数, ∴ x= 40 或 41 或 42, ∴有 3 种方案, 分别为 (ⅰ )A 地 40 件, B 地 80 件, C 地 80 件; (ⅱ )A 地 41 件, B 地 77 件, C 地 82 件; (ⅲ )A 地 42 件, B 地 74 件, C 地 84 件.

(2)由题意,得 30x+8(n-3x)+50x=5 800, 整理,得 n=725- 7x.∵ n- 3x≥0,∴x≤72.5. 又∵x≥ 0,∴0≤ x≤ 72.5 且 x 为整数. ∵ n 随 x 的增大而减少,∴当 x=72 时,n 有最小 值为 221.

考点一 式.

不等式的基本概念

1.不等式:用不等号连结起来的式子,叫做不等 2.不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫 做不等式的解. 3.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的解 的全体,叫做不等式的解集.

4.解不等式:求不等式解集的过程或证明不等式 无解的过程,叫做解不等式. 5.在数轴上表示不等式的解集,大于向右画,小 于向左画,有等号画实心圆点,无等号画空心圆圈.

考点二

不等式的基本性质

1.不等式两边都加上 (或减去)同一个数或同一个 整式,不等号的方向不变,即若 a< b,则 a+ c< b+ c(或 a- c< b- c); 2.不等式两边都乘 (或除以)同一个正数,不等号 a b 的方向不变,即若 a< b 且 c> 0,则 ac< bc(或 < ); c c

3.不等式两边都乘 (或除以 )同一个负数,不等号 a b 的方向改变,即若 a< b 且 c< 0,则 ac> bc(或 > ). c c 温馨提示 一定要注意应用不等式的基本性质 3 时改变不等 号的方向 .

考点三

一元一次不等式?组?的有关概念

1.一元一次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的次数是 1 且系 数不等于零的不等式,叫做一元一次不等式.其一般 形式为 ax+ b<0 或 ax+ b>0(a≠ 0) . 2. 把两个含有相同未知数的一元一次不等式合起 来,就组成了一个一元一次不等式组. 3.一元一次不等式组的解集:几个不等式的解集 的公共部分叫做它们所组成的不等式组的解集.

4.一元一次不等式组解集的基本类型. (其中 a< b)

考点四

一元一次不等式?组?的解法

1.解一元一次不等式的基本步骤:去分母、去括 号、移项、合并同类项、系数化为 1. 注意:在去分母和系数化为 1 时,如果乘的因数 或除数是负数,则不等号的方向要改变. 2.解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等 式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集 的公共部分,即这个不等式组的解集.

考点五

一元一次不等式?组?的应用

列一元一次不等式 (组 )解应用题的一般步骤: (1)审题;(2)设未知数;(3)确定包含未知数的不等 量关系; (4)列出不等式(组 ); (5)求出不等式 (组 )的解集; (6)检验不等式(组 )的解集是否符合题意; (7)写出答案.

温馨提示 列一元一次不等式组解实际问题时,一定要注意 解的实际意义,很多问题中都要取整数解.一元一次不 等式组在方案设计中有重要的应用.

考点一

在数轴上表示不等式?组?的解集

?2x< 0 (2013· 威海 )不等式组 ? 的解集在数 ?2-x≥1
轴上表示为 ( B )

【思路点拨】分别求出不等式组中每个不等式的 解集,并在数轴上表示出来,再取其公共部分即可.

方法总结 在数轴上表示不等式 ?组 ?的解集时, 一要正确选择 方向:大于向右画,小于向左画;二要正确区分 “实 心圆点 ”与 “空心圆圈 ”的应用, “≥”“≤”用实 心圆点, “> ”“< ”用空心圆圈 .

(2013· 福州)不等式 1+ x<0 的解集在 数轴上表示正确的是( A )

?x+3≥5 (2013· 山 西 )不 等 式 组? 的 ?2x- 1<5
解集在数轴上表示为( C )

(2013· 安徽)已知不等式组

?x-3>0, 其解集在数轴上表示正确的是( D ) ? ?x+1≥0,

考点二 不等式?组?的解法 (2013· 新疆 )解不等式组

?x- 3? x- 2?≤ 4,① ? ?2x- 1 5 > x- . ② ? 2 ? 3
【思路点拨】 分别解不等式①, ②,取其解集的 公共部分即可.对①式去括号时注意变号;对 ②式去 分母时不要漏乘分母为 1 的项.

解:将不等式①去括号、移项、合并同类项,得 -2x≤-2,解得 x≥1;将不等式②去分母、移项、合 13 并同类项,得-2x>-13,解得 x< .∴不等式组的 2 13 解集为 1≤x< . 2

方法总结 1.在不等式的两边同乘?或除以 ?一个负数时,要改 变不等号的方向,所以在去分母、系数化为 1 的两个 相关步骤中,要时刻注意是否要改变不等号的方向. 2.解一元一次不等式组的一般步骤:?1?求出不等 式组中各个不等式的解集;?2?利用数轴确定解集的公 共部分; ?3?写出不等式组的解集.

2x- 1 9x+ 2 (2013· 巴中 )解不等式: - 3 6 ≤ 1,并把解集表示在数轴上. 解:去分母,得 2(2x- 1)-(9x+2)≤ 6. 去括号,得 4x- 2- 9x- 2≤ 6. 移项,得 4x-9x≤ 6+ 2+ 2.

合并同类项,得-5x≤ 10.系数化为 1,得 x≥- 2. ∴不等式的解集为 x≥-2. 将解集在数轴上表示为:

(2013· 江西)解不等式组

?x+2≥1, ? 并将解集在数轴上表示出 ?2? x+ 3?-3>3x,
来.

解:由 x+ 2≥1,得 x≥- 1. 由 2(x+ 3)-3>3x, 得 x<3. ∴不等式组的解集为-1≤x<3. 将解集在数轴上表示为:

?2x+1> 0 (2013· 常 德 ) 求 不 等 式组 ? ?x>2x- 5
的正整数解. 1 解:由 2x+ 1> 0,得 x>- .由 x> 2x-5,得 x 2 < 5. 1 ∴不等式组的解集为- < x<5. 2 ∴此不等式组的正整数解为 1,2,3,4.

考点三

一元一次不等式?组?的应用

(2013· 南京 )某商场促销方案规定:商场内所 有商品按标价的 80% 出售,同时,当顾客在商场内消 费满一定金额后,按下表获得相应的返还金额:

注:300~400 表示消费金额大于 300 元且小于或 等于 400 元,其他类同. 根据上述促销方案,顾客在该商场购物可以获得 双重优惠.例如,若购买标价为 400 元的商品.则消 费金额为 320 元,获得的优惠额为 400× (1- 80%)+ 30= 110(元). (1)购买一件标价为 1 000 元的商品,顾客获得的 优惠额是多少?

(2)如果顾客购买标价不超过 800 元的商品,要使 获得的优惠额不少于 226 元,那么该商品的标价至少 为多少元? 【思路点拨】 (1)优惠金额=打折金额+返还金额, 其中 “打折金额=标价 ×(1- 80%)”,返还金额根据 消费金额的范围可知;(2)根据 “标价不超过 800 元 ” 确定消费金额范围,根据“优惠金额不少于 226 元 ” 列不等式确定标价范围.

解:(1)购买一件标价为 1 000 元的商品,消费金 额为 800 元, 顾客获得的优惠额为 1 000×(1 - 80%) + 150 = 350(元). (2)设该商品的标价为 x 元, 当 80%x≤500, 即 x≤625 时, 顾客获得的优惠额 不超过 625×(1-80%)+60=185(元),185<226;

当 500<80% x≤600,即 625< x≤ 750 时, 令 (1-80%)x+100≥226,解得 x≥630. 所以 630≤x≤750. 当 600<80% x≤800×80% ,即 750< x≤800 时, 顾客获得的优惠额大于 750× (1- 80%) + 130= 280(元),280>226. 综上,顾客购买标价不超过 800 元的商品,要使 获得的优惠额不少于 226 元,那么该商品的标价至少 为 630 元.

方法总结 1.当遇到 “至少 ”“ 不超过 ”“最多 ” 等关键词 时,一般通过列不等式?组?求解 . 2.在利用不等式 ?组 ?解应用题时要善于结合日常 生活经验从题目中捕捉不等关系,另外应用不等式组 的整数解是解决方案设计题最常用的方法.

(2013· 宜昌 )地球正面临第六次生物大 灭绝,据科学家预测,到 2050 年,目前的四分之一到 一半的物种将会灭绝或濒临灭绝.2012 年底,长江江豚 (如图所示 )数量 仅剩约 1 000 头,其数量年平均 下降的百分率在 13%~ 15%范围 内, 由此预测, 2013 年底剩下江豚的数量可能为 ______ 头. ( B ) A. 970 B. 860 C. 750 D. 720

解析:设 2013 年底剩下江豚的数量可能为 x 头, 根 据 题 意 , 得 1 000× (1 - 15%) < x < 1 000×(1 - 13%), 解得 850< x< 870,所以预测到 2013 年底剩下江 豚的数量可能为 860 头.故选 B.

(2013· 东营)在东营市中小学标准化建 设工程中,某学校计划购进一批电脑和电子白板,经 过市场考察得知,购买 1 台电脑和 2 台电子白板需要 3.5 万元, 购买 2 台电脑和 1 台电子白板需要 2.5 万元. (1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元? (2)根据学校实际,需购进电脑和电子白板共 30 台,总费用不超过 30 万元,但不低于 28 万元,请你 通过计算求出有几种购买方案,哪种方案费用最低.

解: (1)设每台电脑 x 万元, 每台电子白板 y 万元. 根

?x+2y=3.5, ?x=0.5, 据题意,得? 解得? ?2x+y=2.5, ?y= 1.5.
答:每台电脑 0.5 万元,每台电子白板 1.5 万元.

(2)设需购进电脑 a 台,则购进电子白板(30-a)台,

?0.5a+1.5?30-a?≥28, 则? ?0.5a+1.5?30-a?≤30,
解得 15≤ a≤ 17,即 a=15,16,17.故共有三种方案: 方案一: 购进电脑 15 台, 电子白板 15 台, 总费用为 0.5×15 + 1.5× 15= 30(万元 );方案二:购进电脑 16 台,电子白 板 14 台,总费用 0.5×16+ 1.5×14= 29(万元);方案三: 购进电脑 17 台,电子白板 13 台,总费用为 0.5× 17+ 1.5×13= 28(万元).所以方案三费用最低.

考点四

不等式?组?的综合与创新

(2013· 潍坊 )对于实数 x,我们规定 [x]表示不 大于 x 的最大整数,例如[1.2]= 1,[3]= 3, [- 2.5]= x+ 4 - 3.若[ ]= 5,则 x 的值可以是 ( 10 A. 40 B. 45 C. 51 ) D. 56

【思路点拨】根据[x]的意义,列出不等式(组 ), 解不等式组,取 x 的整数解即可.

x+ 4 x+ 4 解析: ∵[ ]= 5, ∴ 5≤ < 6,∴ 50≤ x+ 4 10 10 < 60,即 46≤ x< 56,只有 C 项符合题意. 答案: C 方法总结 不等式?组?与其他知识综合考查的比较多, 此时找 到关键词, 理清数量关系, 列出不等式?组?是解题的关 键.

(2013· 荆州 )在实数范围内规定新运算 “△”,其规则是:a△b= 2a-b.已知不等式 x△ k≥ 1 的解集在数轴上如图表示,则 k 的值是-3.

k+ 1 解析:根据题意,得 2x- k≥ 1,解得 x≥ .由 2 k+ 1 数轴可知不等式的解集是 x≥- 1, ∴ =- 1, 解得 2 k=- 3.

?t-a≥0 若关于 t 的不等式组? 恰有 ?2t+1≤4
1 三个整数解,则关于 x 的一次函数 y= x- a 的图象与 4 3a+ 2 反比例函数 y= 的图象的公共点的个数为 0 或 1. x

?t-a≥0, 3 解析:解不等式组? 得 a≤t≤ .可得它 2 ?2t+1≤4,
们的三个整数解是-1,0,1.所以 a 的取值范围是-2 < a≤- 1,所以 a+ 1≤0,a+2> 0.把两个函数关系

? ? 式联立成方程组? 3a+ 2 y= , ? x ?
1 y= x- a, 4

消去 y 得关于 x 的

1 2 一元二次方程 x - ax- (3a+ 2)= 0, 4

1 2 可得 b - 4ac= a - 4× [- (3a+ 2)]= a + 3a+ 2 4
2 2

= (a+ 2)(a+ 1). 因为 a+ 1≤ 0, a+ 2> 0, 所以 b2- 4ac = 0 或 b - 4ac< 0,此方程有两个相等的实数根或没 1 有实数根, 所以关于 x 的一次函数 y= x- a 的图象与 4 3a+ 2 反比例函数 y= 的图象的公共点的个数为 0 或 1. x
2

能力评估检测

2x x 1.与不等式- ≤ -1 的解集相同的不等式是 5 10 ( D ) B.-2x≤ x-10 D.- 4x≤ x- 10 A.- 2x≤- 1 C.-4x≥ x-10

1 ? ?x-2>0 2 . (2013· 陕西)不等式组? ? ?1-2x<3 ( A ) B.x<-1 1 D .x>- 2 1 A. x> 2 1 C.-1<x< 2

的解集为

?3x- 1> 2 3. (2013· 聊城)不等式组? 的解集在数轴 ?4-2x≥ 0
上表示为 ( A )

A

B

C

D

4 . (2013· 淄博 ) 当实数 a < 0 时, 6 + a<6 - a(填 “<”或“>” ).

?x-1>0 5.(2013· 上海)不等式组? 的解集是 x>1. ?2x+3>x

6.(2013· 郴州 )解不等式 4(x- 1)+3≥3x,并把解 集在数轴上表示出来. 解: 去括号, 得 4x-4+ 3≥ 3x.移项, 得 4x- 3x≥4 - 3. 整理,得 x≥ 1.故不等式的解集为 x≥1. 用数轴表示解集为:

?2- x≥- 3 7.(2013· 滨州 )若把不等式组? 的解集 ?x- 1≥- 2
在数轴上表示出来,则其对应的图形为 ( B ) A.长方形 B.线段 C.射线 D.直线

2x-1<3 ? ? 8 . (2013· 雅安 ) 不等式组 ? x 的整数解有 - ≤1 ? ? 2 ____个.( A. 1 D ) B. 2 C. 3 A ) C. 3,4,5 D.不存在 D. 4

9. (2013· 孝感)使不等式 x- 1≥ 2 与 3x- 7< 8 同 时成立的 x 的整数值是( A. 3,4 B.4,5

10 . (2013· 荆门 ) 若关于 x 的一元一次不等式组

?x-2m<0 有解,则 m 的取值范围为( C ) ? ?x+m>2
2 A.m>- 3 2 2 2 B.m≤ C.m> D.m≤- 3 3 3

11. (2013· 济宁)已知 ab= 4,若- 2≤ b≤- 1,则 a 的取值范围是 ( A. a≥- 4 C.- 4≤ a≤- 1 D ) B. a≥- 2 D.- 4≤ a≤- 2

4 解析:∵ ab= 4,- 2≤ b≤- 1, ∴ a<0, b= , a 4 ∴- 2≤ ≤- 1, 不等式两边同乘 a, 得- a≤ 4≤- 2a, a 解得- 4≤ a≤- 2.故选 D.

12. (2013· 厦门 )某采石场爆破时,点燃导火线的 甲工人要在爆破前转移到 400 米以外的安全区域.甲 工人在转移过程中,前 40 米只能步行,之后骑自行 车.已知导火线燃烧的速度为 0.01 米/秒,步行的速度 为 1 米/秒,骑车的速度为 4 米 /秒.为了确保甲工人的 安全,则导火线的长要大于 1.3 米.

?2x- b≥0 13.(2013· 鄂州)若不等式组? 的解集为 ?x+a≤0
3 3≤x≤4,则不等式 ax+ b< 0 的解集为 x> . 2

?2x-b≥ 0,① b 解析:? 解不等式 ①,得 x≥ .解 2 ?x+ a≤0, ②
b 不等式 ②,得 x≤ - a.∴ 不等式组的解集为 ≤ x≤ - 2

?2x- b≥0 b a.∵不等式组? 的解集为 3≤x≤ 4,∴ = 3, 2 ?x+a≤0
3 - a= 4,∴b= 6,a=- 4.∴- 4x+ 6< 0,∴x> .∴不 2 3 等式 ax+ b< 0 的解集为 x> . 2

9x+ 5<8x+ 7, ? ? 14. (2013· 深圳 )解不等式组: ?4 并 2 ? ?3x+ 2>1-3x, 写出其整数解. 9x+ 5<8x+ 7, ① ? ? 解:?4 解不等式①,得 x 2 x + 2>1 - x , ② ? ?3 3 1 < 2.解不等式②,得 x>- .∴不等式组的解集为 2 1 - <x<2,即不等式组的整数解为 0,1. 2

15. (2013· 天津 )甲、乙两商场以同样价格出售同 样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案:在甲商 场累计购物超过 100 元后,超出 100 元的部分按 90% 收费;在乙商场累计购物超过 50 元后,超出 50 元的 部分按 95% 收费.设小红在同一商场累计购物 x 元, 其中 x>100.

(1)根据题意,填写下表(单位:元 ):

(2)当 x 为何值时,小红在甲、乙两商场的实际花 费相同? (3)当小红在同一商场累计购物超过 100 元时,在 哪家商场的实际花费少?

解 : (1) 在 甲 商 场 : 271,0.9x + 10 ; 在 乙 商 场 : 278,0.95x+ 2.5. (2)根据题意,有 0.9x+ 10=0.95x+2.5,解得 x= 150, ∴当 x=150 时,小红在甲、乙两商场的实际花费 相同.

(3)由 0.9x+ 10<0.95x+ 2.5,解得 x>150,由 0.9x + 10>0.95x+ 2.5,解得 x<150.∴当小红累计购物超过 150 元时, 在甲商场的实际花费少; 当小红累计购物超 过 100 元而不到 150 元时,在乙商场的实际花费少.

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