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平面向量的基本定理及坐标运算


平面向量的基本定理及坐标运算
【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理

e2 是同一平面内的两个不共线向量, 如果 e1 、 那么对于这一平面内的任一向量, 有且只有一对实数 ?1 、

?2 ,使得 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ,不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
二、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中,分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底。由平面向量的基本 定理知,该平面内的任意一个向量 a 可表示成 a ? xi ? y j ,由于 a 与数对 ( x, y ) 是一一对应的,因此把

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? ? ? ? ( x, y) 叫做向量 a 的坐标,记作 a ? ( x, y ) ,其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标, y 叫作 a 在 y 轴上的坐标.
规定:(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算 1、设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . 2、设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . 3、设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . 4、设 a = ? x, y ? , ? ? R ,则 ? a = (? x, ? y) . 5、设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 (斜乘相减等于零) 6、设 a = ? x, y ? ,则 a ?

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x2 ? y 2
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四、两个向量平行 (共线)的充要条件 1、如果 a ? 0 ,则 a // b 的充要条件是有且只有一个实数 ? ,使得 b ? ? a (没有坐标背景) 2、如果 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a // b 的充要条件是 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 (坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、 A 、 B 、 C 三点共线的充要条件是 AB ? ? BC

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??? ?
??? ? ??? ? ??? ? (? ? ? ? 1, ? , ? ? R) .

OB 不共线, 2、 设 OA 、 点P、 A、 B 三点共线的充要条件是 OP ? ? OA ? ? OB

古之立大事者,不惟有超世之才,亦必有坚韧不拔之志。

1

特别地,当 ? ? ? ?

1 时, P 是 AB 中点。 2

六、温馨提示 1、向量的坐标表示体现了数形结合的紧密关系,从而可用“数”来证明“形”的问题,因此解题过 程中应注意使用数形结合的思想方法。 2、向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关。 【例题精讲】 例 1:如图所示,已知 ?ABC 中 A?7,8? 、 B?3,5? 、 C ?4,3? ,M、N 是 AB、CD 的中点,D 是 BC 的中点, MN 与 AD 交于 F,求 DF .

例 2:已知 a ? ?1,2 ? , b ? ?? 3,2? ,当 k 为何值时, k a ? b 与 a ? 3b 平行?平地时它们是同向还是反向?

平面向量的基本定理及坐标运算
【基础精练】 1→ → → 1.已知向量OA=(3,-2),OB=(-5,-1),则向量 AB的坐标是( ) 2 1 1 A.(-4, ) B.(4,- ) C.(-8,1) D.(8,1) 2 2 → 1→ 2.已知 M(3,-2),N(-5,-1)且MP= MN,则 P 点的坐标为( ) 2 3 3 A.(-8,1) B.(-1,- ) C.(1, ) D.(8,-1) 2 2 → → 3.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点 D 的坐标为( ) 7 1 A.(2, ) B.(2,- ) C.(3,2) D.(1,3) 2 2 古之立大事者,不惟有超世之才,亦必有坚韧不拔之志。
2

1 4.已知向量 a =(1-sinθ,1), b =( ,1+sinθ),且 a ∥ b ,则锐角 θ 等于( ) 2 A.30° B.45° C.60° D.75° → → → 5.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b> 0,O 为坐标原点,若 A、B、C 三点共线, 1 2 则 + 的最小值是( ) a b A.2 B .4 C.6 D .8 → → 6.直角坐标系 xOy 中,AB=(2,1),AC=(3,k),若三角形 ABC 是直角三角形,则 k 的可能值个数是( ) A.1 B .2 C. 3 D .4 7. l1、 l2 是不共线向量, 且 a =-l1+3l2,b =4l1+2 l2,c =-3l1+12l2, 若 b 、c 为一组基底, 则 a =_____. 8.已知向量 a =(3,1), b =(1,3), c =(k,7),若( a - c )∥ b ,则 k=________. 9.若向量 a =(1,2), b =(x,1), u = a +2 b , v =2 a - b 且 u ∥ v ,则 x=__________. 10.已知向量 a =(1,1), b =(1,-1), c =( 2cosα, 2sinα)(α∈R),实数 m、n 满足 m a +n b = c , 则(m-3)2+n2 的最大值为__________. → → → 11.已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m). (1)若点 A、B、C 能够成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若点 A、B、C 构成以∠A 为直角的直角三角形,求 m 的值.

【拓展提高】 1.设向量 a =(4cosα,sinα), b =(sinβ,4cosβ), c =(cosβ,-4sinβ). (1)若 a 与 b -2 c 垂直,求 tan(α+β)的值; (2)求| b + c |的最大值; (3)若 tanαtanβ=16,求证: a ∥ b .

古之立大事者,不惟有超世之才,亦必有坚韧不拔之志。

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