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高考数学复习:三角函数式的化简与求值

高考数学复习:三角函数式的化简与求值 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径, 特别是要掌握化简和求 值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍. ●难点磁场 (★★★★★)已知 _________. ●案例探究 [例 1]不查表求 sin220°+cos280°+ 3 cos20°cos80°的值. 命题意图:本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法,对计算能力的要求较 高.属于★★★★级题目. 知识依托:熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析:公式不熟,计算易出错. 技巧与方法:解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数问题,使解法更简 单更精妙,需认真体会. 解法一:sin220°+cos280°+ 3 sin220°cos80° ? 2 <β<α< 3? 12 3 ,cos(α - β)= ,sin(α+β)= - , 求 sin2α 的 值 4 5 13 1 1 (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 3 sin20°cos80° 2 2 1 1 =1- cos40°+ cos160°+ 3 sin20°cos(60°+20°) 2 2 1 1 =1 - cos40 ° + (cos120 ° cos40 °- sin120 ° sin40 ° )+ 3 sin20 ° (cos60 ° cos20 ° 2 2 = -sin60°sin20°) 3 3 1 1 3 cos40°- cos40°- sin40°+ sin40°- sin220° 4 4 2 4 2 3 3 1 =1- cos40°- (1-cos40°)= 4 4 4 =1- 解法二:设 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80° y=cos220°+sin280°- 3 cos20°sin80°,则 x+y=1+1- 3 sin60°= 1 ,x-y=-cos40°+cos160°+ 3 sin100° 2 =-2sin100°sin60°+ 3 sin100°=0 ∴x=y= 1 1 ,即 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°= . 4 4 1 2 [例 2] 设关于 x 的函数 y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a), 试确定满足 f(a)= 的 a 值,并对此时的 a 值求 y 的最大值. 命题意图:本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维 能力.属★★★★★级题目 知识依托:二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析:考生不易考查三角函数的有界性,对区间的分类易出错. 技巧与方法:利用等价转化把问题化归为二次函数问题,还要用到配方法、数形结合、 分类讲座等. 解:由 y=2(cosx- a 2 a 2 ? 4a ? 2 )- 及 cosx∈[-1,1]得: 2 2 ( a ? ?2) ?1 ? 2 ? a f(a) ?? ? 2a ? 1 ( ?2 ? a ? 2) ? 2 1 ? 4a ( a ? 2) ? ? 1 1 1 ,∴1-4a= ? a= ?[2,+∞ ) 2 2 8 2 a 1 故- -2a-1= ,解得:a=-1,此时, 2 2 1 1 y=2(cosx+ )2+ ,当 cosx=1 时,即 x=2kπ ,k∈Z,ymax=5. 2 2 ∵f(a)= [例 3]已知函数 f(x)=2cosxsin(x+ (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值; (3)若当 x∈[ ? 3 )- 3 sin2x+sinxcosx ? 12 , 7? - - ]时,f(x)的反函数为 f 1(x),求 f- 1(1)的值. 12 命题意图: 本题主要考查三角公式、 周期、 最值、 反函数等知识,还考查计算变形能力, 综合运用知识的能力,属★★★★★级题目. 知识依托:熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. 错解分析:在求 f- 1(1)的值时易走弯路. - 技巧与方法:等价转化,逆向思维. 解:(1)f(x)=2cosxsin(x+ ? 3 )- 3 sin2x+sinxcosx =2cosx(sinxcos ? 3 +cosxsin ? 3 )- 3 sin2x+sinxcosx =2sinxcosx+ 3 cos2x=2sin(2x+ ∴f(x)的最小正周期 T=π (2)当 2x+ ? 3 ) ? 3 =2kπ - ? 2 ,即 x=kπ - 5? (k∈Z)时,f(x)取得最小值-2. 12 ], , 2 2 ? ? 3? ? 5? ∴2x+ ∈[ , ],∴2x+ = ,则 3 3 2 3 6 (3)令 2sin(2x+ ? 3 )=1,又 x∈[ ? 7? x= ? 4 ,故 f- 1(1)= - ? 4 . ●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有: 1.求值问题的基本类型:1°给角求值,2°给值求值,3°给式求值,4°求函数式的最 值或值域,5°化简求值. 2.技巧与方法: 1°要寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角,熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用. 3°对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,很难入手 的问题,可利用分析法. 4°求最值问题,常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★★)已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tanα 、tanβ ,且α ,β ∈ (- ? ? 2 2 1 A. 2 , ),则 tan ??? 2 的值是( B.-2 ) C. 4 3 D. 1 或-2 2 二、填空题 3 ? 1 , α ∈( , π ),

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