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等比数列第一课时教案


等比数列的定义教案
内 容: 等比数列 教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义; 2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法; 3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教学重点:等比数列定义、通项公式的探求及运用。 教学难点:等比数列通项公式的探求。 教具准备:多媒体课件 教学过程: (一)复习导入 1.等差数列的定义 2.等差数列的通项公式及其推导方法 3.公差的确定方法. 4.问题:给出一张书写纸,你能将它对折 10 次吗?为什么? (二)探索新知 1.引入:观察下面几个数列,看其有何共同特点? (1)-2,1,4,7,10,13,16,19,?(2)8,16,32,64,128,256,? (3)1,1,1,1,1,1,1,? (4)1,2,4,8,16,?263 请学生说出数列上述数列的特性,教师指出实际生活中也有许多类似的例 子,如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞,再 假设开始有一个细胞, 经过一个单位时间它分裂为两个细胞,经过两个单位时间 就有了四个细胞,?,一直进行下去,记录下每个单位时间的细胞个数得到了一 列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性, 这就是我们将要研究的另一 类数列——等比数列. 2.等比数列定义:一般地,如果一个数列从第二项起 ,每一项与它的前一 ....
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

项的比等于同一个常数 , 那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列 .. 的公比;公比通常用字母 q 表示 (q ? 0) , 3.递推公式: an ?1 ∶ an ? q(q ? 0) 对定义再引导学生讨论并强调以下问题 (1) 等比数列的首项不为 0; (2)等比数列的每一项都不为 0; (3)公比不为 0. (4)非零常数列既是等比数列也是等差 数列; 问题:一个数列各项均不为 0 是这个数列为等比数列的什么条件? 3.等比数列的通项公式: 【傻儿子的故事】 古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来 教他儿子认字,他儿子见老师第一天写“一”就是一划,第二天“二”就是二划, 第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走 吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。 第二天,这人想请一个姓万的人来家里吃饭,就让他儿子帮忙写一张请帖,他儿子 从早上一直写到中午也没有写好,这人觉得奇怪,就去看看,只发现他儿子在纸上 划了好多横线,就问他儿子什么意思.他儿子一边擦头上的汗一边埋怨道 :“爸,

这人姓什么不好,偏偏姓万,害得我从早上到现在才划了 500 划!!” 那么,你认为这孩子傻吗?今天,我们来运用“傻儿子”的思想方法来求等 比数列的通项公式。 与等差数列相类似,我们通过观察等比数列各项之间的关系,分析、探求规 律. 设等比数列 ?an ? 的公比为 q,则
a2 ? a1 ? q, a3 ? a2 ? q ? ? a1 ? q ? ? q ? a1 ? q 2 , a4 ? a3 ? q ? ? a1 ? q 2 ? ? q ? a1 ? q 3 ,

?? 【说明】
a1 ? a1 ? 1 ? a1 ?0q

依此类推,得到等比数列的通项公式:
an ? a1 ? q n?1 .

【想一想】 等比数列的通项公式中,共有四个量: an 、 a1 、 n 和 q ,只要知道了其中的 任意三个量, 就可以求出另外的一个量. 针对不同情况,应该分别采用什么样的 计算方法? 【典型例子】 例 2 求等比数列 的第 10 项. 解 由于
1 a1 ? ?1 , q ? ? , 2

1 1 1 ? 1, ,? , , ? 2 4 8

故,数列的通项公式为
an ? a1 ? q
n ?1

? 1? ? ?1? ? ? ? ? 2?

n ?1

? ?1? (?1)

n ?1

?1? ?? ? ? 2?

n ?1

? (?1)n ?

1 , 2n?1

所以
a10 ? (?1)10 1 2
10?1

?

1 . 512
1 8

例3

在等比数列 ?an ? 中, a5 ? ?1 , a8 ? ? ,求 a13 .



1 由 a5 ? ?1, a8 ? ? 有 8

?1 ? a1 ? q4 ,
1 ? ? a1 ? q 7 , 8

(1) (2)

(2)式的两边分别除以(1)式的两边,得
1 ? q3 , 8

由此得
q? 1 . 2

将q ?

1 代人(1) ,得 2

a1 ? ?2 4 ,
所以,数列的通项公式为
1 an ? ?24 ? ( )n ?1 . 2



1 ?1? a13 ? a1 ? q12 ? ?24 ? ? ? ? ?2?8 ? ? 256 ? 2?
例 4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛,他们三人钓鱼的数量恰好组成一个 等比数列.已知他们三人一共钓了 14 条鱼,而每个人钓鱼数量的积为 64. 并 且知道,小强钓的鱼最多,小明钓的鱼最少,问他们三人各钓了多少条鱼? 分析 知道三个数构成等比数列,并且知道这三个数的积 ,可以将这三个数

12

a 设为 , a, aq ,这样可以方便地求出 a ,从而解决问题. q



a 设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为 , a, aq .则 q

?a ? q ? a ? aq ? 1 4 , ? ? ? a ? a ? aq ? 64. ? ? q
解得

a ? 4, ?a ? 4, ? ? 或 ? ?q ? 1 . ?q ? 2, ? 2 ?
当q ? 2时
a 4 ? ? 2, aq ? 4 ? 2 ? 8, q 2

此时三个人钓鱼的条数分别为 2、4、8. 当q ?
1 时 2

a 4 1 ? ? 8, aq ? 4 ? ? 2, q 1 2 2 此时三个人钓鱼的条数分别为 8、4、2.
由于小明钓的鱼最少,小强钓的鱼最多,故小明钓了 2 条
a 将构成等比数列的三个数设为, , a, aq 是经常使用的方法。 q

【四、课堂练习】
2 1.求等比数列 ,2,6, ? .的通项公式与第 7 项. 3

2.在等比数列 ?an ? 中, a2 ? ? 是,请指出是第几项 【五、课时小结】 1.等比数列的定义 2.等比数列的递推公式 3.等比数列的通项公式及运用 【六、课后作业】 习题:2、3、4

1 , a5 ? ?5 , 判断 ? 125 是否为数列中的项,如果 25


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