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向量和解三角形测试题[1]

一、选择题 1.已知 O、A、B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC + CB =0, 则 OC =( ) B.- OA +2 OB 1 2 D.- OA + OB 3 3 )

A.2 OA - OB 2 1 C. OA - OB 3 3

2.若 a =(1,2), b =(-3,0),(2 a + b )∥( a ? mb ),则 m=( 1 A.- 2 C.2 1 B. 2 D.-2

3.若平面向量 α ,β 满足|α |=1,|β |≤1,且以向量 α ,β 为邻边的平行四边形的面 1 积为 ,则 α 与 β 的夹角 θ 的取值范围是( 2 π 2π A.[ , ] 3 3 4π π C.[- , ] 3 3 π 5π B.[ , ] 6 6 π π D.[- , ] 6 6 ) )

? 4.在 ?ABC 中,若 A ? 60 , b ? 16 ,此三角形面积 S ? 220 3 ,则 a 的值是(

A. 20 6

B. 75

C. 51 )

D. 49

5.在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( A. 30 或60
0 0 0

B. 45 或60
0 0

0

0

C. 120 或60

D. 30 或150

0

6.已知三角形的两边长分别为 4,5, 它们夹角的余弦是方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的根, 则第三边
2

长是( ) A. 20 B. 21 C. 22 D. 61

7.在△ ABC 中, tan A ? sin B ? tan B ? sin A ,那么△ ABC 一定是
2 2

( )

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 )

8.已知 a ? ?5,?2? , b ? ?? 4,?3? , c ? ?x, y ?,若 a ? 2b ? 3c ? 0 ,则 c 等于( A. (1,

8 ) 3

B. (

13 8 , ) 3 3

C. (

13 4 , ) 3 3

D. ( ?

13 4 ,? ) 3 3

9. 在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则 cosC 的值为( A.
2 3

) D.- )
1 4

B.-

2 3

C.

1 4

10.在△ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A 与 B 的大小关系为(
A. A ? B B. A ? B C. A ≥ B

D. A 、 B 的大小关系不能确定

11. 在△ ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为( )

A.

3 2 2

B.

3 3 2

C.

3 2

D. 3 3

12.

△ ABC

的 三 内 角 A, B, C 所 对 边 的 长 分 别 为 a, b, c 设 向 量 )

p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p // q ,则角 C 的大小为( ? ? ? 2? A B C D 3 6 3 2
二、填空题

13.已知向量 a,b 满足 (a+2b)· (a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则 a 与 b 的夹角为 14.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,重心为 G, 若 a GA +b GB + 3 c GC =0,则∠A=________. 3

15. 在△ABC 中,A=60°, b=1, 面积为 3 ,则

a?b?c = sin A ? sin B ? sin C

16. 在Δ ABC 中,A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为 12π ,则外接圆的半径为_____. 三、解答题 6 π 17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A( ,0),P(cosα,sinα),其中 0≤α≤ . 5 2 5 (1)若 cosα= ,求证: PA ⊥ PO ; 6 π (2)若 PA ∥ PO ,求 sin(2α+ )的值. 4

18.如果△ABC 内接于半径为 R 的圆,且 2R(sin A ? sin C) ? ( 2a ? b) sin B,
2 2

求△ABC 的面积的最大值。

19. 已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 c 的长; (II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

20.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac ,且 tan A ? tan C ? 3 ? 3 , AB 边上的高 为 4 3 ,求角 A, B, C 的大小与边 a, b, c 的长

21. 在 ? ABC 中,设

tan A 2c ? b ? , ,求 A 的值。 tan B b

22. 在海岸 A 处,发现北偏东 45? 方向,距离 A 为 ( 3 ? 1) n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 ? 方向,距离 A 为 2 n mile 的 C 处有一艘缉私艇奉命以 10 3 n mile / h 的

75

速度追截走私船, 此时, 走私船正以 10 n mile / h 的速度从 B 处向北偏东 30? 方向逃窜, 问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间。(本题解题过程中请 不要使用计算器,以保证数据的相对准确和计算的方便) D

C 西

北 A 南

B 东


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