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2018年四川省德阳市高考数学一诊试卷(理科)


2018 年四川省德阳市高考数学一诊试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知集合 A={x|3x2﹣4x+1≤0},B= A. B. C. D. ,则 A∩B=( )

2. (5 分)若复数 z 满足 z(1﹣i)=|1﹣i|+i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的虚部 为( A. ) B. C. i D. i

3. (5 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+ ﹣f(x2)|=2 时,|x1﹣x2|min= A. B. C.π D.2π

) (ω>0)满足:? x1,x2∈R,当|f(x1) )

,那么 f(x)的最小正周期是(

4. (5 分)已知函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x) ,下列关于 f(x) ,f′(x)的描 述正确的是( )

A.若 f(x)为奇函数,则 f′(x)必为奇函数 B.若 f(x)为周期函数,则 f′(x)必为周期函数 C.若 f(x)不为周期函数,则 f′(x)必不为周期函数 D.若 f(x)为偶函数,则 f′(x)必为偶函数 5. (5 分)如图的平面图形由 16 个全部是边长为 1 且有一个内角为 60°的菱形组 成,那么图形中的向量 , 满足 ? =( )

A.1

B.2

C.4

D.6

6. (5 分)榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式,凸出部分 叫榫,凹进部分叫卯,榫和卯咬合,起到连接作用,代表建筑有:北京的紫禁城、 天坛祈年殿、 山西悬空寺等, 如图所示是一种榫卯的三视图, 其表面积为 ( )

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A.192 B.186 C.180 D.198 7. (5 分)执行如图所示的程序框图,若 m=4,则输出的结果为( )

A.1

B.

C.2

D.

8. (5 分)已知函数 f ( x )满足: f ( x+y ) =f ( x) f ( y )且 f ( 1 ) =1 ,那么 + A.1009 B.2018 + C.3027 +…+ D.4036 =( )

9. (5 分)在如图所示平面直角坐标系中,正方形 OABC 的边长为 1,曲线 m 是 函数 y=a(x﹣1)2+b 图象位于正方形内的部分,直线 AC 恰好是函数 y=a(x﹣1)
2

+b 在 x=0 处的切线,现从正方形内任取一点 P,那么点 P 取自阴影部分的概率 )

等于(

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A.

B.

C.

D. + =1 上一点,F1、F2 分别是椭圆 C 的左、右 )

10. (5 分)设点 P 为椭圆 C:

焦点, 且△PF1F2 的重心为点 G, 若|PF1|: |PF2|=3: 4, 那么△GPF1 的面积为 ( A.24 B.12 C.8 D.6

11. (5 分) 用 min{a, b}表示实数 a, b 中的较小者, 已知向量 , , 满足| |=1, | |=2, ? =0, =λ +μ (λ2+μ2=1) ,则当 min{ ? , ? }取得最大值时,| |= ( A. ) B. C.1 D. ,若关于 x 的方程 f2(x)﹣m|f(x)|﹣2m ) D. (﹣ ,0)

12. (5 分)已知函数 f(x)=

﹣3=0 有三个不同的实数解,则 m 的取值范围是( A. (﹣ ,0) B. (﹣ ,﹣ ] C. (﹣ ,﹣ )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知(1+x) (1+ay)5(a 为常数)的展开式中不含字母 x 的项的系 数和为 243,那么(1+x) (1+ay)5 展开式中 xy2 项的系数为 .

14. (5 分)某学校分别从甲、乙两班各抽取 7 名同学在某次物理测试中的成绩 如茎叶图所示,其中抽取的甲班成绩的众数是 85,乙班成绩的中位数是 83,现 从成绩 82 分以上的同学中选取 3 名组成学习经验交流小组,那么选取的小组中 甲班同学多于乙班同学的方法数是 种. (用数字作答)

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15. (5 分)若平面区域

夹在两条平行直线之间,且这两条平行直线

间的最短距离是

,那么这两条平行直线的斜率是



16. (5 分)若函数 f(x)﹣sin(x+φ)是偶函数,f(x)﹣cos(x+φ)是奇函数, 已知? x1∈(0,π) ,使得函数 f(x)在点 P(x1,f(x1) ) ,Q(x1+ 处的切线斜率互为倒数,那么点 P 的坐标为 . ,f(x1+ ) )

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分) 17. (12 分)已知{an}是等差数列,且 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20, 且{bn﹣an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若数列{ }的前 n 项和 Sn,证明: ≤Sn< . .

18. (12 分)已知△ABC 中,∠B=60°,点 D 在 BC 边上,且 AC=2 (1)若 CD= ,AD=2,求 AB;

(2)求△ABC 的周长的取值范围. 19. (12 分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间 进行分析研究, 他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室 每天每 100 棵种子中的发芽数,得到如下资料: 日期 温差 x/摄氏 度 发芽 y/颗 23 25 30 26 16 12 月 1 日 10 12 月 2 日 11 12 月 3 日 13 12 月 4 日 12 12 月 5 日 8

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该农科所确定的研究方案是:先从这 5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方程, 再用剩下的 2 组数据进行检验. (1) 若选取的 3 组数据恰好是连续 ξ 天的数据 (ξ=0 表示数据来自互不相邻的三 天) ,求 ξ 的分布列及期望; (2)根据 12 月 2 日至 4 日数据,求出发芽数 y 关于温差 x 的线性回归方程 = x+ .由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不 超过 2 颗, 则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问所得的线性回归方程是否 可靠?

附:参考公式: =

, = ﹣



20. (12 分)已知函数 f(x)=﹣ x3+x2﹣bx(b∈R) . (1)若? x>0,使得 f(x)≥bx2+x 成立,求实数 b 的最小值; (2)若 f(x)的三个零点 0,x1,x2 满足 1<x1<x2,l1,l2 分别是 y=f(x)在 x1, x2 处的切线,设 P(x0,y0)是 l1,l2 的交点,求 y0 的取值集合. 21. (12 分)已知 f(x)=ex﹣1+ln( +1) . (1)若函数 f(x)在(﹣1,0)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)若 a∈(0,1]且 x>0,证明:f(x)>2x.

请考生在 22、23 题中任选一题作答. 22. (10 分)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ.以极点为原点,极轴为 x 的 正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是: (t 为参数) .

(1)将曲线 C 的极坐标方程化成直角坐标方程,将直线 l 的参数方程化成普通 方程; (2)当 m=0 时,直线 l 与曲线 C 异于原点 O 的交点为 A,直线 ρ=﹣ 异于原点 O 的交点为 B,求三角形 AOB 的面积.
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与曲线 C

23.已知函数 f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[﹣1,1]. (1)求 m 的值; (2)若 a,b,c∈(0,+∞) ,且 + + =m,证明:a+2b+3c≥9.

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2018 年四川省德阳市高考数学一诊试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知集合 A={x|3x2﹣4x+1≤0},B= A. B. C. D. }, ,则 A∩B=( )

【解答】解:∵集合 A={x|3x2﹣4x+1≤0}={x| B= ∴A∩B={x| 故选:B. ={x|x },

}=[ ,1].

2. (5 分)若复数 z 满足 z(1﹣i)=|1﹣i|+i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的虚部 为( A. ) B. C. i D. i

【解答】解:∵复数 z 满足 z(1﹣i)=|1﹣i|+i(其中 i 为虚数单位) , ∴z= = . = + i.

则 z 的虚部为 故选:A.

3. (5 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+ ﹣f(x2)|=2 时,|x1﹣x2|min= A. B. C.π D.2π

) (ω>0)满足:? x1,x2∈R,当|f(x1) )

,那么 f(x)的最小正周期是(

【解答】解:根据正弦型函数 f(x)=sin(ωx+

)的图象与性质知, ,

对? x1,x2∈R,当|f(x1)﹣f(x2)|=2 时,|x1﹣x2|min=
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∴f(x)的最小正周期是 T=2× 故选:C.

=π.

4. (5 分)已知函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x) ,下列关于 f(x) ,f′(x)的描 述正确的是( )

A.若 f(x)为奇函数,则 f′(x)必为奇函数 B.若 f(x)为周期函数,则 f′(x)必为周期函数 C.若 f(x)不为周期函数,则 f′(x)必不为周期函数 D.若 f(x)为偶函数,则 f′(x)必为偶函数 【解答】解:对于 A:例如:f(x)=x3 为奇函数,则 f′(x)=3x2,为偶函数,故 A 错误, 对于 B:f(x)是可导函数,则 f(x+T)=f(x) ,两边对 x 求导得(x+T)′f'(x+T) =f'(x) , f'(x+T)=f'(x) ,周期为 T.故若 f(x)为周期函数,则 f′(x)必为周期函数.故 B 正确, 对于 C:例如:f(x)=sinx+x 不是周期函数,当 f′(x)=cosx+1 为周期函数,故 C 错误, 对于 D:例如:f(x)=x2 为偶函数,则 f′(x)=2x 为奇函数,故 D 错误, 故选:B.

5. (5 分)如图的平面图形由 16 个全部是边长为 1 且有一个内角为 60°的菱形组 成,那么图形中的向量 , 满足 ? =( )

A.1

B.2

C.4

D.6

【解答】解:如图,

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由题意可知, ∴ 则 ∴ ? = = 故选:D. . , ,

,且 =



的夹角为 60°, .

=

6. (5 分)榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式,凸出部分 叫榫,凹进部分叫卯,榫和卯咬合,起到连接作用,代表建筑有:北京的紫禁城、 天坛祈年殿、 山西悬空寺等, 如图所示是一种榫卯的三视图, 其表面积为 ( )

A.192 B.186 C.180 D.198 【解答】 解: 由三视图还原原几何体, 可知该几何体为组合体, 上部分为长方体, 棱长分别为 2、6、3,下部分为长方体.棱长分别为 6、6、3, 其表面积公式 S=4×6×3+2×6×6+(2+6)×2×2=192

故选:A.
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7. (5 分)执行如图所示的程序框图,若 m=4,则输出的结果为(



A.1

B.

C.2

D.

【解答】解:模拟执行程序框图,可得 p=4,k=0 不满足条件 k2≥3k+4,p=4,k=1 不满足条件 k2≥3k+4,p=8,k=2 不满足条件 k2≥3k+4,p=32,k=3 不满足条件 k2≥3k+4,p=256,k=4 满足条件 k2≥3k+4,退出循环,可得 z= 故选:D.

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8. (5 分)已知函数 f ( x )满足: f ( x+y ) =f ( x) f ( y )且 f ( 1 ) =1 ,那么 + A.1009 B.2018 + C.3027 +…+ D.4036 =( )

【解答】解:由意题 f(x+y)=f(x)f(y) ,且 f(1)=1,可得令 x=n,y=1, 可得 f(n+1)=f(n) ,可得 f(1)=f(2)=f(3)=…=f(n)=1, 那么: + + +…+

=f2(1)+f2(2)+…+f2(1009)+f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2018) =1009+1009=2018, 故选:B.

9. (5 分)在如图所示平面直角坐标系中,正方形 OABC 的边长为 1,曲线 m 是 函数 y=a(x﹣1)2+b 图象位于正方形内的部分,直线 AC 恰好是函数 y=a(x﹣1)
2

+b 在 x=0 处的切线,现从正方形内任取一点 P,那么点 P 取自阴影部分的概率 )

等于(

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A.

B.

C.

D.

【解答】解:∵正方形 OABC 的边长为 1,∴S 正方形 OABC=1, 由函数 y=a(x﹣1)2+b,得 y′=2a(x﹣1) , 则 y′|x=0=﹣2a=﹣1,得 a= . 又当 x=0 时,y=a+b=1,可得 b= , ∴曲线 m 的解析式为 y= (x﹣1)2+ , ∴阴影部分面积 S= ∴点 P 取自阴影部分的概率等于 . 故选:D. = .

10. (5 分)设点 P 为椭圆 C:

+

=1 上一点,F1、F2 分别是椭圆 C 的左、右 )

焦点, 且△PF1F2 的重心为点 G, 若|PF1|: |PF2|=3: 4, 那么△GPF1 的面积为 ( A.24 B.12 C.8 D.6 +

【解答】解:∵点 P 为椭圆 C : |PF1|+|PF2|=2a=14

=1 上一点, |PF1| : |PF2|=3 : 4 ,

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∴|PF1|=6,|PF2|=8,又∵F1F2=2c=10, ∴△PF1F2 是直角三角形,S ∵△PF1F2 的重心为点 G.∴S ∴△GPF1 的面积为 8, 故选:C = = , ,

11. (5 分) 用 min{a, b}表示实数 a, b 中的较小者, 已知向量 , , 满足| |=1, | |=2, ? =0, =λ +μ (λ2+μ2=1) ,则当 min{ ? , ? }取得最大值时,| |= ( A. ) B. C.1 D. +μ =λ,

【解答】解:∵ ? =(λ +μ )? =λ =(λ +μ )? =μ ∵λ2+μ2=1, ∴λ≥4μ 时, 不妨令 0≤λ,μ≤1 解得 0≤μ≤ , +λ =4μ,

∴min{ ? , ? }=



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设 f(μ)=



则 f(μ)在[0, ∴当 μ= 此时 = ∴| |2= ∴| |= 故选:A

]上递增,在[

,1]上递减,

,f(μ)取得最小值, + (16 , +8 ? + )=

12. (5 分)已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f2(x)﹣m|f(x)|﹣2m ) D. (﹣ ,0)

﹣3=0 有三个不同的实数解,则 m 的取值范围是( A. (﹣ ,0) B. (﹣ ,﹣ ] 【解答】解: , C. (﹣ ,﹣ )

可得 x∈(﹣∞,1)时,f′(x)>0,x∈(1,+∞)时,f′(x)<0, ∴f(x)在(﹣∞,1)递增,在(1,+∞)递减. 可知 y=|f(x)|大致图象如图所示,

设|f(x)|=t,则|f(x)|2﹣m|f(x)|﹣2m﹣3=0 有三个不同的实数解, 即为 t2﹣mt﹣2m﹣3=0 有两个根 t1,t2, ①若 t1=1,t2=0,时,t1+t2=m=1,t1?t2=﹣2m﹣3=0,不存在实数 m, ②若 t1=1,t2>1 时,当有一个根为 1 时,12﹣m﹣2m﹣3=0,m=﹣ ,
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代入 t2﹣mt﹣2m﹣3=0 另一根为﹣ ,不符合题意. ③t1∈(0,1) ,t2∈(﹣∞,0)时, 设 h(t)=t2﹣mt﹣2m﹣3 h(1)=12﹣m﹣2m﹣3>0,h(0)=﹣2m﹣3<0 ﹣ <m<﹣ , ∴m 的取值范围为(﹣ ,﹣ ) . 故选:C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知(1+x) (1+ay)5(a 为常数)的展开式中不含字母 x 的项的系 数和为 243,那么(1+x) (1+ay)5 展开式中 xy2 项的系数为 40 .

【解答】解: (1+x) (1+ay)5 展开式中不含字母 x 的项的系数和为 (1+a)5=243, 解得 a=2; ∴(1+x) (1+2y)5 展开式中 xy2 项的系数为 ?22=40. 故答案为:40.

14. (5 分)某学校分别从甲、乙两班各抽取 7 名同学在某次物理测试中的成绩 如茎叶图所示,其中抽取的甲班成绩的众数是 85,乙班成绩的中位数是 83,现 从成绩 82 分以上的同学中选取 3 名组成学习经验交流小组,那么选取的小组中 甲班同学多于乙班同学的方法数是 28 种. (用数字作答)

【解答】解:甲班学生成绩的众数是 85,乙班学生成绩的中位数是 83,
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解得 x=5,y=3, ∴甲班 82 分以上有 4 人,乙班 82 分以上有 4 人, 从这 8 位同学中选 3 名,共有 =56 种不同的取法,

选取的小组中甲班同学多于乙班同学的方法数 与乙班同学多于甲班同学的方法数相等, ∴所求的结果是 ×56=28. 故答案为:28.

15. (5 分)若平面区域

夹在两条平行直线之间,且这两条平行直线

间的最短距离是

,那么这两条平行直线的斜率是

k=2 或



【解答】解:作出平面区域

如图所示:

可行域是等腰三角形,平面区域

夹在两条平行直线之间的距离为:



可得可行域的 A(1,2) ,B(2,1) ,C(3,3) , |AB|= = , ,A 到 BC 的距离: , = ,

∴平行线间的距离的最小值为 d= B 到直线 AC 的距离: =

所求直线与 AC 或 BC 重合,可得:k=2 或 . 故答案为:k=2 或 .

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16. (5 分)若函数 f(x)﹣sin(x+φ)是偶函数,f(x)﹣cos(x+φ)是奇函数, 已知? x1∈(0,π) ,使得函数 f(x)在点 P(x1,f(x1) ) ,Q(x1+ 处的切线斜率互为倒数,那么点 P 的坐标为 ( ,±1) . ,f(x1+ ) )

【解答】解:函数 f(x)﹣sin(x+φ)是偶函数, 可得 f(﹣x)﹣sin(﹣x+φ)=f(x)﹣sin(x+φ) , 即有 f(﹣x)=f(x)﹣sinxcosφ﹣cosxsinφ﹣sinxcosφ+cosxsinφ=f(x)﹣2sinxcosφ, ① f(x)﹣cos(x+φ)是奇函数, 可得 f(﹣x)﹣cos(﹣x+φ)+f(x)﹣cos(x+φ)=0, f(﹣x)+f(x)﹣cosxcosφ﹣sinxsinφ﹣cosxcosφ+sinxsinφ=0, 即为 f(﹣x)+f(x)﹣2cosxcosφ=0,② 由①②可得 f(x)=(sinx+cosx)cosφ, 导数为 f′(x)=(cosx﹣sinx)cosφ, ? x1∈(0,π) ,使得函数 f(x) 在点 P(x1,f(x1) ) ,Q(x1+ 可得 f′(x1)?f′(x1+ )=1, )﹣sin(x1+ ) )cosφ=1, ,f(x1+ ) )处的切线斜率互为倒数,

可得(cosx1﹣sinx1)cosφ?(cos(x1+

即为(cosx1﹣sinx1) (﹣sinx1﹣cosx1)cos2φ=1, 即为(sin2x1﹣cos2x1)cos2φ=1,
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即有﹣cos2x1?cos2φ=1, 可得 cos2φ=1,cos2x1=﹣1, x1∈(0,π) ,可得 x1= ,

即有 f(x1)=(1+0)?cosφ=±1, 即 P( ,±1) . ,±1) .

故答案为: (

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分) 17. (12 分)已知{an}是等差数列,且 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20, 且{bn﹣an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若数列{ }的前 n 项和 Sn,证明: ≤Sn< .

【解答】解: (1){an}是公差为 d 的等差数列,且 a1=3,a4=12, 可得 3+3d=12,解得 d=3, 则 an=3+3(n﹣1)=3n; 数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列, 可得 b1﹣a1=1,b4﹣a4=8,且 q3=8,解得 q=2, 则{bn﹣an}的首项为 1,公比 q 为 2, 则 bn﹣an=2n﹣1, 可得 bn=3n+2n﹣1; (2)证明: =

= = ﹣ , ﹣

=





则前 n 项和 Sn=(

)+(



)+…+(





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=



= ﹣

< , 递增,

由 3n+3+2n 递增,可得﹣ 即有 Sn≥S1= ﹣ = , 则: ≤Sn< .

18. (12 分)已知△ABC 中,∠B=60°,点 D 在 BC 边上,且 AC=2 (1)若 CD= ,AD=2,求 AB;



(2)求△ABC 的周长的取值范围. 【解答】解: (1)△ABC 中,∠B=60°,点 D 在 BC 边上,且 AC=2 AD=2, 则: 所以: = = , . .CD= ,

在△ABC 中,利用正弦定理: , 解得: = , = = , ,

(2)△ABC 中,利用正弦定理得: 所以: ,

由于:0<A<120°, 则:l△ABC= =2 = 由于:0<A<120°, 则:30°<A+30°<150°, 得到: 所以△ABC 的周长的范围是:
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= , ,



+



19. (12 分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间 进行分析研究, 他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室 每天每 100 棵种子中的发芽数,得到如下资料: 日期 温差 x/摄氏 度 发芽 y/颗 23 25 30 26 16 12 月 1 日 10 12 月 2 日 11 12 月 3 日 13 12 月 4 日 12 12 月 5 日 8

该农科所确定的研究方案是:先从这 5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方程, 再用剩下的 2 组数据进行检验. (1) 若选取的 3 组数据恰好是连续 ξ 天的数据 (ξ=0 表示数据来自互不相邻的三 天) ,求 ξ 的分布列及期望; (2)根据 12 月 2 日至 4 日数据,求出发芽数 y 关于温差 x 的线性回归方程 = x+ .由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不 超过 2 颗, 则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问所得的线性回归方程是否 可靠?

附:参考公式: =

, = ﹣



【解答】解: (1)由题意知,ξ=0,2,3; 则 P(ξ=0)= = ,P(ξ=3)= = , ,

∴P(ξ=2)=1﹣P(ξ=0)﹣P(ξ=3)= ∴ξ 的分布列为: ξ P 数学期望为 Eξ=0× +2× +3× 0

2

3

=2.1;

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(2)由题意,计算 = ×(11+13+12)=12, = ×(25+30+26)=27, (xi﹣ ) (yi﹣ )=﹣1×(﹣2)+1×3+0×(﹣1)=5,

=(﹣1)2+12+02=2,

∴ =

= ,

= ﹣

=27﹣ ×12=﹣3,

∴y 关于 x 的线性回归方程为 = x﹣3; 当 x=10 时,y= ×10﹣3=22,且|22﹣23|<2, 当 x=8 时,y= ×8﹣3=17,且|17﹣16|<2; ∴所求得线性回归方程是可靠的.

20. (12 分)已知函数 f(x)=﹣ x3+x2﹣bx(b∈R) . (1)若? x>0,使得 f(x)≥bx2+x 成立,求实数 b 的最小值; (2)若 f(x)的三个零点 0,x1,x2 满足 1<x1<x2,l1,l2 分别是 y=f(x)在 x1, x2 处的切线,设 P(x0,y0)是 l1,l2 的交点,求 y0 的取值集合. 【解答】解: (1)? x>0,使得 f(x)≥bx2+x 成立, f(x)≥bx2+x?﹣ x3+x2﹣bx≥bx2+x,?b(x+1)≤ x2+x﹣1.

∴b≤

(x>0) .

令 t=x+1>1.∴b≤ ∵t>1,t+ =2

= ﹣ ,当且仅当 t=

(t>1) . 时取等号.

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∴b≤

=

. .

∴b 的最大值为:

(2)由 f(x)=﹣ x(x2﹣3x+3b)=0,可得 x1,x2 是方程 x2﹣3x+3b=0 的两个 实数根,且 1<x1<x2, ∴ ,且 3b﹣2>0,解得 b∈ .

f′(x)=﹣x2+2x﹣b. ∴l1:y= 联立解得 y0= =﹣(3x1﹣3b﹣2x1+b) (3x2﹣3b﹣2x2+b) =﹣(x1﹣2b) (x2﹣2b) =﹣[x1x2﹣2b(x1+x2)+4b2] =﹣(3b﹣6b+4b2) =﹣4b2+3b=﹣4 ∴y0∈ . . + ,b∈ . (x﹣x1) ,l2:y=﹣(﹣ +2x2﹣b) (x﹣x2) . =﹣ ( +b) .

∴y0 的取值集合是

21. (12 分)已知 f(x)=ex﹣1+ln( +1) . (1)若函数 f(x)在(﹣1,0)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)若 a∈(0,1]且 x>0,证明:f(x)>2x. 【解答】解: (1)由 +1>0 在(﹣1,0)上恒成立. 当 a>0 时,x>﹣a,∴﹣a≤﹣1,可得 a≥1. 当 a<0 时,x<﹣a,∴﹣a>0,可得 a<0. 故 a∈(﹣∞,0)∪[1,+∞) . 当 a≥1 时,可得 f(x)在(﹣1,0)上单调递增.
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当 a<0 时, f′(x)=ex+ ≥0 在(﹣1,0)上恒成立,此时 x+a<0.

故 ex(x+a)+1≤0,?a≤﹣e﹣x﹣x=g(x) ,x∈(﹣1,0) , ∵g′(x)=e﹣x﹣1= >0,∴a≤g(﹣1)=1﹣e.

综上可得:f(x)在(﹣1,0)上单调递增,实数 a 的取值范围是(﹣∞,1﹣ e]∪[1,+∞) . (2)证明:a∈(0,1]且 x>0,f(x)>2x?ex﹣1+ln ∵ x+1,故只要证明:x>0,ex﹣1+ln(x+1)>2x. >2x.

令 h(x)=ex﹣1+ln(x+1)﹣2x(x>0) . h′(x)=ex+ h″(x)=ex﹣ ﹣2, ,即 h′(x)在(0,+∞)上单调递增,h′(x)>h′(0)=0.

∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,h(x)>h(0)=0. 故 a∈(0,1]且 x>0 时,f(x)>2x.

请考生在 22、23 题中任选一题作答. 22. (10 分)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ.以极点为原点,极轴为 x 的 正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是: (t 为参数) .

(1)将曲线 C 的极坐标方程化成直角坐标方程,将直线 l 的参数方程化成普通 方程; (2)当 m=0 时,直线 l 与曲线 C 异于原点 O 的交点为 A,直线 ρ=﹣ 异于原点 O 的交点为 B,求三角形 AOB 的面积. 【解答】解: (1)线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ. 转化为直角坐标方程为:x2+y2=4x 与曲线 C

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直线的参数方程



转化为直角坐标方程为:y=x﹣m. (2)当 m=0 时, 求得:A(2 所以: , ) ,B(2,﹣ ) , = .

23.已知函数 f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[﹣1,1]. (1)求 m 的值; (2)若 a,b,c∈(0,+∞) ,且 + + =m,证明:a+2b+3c≥9.

【解答】解: (1)函数 f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[﹣ 1,1], 可得 m﹣|x|≥0 的解集为[﹣1,1],即有[﹣m,m}={﹣1,1], 可得 m=1; (2)证明:a,b,c∈(0,+∞) ,且 + 则 a+2b+3c=(a+2b+3c) ( + =3+( ≥3+2 =3+2+2+2=9, 当且仅当 a=2b=3c=3,取得等号. + )+( +2 + )+( +2 + + ) ) + =1,

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