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21.3 实际问题与一元二次方程(4)(第15课时)

21.3

实际问题与一元二次方程(4)
(第 15 课时)

教学内容 运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题. 教学目标 掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题. 通过复习速度、时间、路程三者的关系,提出问题,用这个知识解决问题. 重难点关键 1.重点:通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题. 2.难点与关键:建模. 教学过程 一、复习引入 (老师口问,学生口答)路程、速度和时间三者的关系是什么? 二、探究新知 我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的 “路程=速度×时间” 来建立一元二次方 程的数学模型,并且解决一些实际问题. 请思考下面的二道例题. 例 1.某辆汽车在公路上行驶,它行驶的路程 s(m)和时间 t(s)?之间的关系为: ? s=10t+3t2,那么行驶 200m 需要多长时间? 分析:这是一个加速运运,根据已知的路程求时间,因此,只要把 s=200?代入求关系 t 的一元二次方程即可. 解:当 s=200 时,3t2+10t=200,3t2+10t-200=0 解得 t=

20 (s) 3
20 s. 3

答:行驶 200m 需

例 2.一辆汽车以 20m/s 的速度行驶,司机发现前方路面有情况,?紧急刹车后汽车又 滑行 25m 后停车. (1)从刹车到停车用了多少时间? (2)?从刹车到停车平均每秒车速减少多少? (3)刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间(精确到 0.1s)? 分析: (1)刚刹车时时速还是 20m/s,以后逐渐减少,停车时时速为 0.?因为刹车以后, 其速度的减少都是受摩擦力而造成的,所以可以理解是匀速的,因此,其平均速度为

20 ? 0 =10m/s,那么根据:路程=速度×时间,便可求出所求的时间. 2
(2)很明显,刚要刹车时车速为 20m/s,停车车速为 0,车速减少值为 20-0=20,因为 车速减少值 20,是在从刹车到停车所用的时间内完成的,所以 20 除以从刹车到停车的时间 即可. (3)设刹车后汽车滑行到 15m 时约用除以 xs.?由于平均每秒减少车速已从上题求出, 所以便可求出滑行到 15 米的车速,从而可求出刹车到滑行到 15m 的平均速度,再根据:路 程=速度×时间,便可求出 x 的值. 解: (1) 从刹车到停车所用的路程是 25m; 从刹车到停车的平均车速是

20 ? 0 =10 (m/s) 2

那么从刹车到停车所用的时间是

25 =2.5(s) 10
20 =8(m/s) 2.5

(2)从刹车到停车车速的减少值是 20-0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是

(3)设刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 xs,这时车速为(20-8x)m/s 则这段路程内的平均车速为 所以 x(20-4x)=15 整理得:4x2-20x+15=0 解方程:得 x=

20 ? (20 ? 8 x) =(20-4x)m/s 2

5 ? 10 2

x1≈4.08(不合,舍去) ,x2≈0.9(s) 答:刹车后汽车行驶到 15m 时约用 0.9s. 三、巩固练习 (1)同上题,求刹车后汽车行驶 10m 时约用了多少时间. (精确到 0.1s) (2)刹车后汽车行驶到 20m 时约用了多少时间. (精确到 0.1s) 四、应用拓展 例 3.如图,某海军基地位于 A 处,在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B,?在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C,小岛 D 位于 AC 的中点,岛上有一补给码头:?小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向,一艘军舰从 A 出发,经 B 到 C 匀速巡航,一般 补给船同时从 D 出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. (1)小岛 D 和小岛 F 相距多少海里? (2)已知军舰的速度是补给船的 2 倍,军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处,? 那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到 0.1 海里)

A D

B E F C www.czsx.com.cn
分析: (1)因为依题意可知△ABC 是等腰直角三角形,△DFC 也是等腰直角三角形,AC 可求,CD 就可求,因此由勾股定理便可求 DF 的长. (2)要求补给船航行的距离就是求 DE 的长度,DF 已求,因此,只要在 Rt△DEF 中, 由勾股定理即可求. 解: (1)连结 DF,则 DF⊥BC ∵AB⊥BC,AB=BC=200 海里. ∴AC= 2 AB=200 2 海里,∠C=45°

∴CD=

1 AC=100 2 海里 2

DF=CF, 2 DF=CD

∴DF=CF=

2 2 CD= ×100 2 =100(海里) 2 2

所以,小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里. (2)设相遇时补给船航行了 x 海里,那么 DE=x 海里,AB+BE=2x 海里, EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里 在 Rt△DEF 中,根据勾股定理可得方程 x2=1002+(300-2x)2 整理,得 3x2-1200x+100000=0 解这个方程,得:x1=200-

100 6 ≈118.4 3

x2=200+

100 6 (不合题意,舍去) 3

所以,相遇时补给船大约航行了 118.4 海里. 五、归纳小结 本节课应掌握: 运用路程=速度×时间,建立一元二次方程的数学模型,并解决一些实际问题. 六、布置作业 1.课堂:教材 P49 页 习题 21.3 (9) ;教材 P54 页 2.家庭:数学作业本。

复习题 21 (21).


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