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关于抛物线焦点弦的弦长公式补充


关于抛物线焦点弦的弦长公式补充
高县中学 吴伦红 在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦, 求焦点弦的弦长的问题, 其中只介绍 了开口向右时的焦点弦的长度计算问题: (1)已知:抛物线的方程为

y

2

? 2 px ( p ? 0) ,过焦点 F 的弦 AB 交抛物线于 A B 两点,

且弦 AB 的倾斜角为 ? ,求弦 AB 的长。 解:由题意可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?

p ? ) (? ? ) 将其代入抛物线方程整理得: 2 2

4k

2

x

2

? (4 p k ? 8 p) x ?
2

pk
1

2

2

? 0 ,且 k ? tan ?
则:

设 A,B 两点的坐标为 (

x1 , y ), ( x2 , y )
2
2

x ?x
1

2

p ? 2p , ? k 2 x1 x2 ?
2

p
4

2

k

| AB |? 1 ? k

2

( x1? x 2)

? 4 x1 x2 ?

2p

(sin ? )

2

当? ?

?
2

时,斜率不存在, sin ? ? 1 ,|AB|=2p.即为通径

而如果抛物线的焦点位置发生变化, 则以上弦长公式成立吗?这只能代表开口向右时的 弦长计算公式,其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。 (2)已知:抛物线的方程为

x

2

? 2 py ( p ? 0) ,过焦点的弦 AB 交抛物线于 A,B 两点,

直线 AB 倾斜角为 ? ,求弦 AB 的长。 解:设 A,B 的坐标为 ( 故 AB 的方程为 y ?

x , y ), ( x , y ) ,斜率为 k (k ? tan? ) ,而焦点坐标为 (0, 2 ) ,
1 1 2 2

p

p ? kx ,将其代入抛物线的方程整理得: 2
2

x

2

? 2 pkx ?

p

? 0, 从而 x1 ? x2 ? 2 pk, x1 x2 ? ?

p,
2p
2

2

弦长为: | AB |? 1 ?

k ( x1? x 2)
2

2

? 4 x1 x2 ?

(cos? )

? ? 0, cos? ? 1, | AB |? 2 p ,即为通径。


y

2

? ?2 px 与(1)的结果一样, x ? ?2 py 与(2)的结果一样,但是(1)与(2)
2

的两种表达式不一样,为了统一这两种不同的表达式,只须作很小的改动即可。现将改动陈 述于下: (3)已知:抛物线的方程为

y

2

? 2 px ( p ? 0) ,过焦点 F 的弦 AB 交抛物线于 A ,B

两点,且弦 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 ? ,求弦 AB 的长。

解: 由题意可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?

p ? ) (? ? ) 将其代入抛物线方程整理得: 2 2

4k
若倾斜角 ? ? 若倾斜角 ? ?

2

x

2

? (4 p k ? 8 p) x ?
2

pk

2

2

?0 ,

?

?

2

,则 ? ? ? , k ? tan? ? tan? ;

2

, 则 ? ? ? ? ? , k ? tan? ? tan( ? ? ) 。 ?

设 A,B 两点的坐标为 ( 则:

x , y ), ( x , y )
1 1 2 2

x ?x
1

2

p ? 2p , ? k 2 x1 x2 ?
2

p
4

2

k

| AB |? ? ?

1?

k

2

( x1? x 2)
2

2

?4

x x
1 2 4

2

1 ? ( tan

?)

( p k 2 ? 2 p) k

?

p k

2

4

(sin ? )

2p

2

而 sin ? ? sin ? , sin(? ? ? ) ? sin ? ,故 | AB |?

2p

(sin ? )

2



当? ? 而

?
2

时, sin ? ? 1 ,|AB|=2p.即为通径。

y

2

? ?2 px 与(3)的结果一样

同理: (4)已知:抛物线的方程为

x
2

2

? 2 py ( p ? 0) ,过焦点的弦 AB 交抛物线于 A,B

两点,直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 ? ,求弦 AB 的长。 解:设 A,B 的坐标为 (

x , y ), ( x , y ) ,若倾斜角为 ? ,斜率为 k,
1 1 2

则 k ? tan ? ,而焦点坐标为 (0, 故 AB 的方程为 y ?

p ), 2

p ? kx ,将其代入抛物线的方程整理得: 2

x

2

? 2 pkx ?

p

2

? 0, 从而 x1 ? x2 ? 2 pk, x1 x2 ? ?

p,
2p
2

2

弦长为: | AB |? 1 ?

k ( x1? x 2)
2

2

? 4 x1 x2 ?

(cos ? )

当倾斜角 ? ?

?
2

,则 ? ?

?
2

? ? , cos ? ? cos(

?
2

? ? ) ? sin ? ;

当倾斜角 ? ? 所以 | AB |?

?
2

, 则? ?

?
2

? ? , cos ? ? cos(

?
2

? ? ) ? ? sin ?

2p

(sin ? )

2

恒成立。

当? ? 而

?
2

时, sin ? ? 1 ,|AB|=2p.即为通径。

x

2

? ?2 py 与(4)的结果一样。

故只要直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 ? ,那么不论抛物线的开口向上,向下,向 左还是向右,过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示,即 | AB |?

2p

(sin ? )

2

。这个公式

包含了抛物线的四种开口形式,没有了因为开口不同而导致的公式不同,便于记忆,便于应 用,是一个很好的弦长公式,这里推荐给大家使用。


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