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3.1不等关系与不等式课件(苏教版必修5)


不等关系与不等式

一、问题情境
现实世界和日常生活中,既有相等关系, 又存在着大量的不等关系,如: 1、今天的天气预报说:明天早晨最低温度为 7℃,明天白天的最高温度为13℃;

7℃≤t≤13℃
2、三角形ABC的两边之和大于第三边;

AB+AC>BC或…… 3、a是一个非负实数。 a≥0
在数学中,我们怎样来表示这些不等关系?

4、右图是限速40km/h的路标,指 示司机在前方路段行驶时,应使汽 车的速度v不超过40km/h ,写成不 等式是:_________ v≤40

40

5、某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂 肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应 不少于2.3%,用不等式可以表示为:( )

A.f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3% B.f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%

? f ? 2 .5 % C. ? ? p ? 2 .3 %

练习:用不等式表示下面的不等关系:
1、a与b的和是非负数; 2、某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高 4m”

想一想,你还能举出哪 些相似的例子?

二、用不等式来解决生活中的不等关系问题:

例1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售, 可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高 0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提 价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示 销售的总收入仍不低于20万元呢? 分析:若杂志的定价为x元,则销售量减少: 用不等式表示为: x ? 2.5 (8 ? ? 0.2)x万元 x ? 2.5 0.1 (8 ? ? 0.2)x ? 20
0.1

x ? 2.5 ? 0.2万本 0.1

因此,销售总收入为:

变式:

如果设杂志的单价提高了0.1n元(n∈N*),如 何用不等式表示销售的总收入仍不低于20万 元呢?你能计算出n在哪个范围内变化吗?
分析:销售量减少了0.2n万本,单价为 (2.5+0.1n)元,则可得到销售的总以收入为 不低于20万元的不等式可表示为: (2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20

例2、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求, 600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。 怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢? 分析:假设截得500mm的钢管x根,截得600mm 的钢管y根。根据题意,应当有什么样的不等 关系呢? (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm; (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢 管数量的3倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负。

上面三个不等关系,是“且”的关系,要同 时满足的话,可以用下面的不等式组来表示:

?500x ? 600y ? 4000 ? 3x ? y ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ? x,y∈N ? ?
考虑到实际问题的意义,还应有x,y∈N

练习1:若需在长为4000mm圆钢上,截出长为 698mm和518mm的两种毛坯,问怎样写出满足 上述所有不等关系的不等式组? 分析: 设698mm与 518mm分别x与 y个

?698x ? 518y ? 4000 ?x ? 0 ? ? y?0 ? ? x, y ? N ?

练习2 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥 料,生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷 酸盐4吨、硝酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料 需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。 现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨,在此基 础上进行生产。请用不等式组把此实例中的 不等关系表示出来。 分析:设分别生产 甲.乙两种肥料为 x吨,y吨

?4x ? y ? 10 ?18x ? 15y ? 66 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

练习3某年夏天,我国遭受特大洪灾,灾区学 生小李家中经济发生困难,为帮助小李解决 开学费用问题,小李所在班级学生(小李除 外)决定承担这笔费用。若每人承担12元人 民币,则多余84元;若每人承担10元,则不 够;若每人承担11元,又多出40元以上。问 该班共有多少人?这笔开学费用共多少元?

?12x ? y ? 84 分析:设该班除小 ? ?10x ? y 李外共有x人,这 ? 笔开学费用共y元, 11x ? y ? 40 ? 则: ?x ? N * ?

练习4、制定投资计划时,不仅要考虑可能获 得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损。某 投资人打算投资甲、乙两个项目。根据预测, 甲乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%。 投资人计划投资金额不超过10万元,要求确 保可能的资金亏损不超过1.8万元。请用不等 式或不等式组表示些实例中的不等关系。
分析:设分别投资 甲.乙两项目为x 万元,y万元.
???? x ? 1?? y ? 1.8 ? x ? y ? 10 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

练习5:将下列问题转化为数学模型(不求解)

?1?某博物馆的门票每位 10 元 ,20 人以上 ?含 20人 ?的团体

问题?1?中, 设 x 人?x ? 20?买20人的团体票不比普通票 , 贵

票 8 折优惠 .那么不足 20 人时, 应该选择怎样的购票策 略 ?

则有8 ? 20 ? 10x . (2)某人为自己制定月支出计划中,规定手机费不

超过150元,他所选用的中国电信卡的收费标准为:
月租费 中国电信卡 30元 每分钟通话费 0.40元

求这个人月通话时间的取值范围。 解:30+0.4x≤150. 解得x≤300.

?3?下表给出了 X , Y , Z 三种食物的维生素含量 及成本 :
维生素 A ?单位 / kg ? X Y Z 300 500 300 维生素 B ?单位 / kg ? 700 100 300 成 本 ?元 / kg ? 5 4 3

某人欲将这三种食物混 合成 100kg 的食品, 要使混合 食品中至少含 35000 单位的维生素 A 及 40000 单位的
维生素 B, 设 X , Y 这两种食物各取 x kg , y kg , 那么 x, y 应
满足怎样的关系?

问题 ?3?中,因为食物 X , Y 分别为 x kg , y kg , 故食物 Z 为

?100 ? x ? y? kg , 则有 300 x ? 500 y ? 300?100 ? x ? y ? ? 35000 , 700 x ? 100 y ? 300?100 ? x ? y ? ? 40000 ,

y ? 25 , 即 2 x ? y ? 50 .

三、小结
? 本节课我们巩固了初中所学的二元一次 不等式及二元一次不等式组,并且用它 来解决现实生活中存在的大量不等关系 的实际问题。 ? 用不等式或不等式组表示实际问题中的 不等关系时,思维要严密、规范。

四、布置作业
? 书本P68, 练习中的第1,2,3题 ? 预习P69,一元二次不等式


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