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高中数学概率知识点总结和典例


事件与概率
(一)基础知识梳理:
1.事件的概念: (1)事件:在一次试验中出现的试验结果,叫做事件。一般用大写字母A,B,C,? 表示。 (2)必然事件:在一定条件下,一定会发生的事件。 (3)不可能事件:在一定条件下,一定不会发生的事件 (4)确定事件:必然事件和不可能事件统称为确定事件。 (5)随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件。 2.随机事件的概率: (1)频数与频率:在相同的条件下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试 n 验中事件A出现的次数 n A 为事件A出现的频数,称事件A出现的比例 f n ( A) ? A 为事件A n 出现的频率。 (2)概率:在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率会在某个 常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性。我们把这个常数叫做随机事件A的 概率,记作 P ( A) 。 3.概率的性质:必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0 ,随机事件的概率为 0 ? P( A) ? 1,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 4.事件的和的意义: 事件A、B的和记作A+B,表示事件A和事件B至少有一个发生。 5.互斥事件: 在随机试验中,把一次试验下不能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 当A、B为互斥事件时,事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成 的, 因此当A和B互斥时, 事件A+B的概率满足加法公式: P(A+B)=P(A)+P(B) (A、 B互斥) . 一般地:如果事件 A1 , A2 , , An 中的任何两个都是互斥的,那么就说事件 A1 , A2 , , An 彼 此 互 斥 如 果 事 件 A1 , A2 , , An 彼 此 互 斥 , 那 么 P( A1 ? A2 ? ? An ) =
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P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? P( An ) 。 6.对立事件: 事件A和事件 B 必有一个发生的互斥事件. A、B 对立,即事件 A、B 不可能同时发生,但 A 、 B 中必然有一个发生 这时 P(A+B)=P(A)+P(B) = 1 即 P(A+ A )=P(A)+P( A )=1 当计算事件 A 的概率 P(A)比较困难时,有时计算它的对立事件 A 的概率则要容 易些,为此有 P(A)=1-P( A )
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7. 事件与集合:从集合角度来看,A、B 两个事件互斥,则表示 A、B 这两个事件所含结 果组成的集合的交集是空集. 事件 A 的对立事件 A 所含结果的集合正是全集 U 中由事件 A 所含结果组成集合的补集,即 A∪ A =U,A∩ A = ? 对立事件一定是互斥事件,但互斥 事件不一定是对立事件
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(二)典型例题分析:
例1.将一枚均匀的硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( ) A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定 例2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A.至少有1个白球,都是白球 B.至少有1个白球,至少有1个红球 C.恰有1个白球,恰有2个白球 D.至少有1个白球,都是红球 例3.甲、乙两名围棋选手在一次比赛中对局,分析甲胜的概率比乙胜的概率高5%,和
1

棋的概率为59%,则乙胜的概率为_____________. 例4.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取1张,那么抽到红心(事件A)的概 率为________,取到方片(事件B)的概率是 _______.取到红色牌(事件C)的概率是 _______,取到黑色牌(事件D)的概率是________.

(三)基础训练:
1.下列说法正确的是 ( ) A.任一事件的概率总在(0,1)内 B.不可能事件概率不一定为0 C.必然事件的概率一定是1 D.以上均不对 2.某地气象局预报说:明天本地降雨概率为80%,则下面解释正确的是( ) A.明天本地有80%的区域下雨,20%的区域不下雨 B.明天本地下雨的机会是80% C.明天本地有80%的时间下雨,20%的时间不下雨 D.以上说法均不正确 3.下面事件: ①若a、b∈R,则a·b=b·a; ②某人买彩票中奖; ③6+3>10; ④抛一枚硬币出现正面向上. 其中必然事件有 ( ) A.① B.② C.③④ D.①② 4.盒中有9个小球,分别标有1,2,3,?,9,从中任取一球,则此球的号码为偶数的 概率是_______. 5.箱子中有2000个灯泡,随机选择100个灯泡进行测试,发现10个是坏的,预计整箱中有 ________个 坏灯泡。 6.对某电冰箱厂生产的电冰箱进行抽样检测数据如下表所示: 抽取台数 50 100 200 300 500 1000 优等品数 46 92 192 285 479 950 则估计该厂生产的电冰箱优等品的概率为 7.把红、黑、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得 1 张,事件 “甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( ) (A)对立事件 (B)不可能事件 (C)互斥但不对立事件 (D)以上答案都不对 8.从 1,2,?,9 中任取 2 个数,其中 ①恰有 1 个是偶数和恰有 1 个是奇数;②至少有 1 个是奇数和 2 个都是奇数;③至少有 1 个是奇数和 2 个都是偶数;④至少有 1 个是奇数和至少有 1 个是偶数. 上述事件中,是对立事件的是( ) (A)① (B)②④ (C)③ (D)①③ 9.一个袋子中有 5 个大小相同的球,其中有 3 个黑球与 2 个红球,如果从中任取两个球, 则恰好取到两个同色球的概率是( ) (A) (B) (C) (D)

10.掷一个骰子的试验,事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”,事件 B 表示“小于 5 的点 数出现”,则一次试验中,事件 A+ 发生的概率为( (A) (B) (C) (D) )

(四)巩固练习:
1.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机的分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得1张,事 件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( ) A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥但不对立事件 D.以上答案都不对 2.下列四个命题中错误命题的个数是( )
2

(1)对立事件一定是互斥事件 (2)若A,B是互斥事件,则P(A)+P(B)<1 (3)若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1 (4)事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件 A.0 B.1 C.2 D.3 3.抛掷一枚质地均匀的骰子,事件A表示“所得点数是1、2”,事件B表示“所得点数 大于4”,则P(A+B)=____________. 4.某射手射击1次射中10环,9环,8环,7环的概率分别是0.24,0.28,0.19,0.16,则 这名射手射击1次,射中10环或9环的概率为________,至多射中6环的概率__________. 5.在10件产品中有8件1级品,2件2级品,从中任取3件,记“3件都是1级品”为事件A, 则A的对立事件是_____________________________________ . 6.袋中有12个小球,分别为红球,黑球、黄球、绿球,从中任取1球,得到红球的概率 1 5 是 ,得到黑球或黄球的概率是 ,则得到绿球的概率是__________. 3 12

第02讲
(一)基础知识梳理:

古典概型

1.基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果,称为一个基本事件 基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件。基本事件有以下两个特点: (1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本 事件的和。 2.等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果都是等可能 的,这种事件叫等可能性事件 3.古典概型:具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型。 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等。 4.古典概型的概率计算公式: 对于古典概型,若试验的所有基本事件数为n,随机事 m 件A包含的基本事件数为m,那么事件A的概率定义为 P ( A) ? 。 n

(二)典型例题分析:
例1.单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确 答案。如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做,他 随机地选择一个答案,问他答对的概率是_________. 例2.在6瓶饮料中,有2瓶已过了保质期。从中任取2瓶,取到已过保质期的饮料的概率 是_______. 例3. 将一枚质地均匀的硬币连掷三次,观察落地后的情形 (1)写出这个试验的所有的基本事件; (2)“出现一枚正面朝上,两枚反面朝上”这一事件包含了哪几个基本事件? (3)求事件“出现一枚正面朝上,两枚反面朝上”的概率。 例4.每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6) (I)连续抛掷2次,求向上的数不同的概率; (II)连续抛掷2次,求向上的数之和为6的概率;

(三)基础训练:
1.下列试验中,是古典概型的是( A.种下一粒种子观察它是否发芽 )

B.从规格直径为(250 0.6)mm 的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径 d C.抛一枚硬币,观察其出现正面或反面 D.某人射击中靶或不中靶
3

?

2.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为( 1 1 2 A. B. C. D.1 2 3 3
2



3.某学生通过计算初级水平测试的概率为 1 ,他连续测试两次,则恰有 1 次获得通过的概 率为____. 4.甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)。则平局的概率为 ________,甲赢的概 率为_________。 5. 一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5个小球,随即的选取两个小球,根据下列条件 求两个小球上的数字之和为偶数的概率。 (1)小球的选取是无放回的; (2)小球的选取是有放回的。

6.现有一批产品共有6件, 其中5件为正品, 1件为次品. (1) 如果从中取出1件, 然后放回, 再取1件, 求连续2次取出的都是正品的概率; (2) 如果从中一次取2件, 求2件都是正品的概率.

7.袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个,从中任取1个,有放回地抽取3次。求: (1)3次全是红球的概率 (2)3次颜色全相同的概率 (3)3次颜色不全相同的概 率

(四)巩固练习: 1.袋中有5个球,其中3个红球,2个白球,现每次取一个,无放回地抽取两次,则第二 次取到红球的概率是( ) 3 3 1 3 A. B. C. D. 5 4 2 10 2.在一次数学测验中,某同学有两个单选题(即四个答案选一个)不会做,他随意选 了两个答案,则这两道单选题都答对的概率为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 8 16 3.甲, 乙两人随意入住2间空房, 则甲乙两人各住1间房的概率是( ) 1 1 1 A. B. C. D.无法确定 3 4 2 4. 4本不同的语文书, 3本不同的数学书, 从中任意取出2本,能取出数学书的概率是 ________. 5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标,则点P(m,n)落在圆 x 2 ? y 2 ? 16 内的概率是_______________. 6.高一(1)班数学兴趣小组有男生和女生各3名,现从中任选2名学生去参加数学竞赛, 则恰有一名参赛学生是男生的概率是________;至少有一名参赛学生是男生的概率是 ________。 7.有A,B两个口袋,A袋中有6张卡片,其中1张写有0;2张写有1;3张写有2;B袋中有 5张卡片,其中2张写有0;1张写有1;2张写有2.。从A,B两个袋中各取1张卡片,求:
4

(1)取出的2张卡片都写有0的概率;

(2)取出的2张卡片数字之和为2的概率。

第03讲
(一)基础知识梳理:

随机数与几何概型

1. 几何概型的概念:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比,则 称这样的概率模型为几何概型。 2. 几何概型试验的两个基本特征:(1)无限性:指在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; (2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性。 3. 几何概型事件的概率计算公式:

P( A) ?

构成事件A的区域长度(面积或体 积) 实验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(二)典型例题分析:
例 1. 如图,在墙上挂着一块边长为 16cm 的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心 圆,半径分别为 2cm,4cm,6cm,某人在在 3m 外向此板投镖,设投镖击中线上或没有投 中木板时都不算,可重投,问: (1)投中小圆内的概率是多少? (2)投中大圆与中圆形成的圆环的概率是多少? (3)投中大圆之外的概率是多少?

例 2.在游乐场,有一种游戏是向一个画满均匀方格的大桌面上投 硬币,若硬币刚巧落在任何一个方格的范围内不与方格线重叠) , 便可获奖。如果硬币的直径为 2cm, 而方格的边长为 5cm,随机投掷一个硬币,获奖的概率有多大?

(三)基础训练: 1.在 500mL 的水中有一个草履虫, 现从中随机取出 2mL 水样放到显微镜下观察, 则发 现草履虫的概率是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定 2. 有一半径为 4 的圆, 现将一枚直径为 2 的硬币投向其中(硬币与圆面有公共点就算是 有效试验,硬币完全落在圆外的不计),则硬币完全落入圆内的概率为( )
5

4 9 4 9 B. C. D. 9 16 25 25 3.一轮船停靠在某港口, 只有在该港口涨潮时才能出港, 已知该港口每天涨潮的时间 是早晨 5:00 到 7:00 和下午 5:00 到 7:00, 则该船在一昼夜内可以出港的概率 为 . 4.一海豚在水池中自由游弋, 水池是半径为 20m 的圆,海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率 是______. 5.取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆如图所示,随机向正方形内丢一粒豆子,则豆 子落入圆内概率是______________。 6.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时,假定它们在一昼夜的时间段中 随机到达,试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。

A.

(三)巩固练习: 1. 如下图, 设 M 是半径为 R 的圆周上一定点, 在圆周上等可能地任 取一点 N, 连接 MN, 则弦 MN 的长超过 2 R 的概率为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 5 4 3 2 2. 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,他 等待的时间不多于 10 分钟的概率是_________ 。 3.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M, 并以线段 AM 为边作正方形, 试求正方形面积介 2 2 于 36cm 到 81 cm 之间的概率是_____________。 4.如图所示,取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段绳子 的长度都不小于 1m 的概率是___________. 3cm 1 5. 在△ABC 内任取一点 P,求△ABP 与△ABC 的面积之比大于 时的概率为 2 6.设 AB=6,在线段 AB 上任取两点(端点 A,B 除外) ,将线段 AB 分成三条线段, (1)若分成三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率; (2)若分成三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率;

概率练习卷
1.甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(它们的六个面分别标有数字 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) ,设甲、乙所抛 掷骰子朝上的面的点数分别为 x 、 y ,则满足复数 x ? y i 的实部大于虚部的概率是() A.

1 6

B.

5 12

C.

7 12

D.

1 3

2.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率为____ 3.在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积不小于 A.

S 的概率是() 3

2 3

B.

1 3

C.

3 4

D.

1 4
6

4.设不等式组 ?

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距 ?0 ? y ? 2
)

离大于 2 的概率是( (A)

? 4
4 5

(B)

? ?2
2
(C)

(C)

? 6

(D)

4 ?? 4
)

5.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数为 b,则 b>a 的概率是( (A) (B)

3 5

2 5

(D)

1 5

6.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋中任取两 球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ) (A)

1 5

(B)

2 5

(C)

3 5

(D)

4 5

7.每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以 1,2,3,4,5,6).连续抛掷 2 次,则 2 次向上的数之和 不小于 10 的概率为 8.从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概 率是________。 9.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的 数字记为 b ,其中 a, b ??1, 2,3, 4,5,6? ,若 a ? b ? 1 ,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这 个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( ) .

A.

1 9

B.

2 9

C.

7 18

D.

4 9

10.从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为

2 2

的概率是___________。 11.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别,公司准备了两种不同的饮料共 5 杯,其颜色完全 相同,并且其中的 3 杯为 A 饮料,另外的 2 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 5 杯饮料 中选出 3 杯 A 饮料。若该员工 3 杯都选对,测评为优秀;若 3 杯选对 2 杯测评为良好;否测评为合 格。假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力 (1)求此人被评为优秀的概率 (2)求此人被评为良好及以上的概率

12. 11.在区间[-1,2]上随即取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为



13. ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( (A) )

? 4

(B) 1 ?

? 4

(C)

? 8

( D) 1 ?

? 8

7

14.如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭 圆外的黄豆数为 96 颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 ( ).

A. 7.68

B. 16.32

C. 17.32

D. 8.68

15.下图的矩形,长为 5,宽为 2,在矩形内随机 地撒 300 颗黄豆,数得落在 阴影部分的黄豆数为 138 颗,则我们可以估计出阴影部分的面积为________. 16 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 12, 直线 l : 4 x ? 3 y ? 25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 . (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率 为 .

17. 某商场举行抽奖活动,从装有编号为 0,1,2,3 四个小球的抽奖箱中同时抽出两 个小球,两个小球号码相加之和等于 5 中一等奖,等于 4 中二等奖,等于 3 中三等奖. (Ⅰ)求中三等奖的概率; (Ⅱ)求中奖的概率.

2.现有编号分别为 1, 2 , 3 , 4 , 5 的五个不同的物理题和编号分别为 6 , 7 , 8 , 9 的四个不同的 化学题.甲同学从这九个题中一次随机抽取两道题,每题被抽到的概率是相等的,用符 号 ( x , y) 表示事件“抽到的两题的编号分别为 x 、 y ,且 x ? y ” . (1)共有多少个基本事件?并列举出来; (2)求甲同学所抽取的两题的编号之和小于 17 但不小于 11 的概率.

3.甲乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2 红桃 3 红桃 4 方片 4)玩游戏,他们将扑克 牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张. (1) .设 (i, j ) 分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲乙二人抽到的牌的所有情况. (2) .若甲抽到红桃 3,则乙抽出的牌的牌面数字比 3 大的概率是多少? (3) .甲乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜.你认为 此游戏是否公平,说明你的理由.

8

4.设方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的系数 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数. (Ⅰ)求方程 x 2 ? bx ? c ? 0 有两个不等实根的概率; (Ⅱ)求方程 x 2 ? bx ? c ? 0 没有实根的 概率;

5.同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字 1,2,3,4,5,6 的正方体),两 颗骰子向上的点数之和记为 ? . (Ⅰ)求 ? ? 5 的概率 P ?? ? 5? ; (Ⅱ)求 ? ? 5 的概率 P ?? ? 5? .

6.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中 各取出 1 个球,每个小球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率.

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