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2018北师大版高中数学必修五学案:第一章 3.1 等比数列(一)

数学 3. 1 学习目标 等比数列(一) 1.通过实例, 理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应 用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 知识点一 等比数列的概念 思考 观察下列 4 个数列,归纳它们的共同特点. ①1,2,4,8,16,…; 1 1 1 1 ②1, , , , ,…; 2 4 8 16 ③1,1,1,1,…; ④-1,1,-1,1,…. 梳理 等比数列的概念和特点. (1)如果一个数列从第____项起,每一项与它的____一项的____都等于________常数,那么这 个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的________,通常用字母 q 表示(q≠0). an+1 an (2)递推公式形式的定义 =q(n>1)(或 a =q,n∈N+). n an-1 (3)等比数列各项均________为 0. 知识点二 等比中项的概念 思考 在 2,8 之间插入一个数,使之成等比数列.这样的实数有几个? 梳理 等差中项与等比中项的异同,对比如下表: 对比项 等差中项 等比中项 数学 定义 若 a,A,b 成等差数列,则 A 叫作 a 与 b 的等差中项 A-a=b-A a+b A= 2 a 与 b 的等差中项唯一 任意两个数 a 与 b 都有等差中项 若 a,G,b 成________数列,则 G 叫作 a 与 b 的等比中项 G b a =G G=± ab a 与 b 的等比中项有________个, 且互为 ________ 定义式 公式 个数 备注 只有当________时, a 与 b 才有等比中项 知识点三 等比数列的通项公式 思考 等差数列通项公式是如何推导的?你能类比推导首项为 a1, 公比为 q 的等比数列的通 项公式吗? 梳理 等差数列{an}首项为 a1,公比为 q,则 an=a1qn-1. 类型一 证明等比数列 例 1 根据下面的框图,写出数列的前 5 项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列 吗? an+1 反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义, 即 a =q(与 n 无关的常数). n 1 跟踪训练 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= (an-1)(n∈N+). 3 (1)求 a1,a2; 数学 (2)证明:数列{an}是等比数列. 类型二 等比数列通项公式的应用 命题角度 1 方程思想 例 2 一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18,求它的第 1 项与第 2 项. 反思与感悟 已知等比数列{an}的某两项的值,求该数列的其他项或求该数列的通项常用方 程思想,通过已知可以得到关于 a1 和 q 的两个方程,从而解出 a1 和 q,再求其他项或通项. 跟踪训练 2 在等比数列{an}中. (1)已知 a1=3,q=-2,求 a6; (2)已知 a3=20,a6=160,求 an. 命题角度 2 等比数列的实际应用 例 3 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的这种物质是原来的 84%,这 种物质的半衰期为多长?(精确到 1 年, 放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质 的半衰期) 反思与感悟 等比数列应用问题,在实际应用问题中较为常见,解题的关键是弄清楚等比数 列模型中的首项 a1,项数 n 所对应的实际含义. 跟踪训练 3 某制糖厂 2011 年制糖 5 万吨,如果从 2011 年起,平均每年的产量比上一年增 加 20%,那么到哪一年,该糖厂的年制糖量开始超过 30 万吨?(保留到个位,lg 6≈0.778, lg 1.2≈0.079) 类型三 等比中项 a 例 4 若 1,a,3 成等差数列,1,b,4 成等比数列,则 的值为( b 1 A.± 2 1 B. 2 C.1 D.± 1 ) 反思与感悟 (1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项; (2)只有同号的两个实数才有实数等 比中项,且一定有 2 个. 跟踪训练 4 A.1 C.± 1 2+1 与 2-1 的等比中项是( B.-1 1 D. 2 ) 1.在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则 a3 等于( A.16 C.32 B.16 或-16 D.32 或-32 ) 数学 2.若等比数列的首项为 4,末项为 128,公比为 2,则这个数列的项数为( A.4 B.8 C.6 D.32 3.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7 等于( A.64 B.81 C.128 D.243 4.45 和 80 的等比中项为________. ) ) 1.等比数列的判断或证明 an+1 (1)利用定义: a =q(与 n 无关的常数). n (2)利用等比中项:a2 n+1=anan+2(n∈N+). 2. 两个同号的实数 a、 b 才有等比中项, 而且它们的等比中项有两个(± ab), 而不是一个( ab), 这是容易忽视的地方. 3.等比数列的通项公式 an=a1qn-1 共涉及 a1,q,n,an 四个量,已知其中三个量可求得第 四个量. 数学 答案精析 问题导学 知识点一 思考 从第 2 项起,每项与它的前一项的比是同一个常数. 梳理 (1)2 前 比 同一 公比 (3)不能 知识点二 G 8 思考 设这个数为 G.则 =G,G2=16,G=± 4.所以这样的数有 2 个. 2 梳理 等比 知识点三 思考 等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项,等比数列则可用累乘.根据等比数 列的定义得 a2 a3 a4 an =q, =q, =q,…, =q(n≥2). a1 a2 a3 an-1 将上面 n-1 个等式的左、右两边分别相乘, a2 a3 a4 an an - - - 得 ··· …· =qn 1,化简得 =qn 1,即 an=a1qn 1(n≥2). a1 a2 a3 a1 an-1 当 n=1 时,上

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