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第一轮复习讲义(034) 立体几何综合
【知识梳理】 一. 证明——平行和垂直 平行垂直关系的转化:
判定
平几 公理

2012.12

1. 平行关系:

判定

判定

线∥线

性质

线∥面
性质
判定

性质(定义) 面∥面

2. 垂直关系:

平几 三垂

线⊥线

判定 定义

线⊥面
性质

判定 性质

面⊥面

3. 平行与垂直: 线∥线

判定

线⊥面

判定 性质

面∥面

定义

【注】 例如: 要证“面⊥面”, 由判定, 只需证“线⊥面” ? 只需证“线⊥线”. 二. 计算——成角与距离 (一) 异面线成角 1. 定义: 把异面直线平移到一个平面内, 这时两条直线的夹角(锐角或直角) 叫做两条异面直线 所成的角. 如果所成的角是直角, 则称两条异面直线垂直. 2. 范围: ?0?, 90?? 3. 求异面线成角的方法: ①平移为相交线, 解三角形; → ?→ a ? b? ? ? ②向量法: cos ? = →? ? |→ ? a | | b |? (二) 线面角 1. 定义: 斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线与平面所成的 角(或斜线和平面的夹角). 斜线和平面所成的角 ? ? (0, 2. 直线与平面的成角的范围: ?0?, 90?? 3. 求线面成角的方法: (1) 定义法: 步骤: ①找面垂线; ②得射影, 得线面角; ③解三角形 (2) 利用公式 cos? ? cos?1 ? cos? 2 (3) 法向量法:
034 - 1

?
2

)

→ 设平面 ? 的法向量为 n , 直线 AB 与平面 ? 夹 角为 ? , → ? ? < AB , n > ? ? ? 或 ? ? , 2 2
AB ? n AB ? n ?? ? ? 则 sin? ? cos? ? ? ? ? ?2 ? AB n AB n

(三) 二面角 1. 定义: 平面内一条直线把平面分成两部分, 其中的每一部分都叫做半平面, 从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角; 这条直线叫做二面角的棱, 每个半平面叫做二面角的面. 2. 记法: ? ? l ? ? ; A ? l ? B ; 2 ? l . 3. 二面角的平面角: 在二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上任取一点 O, 在两个半平面内分别作射 线 OA⊥ l , OB⊥ l , 则∠AOB 叫做二面角 ? ? l ? ? 的平面角. (二面角的平面角是几度, 就说这个二面角是几度.) 直二面角: 平面角为直角的二面角. 4. 范围: ?0? , 180?? 5. 求二面角的方法: (1) 定义法(常常借助于三垂线定理) ; (2) 射影面积法: cos? ? (3) 向量法: ① 转化为求两个半平面内与棱都垂直的两个向量

S? S
n1 , n2

的夹角 , 即 : 在平面 ? , ? 内 , 沿 ? , ? 延伸的方向作 n1 ? l ,

n2 ? l ,
记 cos ? ? cos ? n1 , n 2 ??
n1 ? n 2 n1 n 2

, 则二面角为 ? .

② 转化为求两个半平面的法向量 的夹角, 即 ... 设 m1 ? ? , n2 ? ? , 则 ? n1 , n2 ? 与二面角相等或互补. 记 cos ? ? cos ? m1 , m2 ? ?
m1 ? m2 m1 m2

若二面角为锐角, 则为 ? ; 若二面角为钝角, 则为 ? ? ? .
034 - 2

【注】若 m1 , m2 一个指向面内, 一个指向面外, 则二面角为 ? m1 , m2 ? ; 若 m1 , m2 都指向面内(或面外) , 则二面角为 ? ? ? m1 , m2 ? . (四) 距离 ( 点与点、点与平面、直线与它的平行平面的距离 ; 两个平行平面 的距离 ? 均转化为“点面距”) 求“点 A 到平面 ? 的距离”的方法 (1) 直译法: (关键是找面垂线) (2) 垂面法: 过点 A 找到平面 ? 的一个垂面 ? , 在 ? 内 作 AB ? 交线 l 于 B , 则 AB 即为所求. (3) 等体积法: (4) 向量法: 转化为点 A 与平面内任一点 B 构成的向量 AB 在 ? 的法向量 n 上正投影 AC 的长度 , 即

d ? AB ? cos ? AB, n ? ?

AB ? n n

? AB ? n0

( n0 为平面 ? 的单位法向量)

【典型例题】 一. 角和距离的定义和基本图形 1. 如图, P 为平面 BAC 外一点, O 为 P 在平面 BAC 上的射影, (1) 若 ?PAB ? ?PAC , 则 O 在 ?BAC 的______________上; (2) 若 P 到 AC, AB 的距离相等, 则 O 在 ?BAC 的______________上; (3) ?PAO, ?PAC, ?OAC 的余弦值有以下关系: ________________________________
P

D1

C1
B1

A1
A O C B

D A B

C
B

2. 正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , 边长为 a . (1) 异面直线 B1D与AC 所成的角为____, 距离为______; (2) BB ___________; 1与平面A 1BC1所成角的余弦值为 (3) B1到平面A1 BC1的距离为___________; (4) 二面角 B ? A1C1 ? C 的正切值为__________.
034 - 3

3. 四面体 ABCD 中, O 为 D 在平面 ABC 上的射影. (1) 若 DA=DB=DC, 则 O 是 ?ABC 的_________心; (2) 若侧棱 DA, DB, DC 与底面所成角相等, 则 O 是 ?ABC 的__________心; (3) 若 D 到 AB, BC, AC 的距离相等, 且 O 在 ?ABC 的内部, 则 O 是 ?ABC 的________心; (4) 若二面角 D ? AB ? C, D ? BC ? A, D ? AC ? B 相等, 则 O 是 ?ABC 的__________心; (5) 若 DA, DB, DC 两两垂直, 则 O 是 ?ABC 的_垂_心, 且 ?ABC 一定是_________角三角形; (6) 若 DA ? BC, DB ? AC , 则 DC ____ AB , 且 O 是 ?ABC 的__________心; (7) 三组相对棱中点的连线, 相交于_________点.

E 为 AA1 中点, 则异面直线 BE 与 CD1 4. 已知正四棱柱 ABCD ? A , 1B 1C 1D 1 中 , AA 1 ? 2 AB
所成的角的余弦值为( A. ) B.

10 10

1 5

C.

3 10 10

D.

3 5

5. 正方形 ABCD ? A1B1C1D1 中, 二面角 B ? A1C ? A 的大小为________

6. 在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 是 AA1 的中点, 则 A1 到平面 MBD 的距离为 ______

034 - 4

二. 空间向量的应用 1. 如图, 在直三棱柱 ABC? A1B1C1 中, ?ACB = 90?, AC = BC = CC1 = 2. (1) 证明: AB1⊥BC1; (2) 求点 B 到平面 AB1C1 的距离; (3) 求二面角 C1?AB1?A1 的大小.
C1 A1 B1

C A B

2. 如图, 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都为 2, D 为 CC1 中点. (Ⅰ) 求证: AB1⊥面 A1BD; (Ⅱ) 求二面角 A ? A1D ? B 的大小; (Ⅲ) 求点 C 到平面 A1BD 的距离.

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ABCD , 底面 ABCD 是 3. (2010 西城二模) 如图, 四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, A 1 D ? 平面
边长为 1 的正方形, 侧棱 AA 1 ?2. (Ⅰ) 求证: C1D // 平面 ABB1 A 1; (Ⅱ) 求直线 BD1 与平面 AC 1 1 D 所成角的正弦值; (Ⅲ) 求二面角 D ? AC 1 1 ? A 的余弦值.
A1 B1 C1 D1

A B C

D

4. 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD, 底面 ABCD 为菱形, PA⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E, F 分别 是 BC, PC 的中点. (Ⅰ) 证明: AE⊥PD; (Ⅱ) 若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 的余弦值.
P

6 , 求二面角 E—AF—C 2

F

A B E C

D

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5. 如图 1, 在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的点, 且满足

AE ? FC ? CP ? 1 .将△ AEF 沿 EF 折起到△ A1EF 的位置, 使二面角 A1 ? EF ? B 成直二
面角, 连结 A 1B , A 1P .(如图 2) (Ⅰ) 求证: A1 E ⊥平面 BEP ; (Ⅱ) 求直线 A1 E 与平面 A1 BP 所成角的大小.
A

A1
E

F

E F

B

P

C

B

P

C

图1

图2

? 6. 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90 , AP ? BP ? AB , PC ? AC .

(Ⅰ) 求证: PC ? AB ; (Ⅱ) 求二面角 B ? AP ? C 的大小; (Ⅲ) 求点 C 到平面 APB 的距离. P

A C

B

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7. 如图, 四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, ?DAB ? ?DBF ? 60? , 且 FA ? FC . (Ⅰ) 求证: AC ? 平面 BDEF ; (Ⅱ) 求证: FC ∥平面 EAD ; (Ⅲ) 求二面角 A ? FC ? B 的余弦值.
E F

D A B

C

8. 如图所示, PA⊥平面 ABC , 点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上, ?CBA = 30?, PA = AB = 2 , 点 E 为线段 PB 的中点, 点 M 在弧 AB 上, 且 OM ∥ AC . (Ⅰ) 求证: 平面 MOE ∥平面 PAC; (Ⅱ) 求证: 平面 PAC⊥平面 PCB ; (Ⅲ) 设二面角 M ? BP ? C 的大小为 ? , 求 cos ? 的值.
P

E C A M B O

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9. (2010 北京) 如图, 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直, CE ? AC , EF ∥

AC , AB ? 2 , CE ? EF ? 1 . (Ⅰ) 求证: AF ∥平面 BDE ;
(Ⅱ) 求证: CF ⊥平面 BDE ; (Ⅲ) 求二面角 A ? BE ? D 的大小.

三. 开放性问题 1. 如图, 在正四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中, 已知 AA1 = 4, AB = 2, 点 E 是棱 CC1 上的一个动点. (1) 求证: BE∥平面 AA1D1D (2) 当 CE = 1 时, 求二面角 B?ED?C 的余弦值 (3) 当 CE 等于何值时, A1C⊥平面 BDE
A1 B1 C1 D1

E A B C D

034 - 9

2. 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形, AB∥DC,AC⊥BD,AC 与 BD 相交于 点 O, 且顶点 P 在底面上的射影恰为 O 点, 又 BO=2, PO= 2 ,PB⊥PD. (Ⅰ)求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值; (Ⅱ)求平面 PAB 与平面 ABC 的法向量所成的角的余弦值; (Ⅲ)设点 M 在棱 PC 上, 且
P

PM ? ? ,问? 为何值时, PC⊥平面 BMD. MC

D O A B

C

`

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3. 在如图所示的几何体中 , 四边形 ABCD 为平行四边形, ?ABD = 90? , EB ? 平面 ABCD ,
EF//AB , AB = 2 , EB = 3, EF =1 , BC = 13 , 且 M 是 BD 的中点.

(Ⅰ) 求证: EM// 平面 ADF ; (Ⅱ) 求二面角 D-AF-B 的大小; (Ⅲ) 在线段 EB 上是否存在一点 P , 使得 CP 与 AF 所成的角为 30 ? ? 若存在, 求出 BP 的长 度; 若不 存在, 请说明理由. F E

D M A B

C

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4. 如 图 , 直 角 梯 形 ABC D 与 等 腰 直 角 三 角 形 ABE 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 . AB ∥ CD ,

AB ? BC , AB ? 2CD ? 2 BC , EA ? EB .
(Ⅰ) 求证: AB ? DE ; (Ⅱ) 求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; (Ⅲ) 线段 EA 上是否存在点 F , 使 EC // 平面 FBD ?若存在, 求出
E

EF ; 若不存在, 说明理由. EA

B C D

A

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四. 创新性问题 1. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有一动点 P 到棱 A1B1 与棱 BC 的距离相等, 则动 点 P 所在曲线的形状为__________________________________________________ 2. (06 北京) 平面 ? 的斜线 AB 交 ? 于点 B , 过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直, 且交 ? 于点 C , 则动点 C 的轨迹是 ( (A) 一条直线 ) (B) 一个圆 (C) 一个椭圆 (D) 双曲线的一支

P 作垂直于平面 3. (09 北京) 如图, 动点 P 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的对角线 BD 1 上. 过点

BB1D1D 的直线, 与正方体表面相交于 M ,N . 设 BP ? x , MN ? y , 则函数 y ? f ( x) 的图
象大致是 ( D1 A1 D A M B1 P N B ) C1 y y y y

C

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

4. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 侧面 PAD 为正三角形, 底面 ABCD 为正方形, 侧面 PAD⊥底 M 为底面 ABCD 内的一个动点, 且满足 MP ? MC , 则点 M 在正方形 ABCD 内 的轨迹为 ( )

P D A B

C

5. 正三棱锥 S ? ABC 中, 侧面 SAB 与底面 ABC 所成的二面角等于 ? , 动点 P 在侧面 SAB 内, PQ ? 底面 ABC , 垂足为 Q , PQ ? PS ? sin ? , 则动点 P 的轨迹为( A. 线段 B. 圆 C. 一段圆弧 ) D. 一段抛物线

6. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 2 , 将 ?ABC 沿对角线 AC 折起 , 使平面 ABC ? 平面

ACD , 得到如图所示的三棱锥 B ? ACD . 若 O 为 AC 边的中点 , M , N 分别为线段 DC , BO 上 的 动 点 ( 不 包 括 端 点 ) , 且 BN ? CM . 设 BN ? x , 则 三 棱 锥 N ? A MC的 体 积

y ? f ( x) 的函数图象大致是 (

)

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7. 如图, P 是正方体 ABCD—A1B1C1D1 对角线 AC1 上一动点, 设 AP 的长度为 x, 若△PBD 的面 积为 f ( x ) , 则 f ( x ) 的图象大致是 (
D1 A1 P B1 C1

)

A

D B

C

8. 如 下 左 图 , 在正方体 ABCD - A ' B ' C ' D ' 中, 若点 P (异于点 B ) 是棱上一点, 则满 足 BP 与 AC ' 所成的角为 45 ° 的点 P 的个数为( (A) 0 (B) 3 (C) 4
N1

) (D) 6
C1

A B C A' B' C'

D

B1 Q

D

D'
A

M

Q0

C

B

9. 如上右图, 在边长为 3 的正方形 ABCD 中, 点 M 在 AD 上, 正方形 ABCD 以 AD 为轴逆时 针 旋转 ? 角 (0 ≤ ? ≤

? ) 到 AB1C1D 的 位置 , 同时 点 M 沿 着 AD 从 点 A 运动 到点 D , 3 ???? ? ????? ???? ? 1 , 记点 Q 在面 MN1 ? DC1 , 点 Q 在 MN1 上 , 在运动过程中点 Q 始终满足 QM ? cos? ? ???? ? ???? ABCD 上 的 射 影 为 Q0 , 则 在 运 动 过 程 中 向 量 BQ0 与 BM 夹 角 ? 的 正 切 的 最 大 值
.



10. 空间点到平面的距离定义如下: 过空间一点作平面的垂线, 这个点和垂足之间的距离叫做 这个点到这个平面的距离. 已知平面 ? , ? , ? 两两互相垂直, 点 A ∈ ? , 点 A 到 ? , ? 的距离 都是 3 , 点 P 是 ? 上的动点, 满足 P 到 ? 的距离是到 P 到点 A 距离的 2 倍, 则点 P 的轨迹上的 点到 ? 的距离的最小值是( (A) ) (C) 6 ? 3
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3? 3

(B) 3 ? 2 3

(D)

3

第一轮复习讲义(034) 立体几何综合
【知识梳理】 一. 证明——平行和垂直 平行垂直关系的转化:
判定

2012.12

1. 平行关系:

平几 公理

判定

判定

线∥线

性质

线∥面
性质
判定

性质(定义) 面∥面

2. 垂直关系:

平几 三垂

线⊥线

判定 定义

线⊥面
性质

判定 性质

面⊥面

3. 平行与垂直: 线∥线

判定

线⊥面

判定 性质

面∥面

定义

【注】 例如: 要证“面⊥面”, 由判定, 只需证“线⊥面” ? 只需证“线⊥线”. 二. 计算——成角与距离 (一) 异面线成角 1. 定义: 把异面直线平移到一个平面内, 这时两条直线的夹角(锐角或直角) 叫做两条异面直线 所成的角. 如果所成的角是直角, 则称两条异面直线垂直. 2. 范围: ?0?, 90?? 3. 求异面线成角的方法: ①平移为相交线, 解三角形; → ?→ a ? b? ? ? ②向量法: cos ? = →? ? |→ ? a | | b |? (二) 线面角 1. 定义: 斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线与平面所成的 角(或斜线和平面的夹角). 斜线和平面所成的角 ? ? (0, 2. 直线与平面的夹角的范围: ?0?, 90?? 3. 求线面成角的方法: (1) 定义法: 步骤: ①找面垂线; ②得射影, 得线面角; ③解三角形 (2) 利用公式 cos? ? cos?1 ? cos? 2 (3) 法向量法:
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?
2

)

→ 设平面 ? 的法向量为 n , 直线 AB 与平面 ? 夹 角为 ? , → ? ? < AB , n > ? ? ? 或 ? ? , 2 2
AB ? n AB ? n ?? ? ? 则 sin? ? cos? ? ? ? ? ?2 ? AB n AB n

(三) 二面角 1. 定义: 平面内一条直线把平面分成两部分, 其中的每一部分都叫做半平面, 从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角; 这条直线叫做二面角的棱, 每个半平面叫做二面角的面. 2. 记法: ? ? l ? ? ; A ? l ? B ; 2 ? l . 3. 二面角的平面角: 在二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上任取一点 O, 在两个半平面内分别作射 线 OA⊥ l , OB⊥ l , 则∠AOB 叫做二面角 ? ? l ? ? 的平面角. (二面角的平面角是几度, 就说这个二面角是几度.) 直二面角: 平面角为直角的二面角. 4. 范围: ?0? , 180?? 5. 求二面角的方法: (1) 定义法(常常借助于三垂线定理) ; (2) 射影面积法: cos? ? (3) 向量法: ① 转化为求两个半平面内与棱都垂直的两个向量

S? S
n1 , n2 的夹角, 即: 在平面 ? , ? 内, 沿

? , ? 延伸的方向作 n1 ? l , n2 ? l ,
记 cos ? ? cos ? n1 , n 2 ??
n1 ? n 2 n1 n 2

, 则二面角为 ? .

② 转化为求两个半平面的法向量 的夹角, 即 ... 设 m1 ? ? , n2 ? ? , 则 ? n1 , n2 ? 与二面角相等 或互补. 记 cos ? ? cos ? m1 , m2 ? ?
m1 ? m2 m1 m2

若二面角为锐角, 则为 ? ; 若二面角为钝角, 则为 ? ? ? .
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【 注 】 若 m1 , m2 一 个 指 向 面 内 , 一 个 指 向 面 外 , 则 二 面 角 为

? m1 , m2 ? ;
若 m1 , m2 都指向面内(或面外) , 则二面角为 ? ? ? m1 , m2 ? . (四) 距离 ( 点与点、点与平面、直线与它的平行平面的距离 ; 两个平行 平面的距离 ? 均转化为“点面距”) 求“点 A 到平面 ? 的距离”的方法 (1) 直译法: (关键是找面垂线) (2) 垂面法: 过点 A 找到平面 ? 的一个垂面 ? , 在 ? 内 作 AB ? 交线 l 于 B , 则 AB 即为所求. (3) 等体积法: (4) 向量法: 转化为点 A 与平面内任一点 B 构成的向量 AB 在 ? 的法向量 n 上正投影 AC 的长度 , 即

d ? AB ? cos ? AB, n ? ?

AB ? n n

? AB ? n0

( n0 为平面 ? 的单位法向量)

[典型例题] 一. 角和距离的定义和基本图形 1. 如图, P 为平面 BAC 外一点, O 为 P 在平面 BAC 上的射影, (1) 若 ?PAB ? ?PAC , 则 O 在 ?BAC 的__角分线___上; (2) 若 P 到 AC, AB 的距离相等, 则 O 在 ?BAC 的_角分线_上; (3) ?PAO, ?PAC, ?OAC 的余弦值有以下关系: cos ?PAC ? cos ?PAO ? cos ?OAC . 2. 正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , 边长为 a . (1) 异面直线 B1D与AC 所成的角为____, 距离为______; ( (2) BB ___________; 1与平面A 1BC1所成角的余弦值为 (3) B1到平面A1 BC1的距离为___________; (4) 二面角 B ? A1C1 ? C 的正切值为__________.
034 - 17

? 6 a) , 6 2
(

6 ) 3

(

3 a) 3
(

2 ) 2

3. 如图, 四面体 ABCD 中, O 为 D 在平面 ABC 上的射影. (1) 若 DA=DB=DC, 则 O 是 ?ABC 的_外_心; (2) 若侧棱 DA, DB, DC 与底面所成角相等, 则 O 是 ?ABC 的_外_心; (3) 若 D 到 AB, BC, AC 的距离相等, 且 O 在 ?ABC 的内部, 则 O 是 ?ABC 的_内_心; (4) 若二面角 D ? AB ? C, D ? BC ? A, D ? AC ? B 相等, 则 O 是 ?ABC 的_内_心; (5) 若 DA, DB, DC 两两垂直, 则 O 是 ?ABC 的_垂_心, 且 ?ABC 一定是_锐_角三角形; (6) 若 DA ? BC, DB ? AC , 则 DC __ ? __ AB , 且 O 是 ?ABC 的_垂_心; (7) 三组相对棱中点的连线, 相交于__一__点. //A 异面直线成角.平移

E 为 AA1 中点, 则异面直 4. (2009.全国 II.5) 已知正四棱柱 ABCD ? A , 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 2 AB
线 BE 与 CD1 所成的角的余弦值为

1 3 10 3 10 B. C. D. 5 5 10 10 BE 与 CD1 所成的角即 A1B 解: 令 AB ? 1 则 AA 1 ? 2 ,连 A 1B ? C1 D ∥ A 1B ? 异面直线
A. 与 BE 所成的角. 在 ?A1BE 中由余弦定理易得 cos ?A1 BE ?

3 10 . 故选 C 10

//A+ 求二面角.作平面角 / 面积比 /简单向量法 5. 正方形 ABCD ? A1B1C1D1 中, 二面角 B ? A1C ? A 的大小为________ /* 答案: π 3

[法一] (利用 “面面垂” 作射影, 找平面角) 作 BE⊥AC 于 E, 则 BE⊥面 A1AC. 从而可作出平 面角 [法二] (面积比) 作 BE⊥AC 于 E, 则 BE⊥面 A1AC. 故面 A1BC 在面 A1AC 上的正射影为△ A1EC. 且显然所求二面角为锐角. 故: cos θ = △A1AC≌△BA1C, 而 S?A1EC ?
1 S?A AC 2 1
S ?A1 EC S ?A1 BC

. 直接算两个面积比较麻烦, 但观察可知: ∴θ= π 3

∴ cos θ =

1 2

→ [法三] (简单向量) 把两个平面扩展为如下右图所示, 易知两个平面的方向向量分别为DC1 π → 和 DB , 显然它们的夹角为 3

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D1 A1 F D A E B B1

C1

D1 A1 B1

C1
A1

D1 B1

C1

C

D A E B

C
A

D B

C

//A 点面距离.体积法 / 转移 6. 在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 是 AA1 的中点, 则 A1 到平面 MBD 的距离为 ______ /* 答案: 6 a 6

[法一] (等积法) 利用棱锥 A1?BDM 的体积 [法二] (转移) 点 A1 到平面 MBD 的距离 = 点 A 到平面 MBD 的距离 (可利用对称性找 A 在 面 MBD 内的射影; 或利用棱锥 M? ABD 的体积)
D1 A1 M D A B C A B1 C1 A1 M D B C D1 B1 C1

*/ 二. 空间向量的应用 1. 如图, 在直三棱柱 ABC? A1B1C1 中, ?ACB = 90?, AC = BC = CC1 = 2. (1) 证明: AB1⊥BC1; (2) 求点 B 到平面 AB1C1 的距离; (3) 求二面角 C1?AB1?A1 的大小.
C1 A1 B1 A1 E C1 B1 A1 E F C A B C A B A C B C1 B1

/* (1) (三垂 ? 线线垂) 连接 B1C. 易证:四边形 BCC1B1 为正方形 ∴ B1C⊥BC1
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又 AC⊥面 BCC1B1

即 AB1 在面 BCC1B1 上的射影为 B1C ∴ BC1⊥AB1

(2) [法一] (平行线转移点面距) BC?∥B1C1 ? BC∥面 AB1C1 ∴ 点 B 到面 AB1C1 的距离 = 点 C 到面 AB1C1 的距离 又由 B1C1⊥面 A1ACC1 ? 面 AB1C1⊥面 A1ACC1 ∴ 若在面 A1ACC1 内作 CE⊥AC1 于 E, 则 CE 为所求距离 易求得 CE = 2 [法二] (体积法) 在三棱锥 B?AB1C1 中考虑:
S?AB1C1 ? d ? S?BB1C1 ? AC ?

1 1 × 2 × 2 2 d = × 2 × 2 ×2 ? d = 2 2 2

(3) (直接法: 面面垂?平面角) 注意到: 面 A1AC1⊥面 AB1C1, 故可作出平面角. 连接 A1E, 易证 A1E⊥AC1 . 在面 AB1C1 内作 EF⊥AB1 于 F, 连接 A1F 则可证?A1FE 为所求二面角的平面角 在△AB1C1 中, 由相似 ? EF = 6 , 3 又: A1E = 2

∴ 在 Rt△A1EF 中, tan?A1FE = */

A 1E 2 = = 3 ∴ ?A1FE = 60? 即为所求二面角的大小 EF 6 3

2. 如图, 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都为 2, D 为 CC1 中点. (Ⅰ) 求证: AB1⊥面 A1BD; (Ⅱ) 求二面角 A ? A1D ? B 的大小; (Ⅲ) 求点 C 到平面 A1BD 的距离.

解法一: (Ⅰ) 取 BC 中点 O, 连结 AO ∵△ABC 为正三角形, ∴AO⊥BC. ∵正三棱柱 ABC ? A1BC1 中, 平面 ABC⊥平面 BCC1B1, ∴AO⊥平面 BCC1B1 连结 B1O, 在正方形 BB1C1C 中, O、D 分别为 BC、CC1 的中点, ∴B1O⊥BD, ∴AB1⊥BD. 在正方形 ABB1A1 中, AB1⊥A1B, ∴AB1⊥平面 A1BD.
034 - 20

(Ⅱ) 设 AB1 与 A1B 交于点 G1 在平面 A1BD 中, 作 GF⊥A1D 于 F, 连结 AF, 由(Ⅰ) 得 AB1⊥平面 A1BD, ∴AF⊥A1D, ∴∠AFG 为二面角 A ? A1D ? B 的平面角. 在△AA1D 中, 由等面积法可求得 AF ? 又∵ AG ?

4 5 , 5

1 AG 2 10 AB1 ? 2 , ∴ sin ?AFG ? , ? ? 2 AF 4 5 4 5

(Ⅲ) △A1BD 中, BD ? A1D ? 5, A1B ? 2 2,? S?A BD ? 6 . S△BCD=1 1 在正三棱柱中, A1 到平面 BCC1B1 的距离为 3 .设点 C 到平面 A1BD 的距离为 D. 由 VA1 ?BCD ? VC ? A 1BD 得

1 1 S?BCD ? 3 ? S ?A1BD?d , 3 3

∴d ?

3S ?BCD 2 ? . S ?A1BD 2

∴点 C 到平面 A1BD 的距离为

2 , 2

解法二: (Ⅰ) 取 BC 中点 O, 连结 AO. ∵△ABC 为正三角形, ∴AO⊥BC. ∵在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 平面 ABC⊥平面 BCC1B1, ∴AO⊥平面 BCC1B1. 取 B1C1 中点 O1, 以 O 为原点, OB, OO1, OA 的方向为 x、y、z 轴的正方面建立空间直角坐标 系, 则 B(1, 0, 0) , D( ? 1, 1, 0) , A1(0, 2,

??? ? ???? ? ??? ?

???? BA1 ? (?1,2, 3) . ???? ??? ? ???? ???? ∵ AB1 ? BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , AB1 ?BA1 ? ?1? 4 ? 3 ? 0 , ???? ??? ? ???? ???? ∴ AB1 ? BD, AB1 ? BA 1 , ∴AB1⊥平面 A1BD. ???? ???? (Ⅱ) 设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z) . AD ? (?1,1, ? 3) , AA 1 ? (0, 2,0) . ???? ??? ? ???? ? ? ? x ? y ? 3 z ? 0, ? ? ? y ? 0, ? n?AD ? 0, ∵ n ? AD, n ? AA ∴ ∴ ∴ ???? ? ? ? 1 2 y ? 0, ? ? n ? AA ? 0, ? ? ? x ? ? 3x. ? 1
令 z=1 得 n ? (? 3,0,1) 为平面 A1AD 的一个法向量.
034 - 21

???? ??? ? 3 ) , B1(1, 2, 0) , ∴ AB1 ? (1,2, ? 3) , BD ? (?2,1,0) ,

由(Ⅰ) 知 AB1⊥平面 A1BD, ∴ AB1 为平面 A1BD 的法向量.

????

???? ???? n?AB1 ? 3? 3 6 6 . cos ? n, AB1 ?? ?? . ∴二面角 A ? A1D ? B 的大小为 arccos ???? ? 4 4 2?2 2 n ? AB1 ???? ??? ? ???? (Ⅲ) 由(Ⅱ) , AB1 为平面 A1BD 法向量. ∵ BC ? (?2,0,0), AB1 ? (1,2, ? 3) , ??? ? ???? BC ?AB1 ?2 2 ∴点 C 到平面 A1BD 的距离 d ? ???? . ? ? 2 2 2 AB1
3. (2010 西 城 二 模 ) 如 图 , 四 棱 柱
B1

ABCD ? A1B1C1D1 中 , A1D ? 平面 ABCD , 底面
ABCD 是边长为 1 的正方形, 侧棱 AA1 ? 2 .
(Ⅰ) 求证: C1D // 平面 ABB1 A 1; (Ⅱ) 求直线 BD1 与平面 AC 1 1 D 所成角的正弦值; (Ⅲ) 求二面角 D ? AC 1 1 ? A 的余弦值. B 【解析】(Ⅰ) 证明: 四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BB 1 // CC1 , 又 CC1 ? 面 ABB1 A 1 , 所以 CC1 // 平面 ABB 1A 1, A

A1 C1

D1

D C

ABCD 是正方形, 所以 CD // AB ,

CD // 平面 ABB1 A1 , 又 CD ? 面 ABB1 A 1 , 所以
所以平面 CDD1C1 // 平面 ABB1 A 1, 所以 C1D // 平面 ABB1 A 1. (Ⅱ) 解: ABCD 是正方形, AD ? CD , 因 为 A1D ? 平 面 A B C D , 所 以 A1 D? A D , xA B yC B
1

z A
1

D C
1 1

A1D ? CD ,
如图, 以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz , . 在 ?ADA1 中, 由已知可得 A 1D ? 3 , 所以 D(0,0,0), A 1 (0,0, 3), A(1,0,0), C1 (?1,1, 3) ,

D

B1 (0,1, 3), D1 (?1,0, 3), B(1,1,0) , ???? ? BD1 ? (?2, ?1, 3) , ???6 分
034 - 22

因为 A1D ? 平面 ABCD , 所以 A1D ? 平面 A1B1C1D1 ,

A1D ? B1D1 , 又 B1D1 ? AC 1 1 , 所以 B1 D1 ? 平面 AC 1 1 D , ???7 分
所以平面 AC 1 1 D 的一个法向量为 n ? (1,1, 0) , ???????8 分

???? ? ???? ? n ? BD1 ?3 3 设 BD1 与 n 所成的角为 ? , 则 cos ? ? ?? , ???? ? ? 4 2 8 n BD1
所以直线 BD1 与平面 AC 1 1 D 所成角的正弦值为

3 . 4

(Ⅲ) 解: 设平面 AC 1 1 A 的法向量为 m = ( a, b, c) ,

?a ? b ? 0 , a ? 3c ? 0 , 则 m ? AC 1 1 ? 0, m ? A 1 A ? 0 ,所以
令 c ? 3 , 可得 m = (3,3, 3) , 设二面角 D ? AC 1 1 ? A 的大小为 ? , 则 cos ? ?

???? ?

????

42 m?n 6 42 . 所以二面角 D ? AC . ? ? 1 1 ? A 的余弦值为 7 m n 7 2 21

4. 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD, 底面 ABCD 为菱形, PA⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E, F 分别 是 BC, PC 的中点. (Ⅰ) 证明: AE⊥PD; (Ⅱ) 若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 的余弦值.
P P P

6 , 求二面角 E—AF—C 2

F

F

H
N

F

A B E C

D B

A E C

D B

A E

M

D C

/* (1) 利用三垂, AE⊥AD ? AE⊥PD (2) 易证 EA⊥面 PAD, 故 EH 在面 PAD 内的正射影为 AH ∴ EH 与面 PAD 所成的角 = ?EHA ∵ tan?EHA = AE AE 6 > 0, 而 AE 为定值 ∴当 AH 最小时?EHA 最大. 此时 AH⊥PD, = AH AH 2 ∴ AH = 2
034 - 23

设底面边长为 2, 则 AE = 3

在 Rt△PAD 中, AD = 2, AH = 2 ? PA = AD = 2 [法一] (直接法: 面面垂?线面垂?平面角) 易证面 PAC⊥面 AEC 在面 AEC 内作 EM⊥AC 于 M, 则 EM⊥面 AFC 在面 AFC 内作 MN⊥AF 于 N, 连接 EN, 则?ENM 为所求二面角的平面角 余下略?? [法二] (向量: 建系. 推荐) → → 可求得: 面 AEF 的法向量 n1 = (0, 2, ?1), 面 ACF 的法向量 n2 = (1, ? 3 , 0) ?2 3 15 → → ∴ cos< n1 , n2 > = =? 5 5?2 由图可知: 二面角 E?AF?C < */ 5. 东城区 2011 ? 2012 学年度第二学期高三综合练习(一) (17) (本小题共 13 分) 如图 1, 在边长为 3 的正三角形 ABC 中 , E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的点 , 且满足 π 15 ∴ 所求为 cos θ = 2 5

AE ? FC ? CP ? 1 .将△ AEF 沿 EF 折起到△ A1EF 的位置, 使二面角 A1 ? EF ? B 成直二
面角, 连结 A 1B , A 1P .(如图 2) (Ⅰ) 求证: A1 E ⊥平面 BEP ; (Ⅱ) 求直线 A1 E 与平面 A1 BP 所成角的大小.
A

A1
E

F

E F

B

P

C

B

P

C

图1 (17) (共 13 分) (Ⅰ) 证明: 取 BE 中点 D , 连结 DF .

图2

? 因为 AE ? CF ? 1 , DE ? 1 , 所以 AF ? AD ? 2 , 而 ?A ? 60 , 即△ ADF 是正三角形.

又因为 AE ? ED ? 1 , 所以 EF ? AD . …………2 分 所以在图 2 中有 A1E ? EF , BE ? EF .…………3 分 所以 ?A 1EB 为二面角 A 1? EF ? B 的平面角. 又二面角 A 1? EF ? B 为直二面角, 所以 A1E ? BE .
034 - 24

图1 …………5 分

又因为 BE ? EF ? E , 所以 A1E ⊥平面 BEF ,即 A1E ⊥平面 BEP . (Ⅱ) 解: 由(Ⅰ) 可知 A1E ⊥平面 BEP , BE ? EF , 如图, 以 E 为原点, 建立空间直角坐标系 E ? xyz , 则 E (0 , 0 , 0) , A1 (0 , 0 ,1) ,
B x E F P C y z A1

B(2 , 0 , 0) , F (0, 3 , 0) .
在图1中, 连结 DP .

CF CP 1 1 ? ? , 所以 PF ∥ BE , 且 PF ? BE ? DE . FA PB 2 2 所以四边形 EFPD 为平行四边形.所以 EF ∥ DP , 且 EF ? DP .
因为

3 , 0) . ???? ? ???? ? ??? ? 所以 A1B ? (2 , 0 , ? 1) , BP ? (?1, 3,0) , EA1 ? (0 , 0 ,1) . ???? ? ? ? A1 B ? n ? 0, 不妨设平面 A1 BP 的法向量 n ? ( x, y, z ) , 则 ? ??? ? ? ? BP ? n ? 0.
故点 P 的坐标为(1,

…………8 分

? ?2 x ? z ? 0, 令 y ? 3 , 得 n ? (3 , 3 , 6) . ? ? x ? 3 y ? 0. ???? ? ???? n ? EA1 6 3 ????? ?? ? 所以 cos? n, EA1 ? ? . 2 | n || EA1 | 1? 4 3
即? 故直线 A 1E 与平面 A 1 BP 所成角的大小为

…………10 分

…………12 分

? . 3

…………13 分

? 6. (08 北京 ) 如图 , 在三棱锥 P ? ABC 中 , AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90 , AP ? BP ? AB ,

PC ? AC .
(Ⅰ) 求证: PC ? AB ; (Ⅱ) 求二面角 B ? AP ? C 的大小; (Ⅲ) 求点 C 到平面 APB 的距离. P P A A C B C D B

034 - 25

【解析】解法一: (Ⅰ) 取 AB 中点 D , 连结 PD,CD .

? AP ? BP ? PD ? AB . ? AC ? BC , ? CD ? AB .

? PD ? CD ? D , ? AB ? 平面 PCD .
? PC ? 平面 PCD , ? PC ? AB .
(Ⅱ) ? AC ? BC , AP ? BP , ?△ APC ≌△BPC . 又 PC ? AC , ? PC ? BC .
? 又 ?ACB ? 90 , 即 AC ? BC , 且 AC ? PC ? C ,

P E A C B

? BC ? 平面 PAC .
取 AP 中点 E . 连结 BE,CE . ? AB ? BP ,

? BE ? AP . ? EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影,

? CE ? AP .
??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角.
? 在 △BCE 中, ?BCE ? 90 , BC ? 2 , BE ?

P

3 AB ? 6 , 2
A C

H D B

BC 6 . ? sin ?BEC ? ? BE 3

6 . ? 二面角 B ? AP ? C 的大小为 arcsin 3 (Ⅲ) 由(Ⅰ) 知 AB ? 平面 PCD , ? 平面 APB ? 平面 PCD .
过 C 作 CH ? PD , 垂足为 H .

? 平面 APB ? 平面 PCD ? PD , ? CH ? 平面 APB .
? CH 的长即为点 C 到平面 APB 的距离.
由(Ⅰ) 知 PC ? AB , 又 PC ? AC , 且 AB ? AC ? A ,

? PC ? 平面 ABC . ? CD ? 平面 ABC , ? PC ? CD . Rt△PCD 中, CD ?

1 3 AB ? 2 , PD ? PB ? 6 , 2 2
z P E y A
034 - 26

? PC ? PD2 ? CD2 ? 2
. ? CH ?

PC ? CD 2 3 ? . PD 3

2 3 . ? 点 C 到平面 APB 的距离为 3

H x B C

解法二: (Ⅰ) ? AC ? BC , AP ? BP , ?△ APC ≌△BPC . 又 PC ? AC , ? PC ? BC . ? AC ? BC ? C , ? PC ? 平面 ABC .

? AB ? 平面 ABC , ? PC ? AB .
(Ⅱ) 如图, 以 C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz .

0,, 0) A(0, 2,, 0) B(2, 0, 0) . 则 C (0,
设 P(0, 0,t ) . ? PB ? AB ? 2 2 , ? t ? 2 , P(0, 0, 2) . 取 AP 中点 E , 连结 BE,CE . ? AC ? PC , AB ? BP , ? CE ? AP , BE ? AP .

??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角. ??? ? ??? ? ? E (0, 11) , , EC ? (0, ?1 , ?1) , EB ? (2, ?1, ?1) , ??? ? ??? ? EC ?EB 2 3 3 . ? 二面角 B ? AP ? C 的大小为 arccos . ? cos ?BEC ? ??? ? ? ??? ? ? 3 3 2? 6 EC ?EB
(Ⅲ) ? AC ? BC ? PC ,

? C 在平面 APB 内的射影为正 △ APB 的中心 H , CH 的长为点 C 到平面 APB 的距离. ???? ??? ? ?2 2 2? 如(Ⅱ) 建立空间直角坐标系 C ? xyz . ? BH ? 2HE , ? 点 H 的坐标为 ? , , ? . ?3 3 3?

???? 2 3 2 3 . ? 点 C 到平面 APB 的距离为 . ? CH ? 3 3
7. 西城区 2012 年高三一模 17. (本小题满分 14 分) 如图, 四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, ?DAB ? ?DBF ? 60? , 且 FA ? FC . (Ⅰ) 求证: AC ? 平面 BDEF ; (Ⅱ) 求证: FC ∥平面 EAD ; (Ⅲ) 求二面角 A ? FC ? B 的余弦值.
E F

D A B

C

17.(本小题满分 14 分)
034 - 27

(Ⅰ) 证明: 设 AC 与 BD 相交于点 O , 连结 FO . 因为 四边形 ABCD 为菱形, 所以 AC ? BD , 且 O 为 AC 中点. ??1 分 又 FA ? FC , 所以 AC ? FO . ???3 分 因为 FO ? BD ? O , 所以 AC ? 平面 BDEF . ??????4 分 (Ⅱ) 证明: 因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, 所以 AD // BC , DE // BF ,所以 平面 FBC //平面 EAD . 又 FC ? 平面 FBC , 所以 FC // 平面 EAD . (Ⅲ) 解: 因为四边形 BDEF 为菱形, 且 ?DBF ? 60? , 所以△ DBF 为等边三角形. 因为 O 为 BD 中点, 所以 FO ? BD , 故 FO ? 平面 ABCD . 由 OA, OB, OF 两两垂直, 建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . ??????9 分 设 AB ? 2 . 因为四边形 ABCD 为菱形, ?DAB ? 60? , 则 BD ? 2 , 所以 OB ? 1 , OA ? OF ? 3 . 所以 O(0,0,0), A( 3,0,0), B(0,1,0),C(? 3,0,0), F (0,0, 3) . 所以 CF ? ( 3,0, 3) , CB ? ( 3,1,0) .

??? ?

??? ?

??? ? ? n ? CF ? 0, ? 设平面 BFC 的法向量为 n = ( x, y,z ) , 则有 ? ??? ? ? ? n ? CB ? 0.
所以 ?

? 3x ? 3z ? 0, ? 3 x ? y ? 0.

取 x ? 1 , 得 n ? (1,? 3,?1) .

易知平面 AFC 的法向量为 v ? (0,1, 0) . 由二面角 A ? FC ? B 是锐角, 得 cos? n, v ? ?

n?v n v

?

15 . 5

所以二面角 A ? FC ? B 的余弦值为

15 . 5

8. 2012 海 淀区高 三年级第二 学期期末练习 (16)(本小题满分 14 分) 如图所示, PA ^ 平面 ABC , 点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上, ? CBA 点 E 为线段 PB 的中点, 点 M 在 ? AB 上, 且 OM ∥ AC . (Ⅰ) 求证: 平面 MOE ∥平面 PAC; (Ⅱ) 求证: 平面 PAC ^ 平面 PCB ; (Ⅲ) 设二面角 M ? BP ? C 的大小为 ? , 求 cos ? 的值. (16)(本小题满分 14 分)
034 - 28

30? , PA = AB = 2 ,

(Ⅰ) 证明: 因为点 E 为线段 PB 的中点, 点 O 为线段 AB 的中点, 所以 OE ∥ PA . 因为 PA ? 平面 PAC , OE ? 平面 PAC , 所以 OE ∥平面 PAC. 因为 OM ∥ AC , 因为 AC ? 平面 PAC , OM ? 平面 PAC , 所以 OM ∥平面 PAC 因为 OE ? 平面 MOE ,
z P

OM ? 平面 MOE , OE ? OM = O ,
所以 平面 MOE ∥平面 PAC (Ⅱ) 证明: 因为 点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上, 所以 ? ACB

E C D A x M B O y

90? , 即 BC ? AC .
??????7 分

因为 PA ^ 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所以 PA ? BC . 因 为

AC ? 平 面 PAC , PA ? 平 面 PAC ,

PA ? AC = A , 所以 BC ^ 平面 PAC .
因为 BC ? 平面 PBC , 所以 平面 PAC ^ 平面 PCB . (Ⅲ) 解: 如图, 以 C 为原点, CA 所在的直线为 x 轴, CB 所在的直线为 y 轴, 建立空间直角坐 标系 C ? xyz . 因为 ? CBA

30? , PA = AB = 2 ,

所以 CB = 2cos30?

3 , AC = 1 .延长 MO 交 CB 于点 D .
1 3 1 3 . = , CD = CB = 2 2 2 2

因为 OM ∥ AC , 所以 MD ^ CB, MD = 1 + 所以 P(1, 0, 2) , C (0,0,0) , B(0, 3,0) , M ( , 所以 CP = (1,0, 2) , CB = (0, 3,0) .

??? ?

??? ?

3 3 , 0) . 2 2

??? ? ì ? m ?CP ? 设平面 PCB 的法向量 m = ( x, y, z ) .因为 í ??? ? ? ? ? m ?CB
? 所以 ? í ì ( x, y, z ) ?(1, 0, 2) 0, ? ? ? ( x, y, z ) ?(0, 3, 0) 0, 令 z = 1 , 则 x = - 2, y = 0 .所以 m = (- 2,0,1) .
同理可求平面 PMB 的一个法向量 n ? 1, 3,1 . 所以 cos m, n ? 即? í

0, 0.

ì x + 2 z = 0, ? ? ? ? 3 y = 0.

???12 分

?

?

1 m?n 1 ? ? .所以 cos ? = . 5 m?n 5
034 - 29

9.(2010 北京) 如图, 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直, CE ? AC , EF ∥ AC , AB ? 2 , CE ? EF ? 1 . (Ⅰ) 求证: AF ∥平面 BDE ; (Ⅱ) 求证: CF ⊥平面 BDE ; (Ⅲ) 求二面角 A ? BE ? D 的大小.

证明: (I) 设 AC 与 BD 交于点 G,

1 因为 EF∥AG, 且 EF=1, AG= 2 AC=1,
所以四边形 AGEF 为平行四边形. 所以 AF∥EG. 因为 EG ? P 平面 BDE, AF ? 平面 BDE, 所以 AF∥平面 BDE. (II) 因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直, 且 CE⊥AC, 所以 CE⊥AC, 所以 CE⊥平面 ABCD. 如图, 以 C 为原点, 建立空间直角坐标系 C ? xyz. 则 C(0, 0, 0) ,A( 2 ,

2 2 2 , 0) , D( 2 , 0, 0) , E(0, 0, 1) , F( 2 , 2 , 1) .

2 2 ??? ? ??? ? ???? 所以 CF =( 2 , 2 , 1) , BE =(0, - 2 , 1) , DE =(- 2 , 0, 1) . ??? ? ??? ??? ? ???? ? BE = 0 ? 1+1=0, CF · DE =-1+0+1=0. 所以 CF ·
所以 CF⊥BE, CF⊥DE, 所以 CF⊥平面 BDE

2 2 ??? ? (III) 由(II) 知, CF =( 2 , 2 , 1) , 是平面 BDE 的一个法向量, ? n 设平面 ABE 的法向量 =(x,y,z) ,

034 - 30

BA =0, n · BE =0. 即 则n·

? ??? ?

? ??? ?

? ? ( x, y, z ) ? ( 2, 0, 0) ? 0 ? ? ?( x, y, z ) ? (0, ? 2,1) ? 0

所以 x=0, 且 z= 2 y. 令 y=1, 则 z= 2 . 所以 n=( 0,1, 2 ) ,

从而 cos( n , CF ) =

? ??? ?

? ??? ? n ? CF 3 ? ??? ? ? 2 n ? CF

? 因为二面角 A ? BE ? D 为锐角, 所以二面角 A ? BE ? D 为 6

034 - 31

三. 开放性问题 //开放. 定位 1. 如图, 在正四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中, 已知 AA1 = 4, AB = 2, 点 E 是棱 CC1 上的一个动点. (1) 求证: BE∥平面 AA1D1D (2) 当 CE = 1 时, 求二面角 B?ED?C 的余弦值 (3) 当 CE 等于何值时, A1C⊥平面 BDE
A1 B1 C1 D1
B1 A1 C1 D1 B1

//正切值 = 5 //CE = 1
A1 C1 D1

E A B C D
B A

E

F D A B

E D C

C

/* (1) (面面平行 ? 线面平行) ABCD? A1B1C1D1 为正四棱柱 ? 面 AA1D1D∥面 BB1C1C 而 BE ? 面 BB1C1C ∴ BE∥平面 AA1D1D (2) [法一] (直接法: 线面垂 ? 作平面角) 在面 BDE 内作 BF⊥ED 于 F, 连接 CF, 则?BFC 为所求二面角的平面角 [法二] (面积比) ∵BC⊥面 CDE ∴ △BDE 在面 CDE 上的正射影即为△CDE ∴ cos θ = S△CDE 6 = 6 S△BDE

(3) (面面垂 ? 线面垂) 由 “三垂” 易证 A1C⊥BD, 故只需 A1C⊥BE (或 DE)即可 A1C 在面 BCC1B1 内的正射影为 B1C 故只需 B1C⊥BE 由相似 ? CE = 1 */ //开放 2. 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形, AB∥DC,AC⊥BD,AC 与 BD 相交于 点 O, 且顶点 P 在底面上的射影恰为 O 点, 又 BO=2, PO= 2 ,PB⊥PD. (Ⅰ)求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值; (Ⅱ)求平面 PAB 与平面 ABC 的法向量所成的角的余弦值; (Ⅲ)设点 M 在棱 PC 上, 且
PM ? ? ,问? 为何值时, PC⊥平面 BMD. MC

034 - 32

P

P

P

M D O
2

C

D

2 1 2 1

C

D O A B

C

O A

A

B

E

B

/* 首先, 在 Rt△PBD 中, 由射影定理 ? OD = 1 ∴ CO = 1 [法一] (欧氏) (1) (平移 ? 线线角) 取 AB 的中点 E, 连接 ED, 易证 DE CB 连接 OE, 在 Rt△POE 中可求得 PE = 2 在△PDE 中, PD = 3 , DE = BC = 5 , PE = 2 ∴ cos?PDE = 2 15 15

(2) (直接法: 利用对称性?射影位置) 可求 PO 与面 PAB 所成的角. 由 PO、PA、PB 的对称 性可 “看出” PO 在面 PAB 上的射影在 PE 上, 且易证之. ∴ 所求为?OPE 在 Rt△POE 中易求得: cos?OEP = PO 2 2 = ∴ 所求的余弦值为? PE 2 2

(3) (线线垂直 ? 线面垂直) ∵OC⊥BD, 而 PC 在面 ABCD 内的正射影为 OC ∴ PC⊥BD (三垂) 故: 若要使 PC⊥面 BDM, 只需 DM⊥PC 或 BM⊥PC 或 OM⊥PC 等. 这里选取 OM⊥PC 更好算. 在 Rt△POC 中, OP = 2 , OC = 1, 若 OM⊥PC, 则由相似 ? ∴ λ = 2 时, 可得 PC⊥面 BDM [法二] (向量) → → → 建系: [O, OA, OB, OP] , 则 A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(?1, 0, 0), D(0, ?1, 0), P(0,0, 2 ) → → → → (1) PD = (0,1, 2 ), BC = (?1, ?2, 0) ∴ cos<PD, BC > = 2 5 ∴ PD 与 BC 成角的余弦值为 15 → → (2) 可求得平面 PAB 的法向量 n1 = ( 2, 2, 2 ), 平面 ABC 的法向量一看便知: n2 = (0,0,1) → → ∴ cos< n1 , n2 > = 2 2 = 2 8?1 ?2 2 5 =? 15 3? 5 PM =2 MC

→ → → → (3) PC ? BD = (?1, 0, ? 2 ) ? (0, ?3, 0) = 0 ? PC ⊥BD 故只需 DM⊥PC 或 BM⊥PC 或 OM⊥PC , 这里选取 OM⊥PC
034 - 33

→ → 设 M(x, y, z), 则由PM = λMC ? M(? → → 由 PC ? OM = (?1, 0, ? 2) ? (? */

λ 2 , 0, ) 1+λ 1+λ

λ 2 λ?2 , 0, )= =0 ?λ=2 1+λ 1+λ 1+λ

3. 2012 朝阳区高三年级第一次综合练习 17. (本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中 , 四边形 ABCD 为平行四边形 , ?ABD = 90 ? , EB ? 平面 ABCD ,

EF//AB , AB = 2 , EB = 3, EF =1 , BC = 13 , 且 M 是 BD 的中点.
(Ⅰ) 求证: EM// 平面 ADF ; (Ⅱ) 求二面角 D-AF-B 的大小; (Ⅲ) 在线段 EB 上是否存在一点 P , 使得 CP 与 AF 所成的角为 30 ? ? 若存在, 求出 BP 的长 度; 若不 存在, 请说明理由. F E D M A B A C N B M F E D C

(17) (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ) 取 AD 的中点 N , 连接 MN,NF . 在△ DAB 中, M 是 BD 的中点, N 是 AD 的中点, 所以 MN//AB,MN = AB , 又因为 EF//AB,EF =

1 2

1 AB , 所以 MN//EF 且 MN = EF . 2

所以四边形 MNFE 为平行四边形, 所以 EM//FN . 又因为 FN ? 平面 ADF ,
EM ? 平面 ADF ,

故 EM// 平面 ADF . 解法二 : 因为 EB ? 平面 ABD , AB ? BD , 故以 B 为原点 , 建立如图所示的空间直角坐标系

3 B - xyz . 由已知可得 B(0,0,0), A(0, 2,0), D(3,0,0), C(3,-2,0), E(0,0, 3), F (0,1, 3), M ( ,0,0) 2
034 - 34

( Ⅰ ) EM = ( ,0,- 3) ,AD= (3,-2,0) ,

????

??? ? AF = (0,-1, 3) .
设平面 ADF 的一个法向量是 n ? ( x, y,z ) . ??? ? ? ?n ? AD ? 0, ? ? 3x - 2 y = 0, 由 ? ??? 得? ? ? ?-y + 3z = 0. ? n ? AF ? 0, ? 令 y = 3 , 则 n ? (2,3, 3) . 又因为 EM ? n ? ( ,0,- 3) ? (2,3, 3) = 3 + 0 - 3 = 0 ,

3 2

??? ?

F

z E x D C

y

M A B

????

???? 所以 EM ? n , 又 EM ? 平面 ADF , 所以 EM // 平面 ADF .
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 可知平面 ADF 的一个法向量是 n ? (2,3, 3) . 因为 EB ? 平面 ABD , 所以 EB ? BD . 又因为 AB ? BD , 所以 BD ? 平面 EBAF . 故 BD ? (3,0,0) 是平面 EBAF 的一个法向量. ??? ? ??? ? BD ? n 1 = , 又二面角 D- AF - B 为锐角, 所以 cos < BD,n ?? ??? ? BD ? n 2 故二面角 D- AF - B 的大小为 60 ? . ?????10 分

3 2

??? ?

(Ⅲ) 假设在线段 EB 上存在一点 P , 使得 CP 与 AF 所成的角为 30 ? . 不妨设 P(0,0, t) ( 0 ? t ? 3 ) , 则 PC = (3,-2,-t ), AF = (0,-1, 3) . ??? ? ??? ? PC ? AF 2 - 3t ??? ? ??? ? 2 - 3t 3 所以 cos < PC,AF ?? ??? , 由题意得 , ? ? ??? ? ? 2 2 2 PC ? AF 2 t +13 2 t +13 化简得 ?4 3t ? 35 , 解得 t ? ?

??? ?

??? ?

35 4 3

? 0.

所以在线段 EB 上不存在点 P , 使得 CP 与 AF 所成的角为 30 ? .????14 分 4.西城区 2012 年高三二模试卷 16. (本小题满分 14 分) 如 图 , 直 角 梯 形 ABCD 与 等 腰 直 角 三 角 形 ABE 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 . AB ∥ CD ,

AB ? BC , AB ? 2CD ? 2 BC , EA ? EB . (Ⅰ) 求证: AB ? DE ;
(Ⅱ) 求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; (Ⅲ) 线段 EA 上是否存在点 F , 使 EC // 平面 FBD ?若存在, 求出

EF ; 若不存在, 说明理由. EA

034 - 35

E

B C D

A

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ) 证明: 取 AB 中点 O , 连结 EO , DO . 因为 EB ? EA , 所以 EO ? AB . 因为四边形 ABCD 为直角梯形 , AB ? 2CD ? 2 BC ,

AB ? BC ,
所 以 四 边 形 OBCD 为 正 方 形 , 所 以

AB ? OD . ?????2 分
所以 AB ? 平面 EOD . 所以 AB ? ED . ??????3 分 ??????4 分

(Ⅱ) 解: 因为平面 ABE ? 平面 ABCD , 且 EO ? AB , 所以 EO ? 平面 ABCD , 所以 EO ? OD . 由 OB, OD, OE 两两垂直, 建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . ????5 分 因 为 三 角 形 EAB 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 所 以 OA ? OB ? OD ? OE , 设 OB ? 1 , 所 以

O( 0 , 0 , 0 A ) ,? ( 1, 0 , B0 ) , (1, C0 , 0 ) , D (1, 1, 0 ) ( ,E 0 ,(0 0,,1) 1, 0 ) , . ??? ? 所以 EC ? (1,1,?1) , 平面 ABE 的一个法向量为 OD ? (0,1,0) .
设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 ? ,

??? ? ???? ??? ? ???? | EC ? OD | 3 ? ???? ? 所以 sin ? ? | cos? EC, OD? | ? ??? , | EC || OD | 3
即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 (Ⅲ) 解: 存在点 F , 且 证明如下: 由 EF ?

3 . 3

??????9 分 ??????10 分

EF 1 ? 时, 有 EC // 平面 FBD . EA 3

1 1 1 1 2 4 2 EA ? (? ,0,? ) , F (? ,0, ) , 所以 FB ? ( ,0,? ) . 3 3 3 3 3 3 3 ??? ? ? ?v ? BD ? 0, 设平面 FBD 的法向量为 v ? (a, b, c) , 则有 ? ??? ? ? ?v ? FB ? 0.

034 - 36

??a ? b ? 0, ? 所以 ? 4 取 a ? 1 , 得 v ? (1,1,2) . 2 a ? z ? 0. ? 3 ?3

??????12 分

因为 EC ? v ? (1,1,?1) ? (1,1,2) ? 0 , 且 EC ? 平面 FBD , 所以 EC // 平面 FBD . 即点 F 满足

EF 1 ? 时, 有 EC // 平面 FBD . EA 3

??????14 分

四. 创新性问题 1 轨迹 1. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有一动点 P 到棱 A1B1 与棱 BC 的距离相等, 则动 点 P 所在曲线的形状为_______ 则动点 C 的轨迹是( A ) (A) 一条直线 (B) 一个圆 (C) 一个椭圆 (D) 双曲线的一支 //抛物线在面 ABB1A1 内的部分. 如图, 即 PM = PB 2. (06 北京) 平面 ? 的斜线 AB 交 ? 于点 B , 过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直, 且交 ? 于点 C ,

P 作垂直于平 3. (09 北京) 8. 如图, 动点 P 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的对角线 BD 1 上. 过点
面 BB1D1D 的直线, 与正方体表面相交于 M ,N . 设 BP ? x , MN ? y , 则函数 y ? f ( x) 的 图象大致是( B ) D1 A1 D A M B1 P N B C1 y y y y

C

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

4. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 侧面 PAD 为正三角形, 底面 ABCD 为正方形, 侧面 PAD⊥底 M 为底面 ABCD 内的一个动点, 且满足 MP ? MC , 则点 M 在正方形 ABCD 内 的轨迹为(A)

P D A B

C

5. 正三棱锥 S ? ABC 中, 侧面 SAB 与底面 ABC 所成的二面角等于 ? , 动点 P 在侧面 SAB 内, PQ ? 底面 ABC , 垂足为 Q , PQ ? PS ? sin ? , 则动点 P 的轨迹为( D ) A. 线段 B. 圆 C. 一段圆弧 D. 一段抛物线
034 - 37

6. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 2 , 将 ?ABC 沿对角线 AC 折起 , 使平面 ABC ? 平面

ACD , 得到如图所示的三棱锥 B ? ACD . 若 O 为 AC 边的中点 , M , N 分别为线段 DC , BO 上 的 动 点 ( 不 包 括 端 点 ) , 且 BN ? CM . 设 BN ? x , 则 三 棱 锥 N ? A MC的 体 积

y ? f ( x) 的函数图象大致是( B )

7. 如图, P 是正方体 ABCD—A1B1C1D1 对角线 AC1 上一动点, 设 AP 的长度为 x, 若△PBD 的面 积为 f ( x ) , 则 f ( x ) 的图象大致是( A )
D1 A1 P B1 C1

A

D B

C

2 其他 8. 2012 海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习 (8) 在正方体 ABCD - A ' B ' C ' D ' 中, 若点

P (异于点 B ) 是棱上一点, 则满足 BP 与 AC ' 所成的角为 45 ° 的点 P 的个数为
(A) 0
A B C A' B' C'

(B) 3
D

(C) 4

(D) 6

D'

9. 东城区 2011 ? 2012 学年度第二学期高三综合练习 (一 ) (14) 如图 , 在边长为 3 的正方形

? ABCD 中 , 点 M 在 AD 上 , 正方形 ABCD 以 AD 为轴逆时针旋转 ? 角(0 ≤ ? ≤ ) 到 3 ????? ???? ? AB1C1D 的位置 , 同时点 M 沿着 AD 从点 A 运动到点 D , MN1 ? DC1 , 点 Q 在 MN1 上, 在 ???? ? 1 运动过程中点 Q 始终满足 QM ? , 记点 Q 在面 ABCD 上的射影为 Q0 , 则在运动过程 cos ? ???? ? ???? ? 6 中向量 BQ0 与 BM 夹角 ? 的正切的最大值为 . (14) 12
034 - 38

C1

N1 B1 Q

D M Q0

C

A

B

10.东城区 2010 ? 2011 学年度综合练习(一) (8) 空间点到平面的距离定义如下: 过空间一点作 平面的垂线, 这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 已知平面 ? , ? , ? 两 两互相垂直, 点 A ∈ ? , 点 A 到 ? , ? 的距离都是 3 , 点 P 是 ? 上的动点, 满足 P 到 ? 的距离 是到 P 到点 A 距离的 2 倍, 则点 P 的轨迹上的点到 ? 的距离的最小值是( A ) (A)

3? 3

(B) 3 ? 2 3

(C) 6 ? 3

(D)

3

034 - 39


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