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三角函数竞赛培训题[1]


竞赛三角函数讲义
一, 三角公式

sin 2 α + cos 2 α = 1 , + tan 2 α = sec 2 α , + cot 2 α = csc 2 α 1 1 sin α sin α 1. 同角关系公式: tan α = cos sin , α= , α = tan α cos α cos α tan α tan α cot = 1 , α sec α = 1 , α sin α = 1 cos csc
1 重要作用:○已知 α 某一个三角函数,可求出 α 其他所有三角函数值; 2 ○弦,切互化,注意齐次式的应用; 3 ○三角代换:将多变量问题转化为 α 角单变量问题解决.

2. 诱导公式: 2kπ + α ,π α ,π + α , π α , α 及 2

π

3π 3π π + α , α , + α , α 的各三角函数与 α 的三角函数关系 2 2 2 2

1 重要作用:○可将任意复杂角的三角函数化为锐角(简单角)的三角函数; 2 ○异名三角函数化为同名三角函数.

sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos 2 α sin 2 α = 1 2 sin 2 α = 2 cos 2 α 1 3. 倍角及降次公式: sin 2 α = 1 cos 2α , 2 α = 1 + cos 2α cos 2 2 2 tan α tan 2α = 1 tan 2 α
1 重要作用:○升角降幂,升幂降角的变化; 2 ○若出现 sin α ± cos α 及 sin α cos α ,可用变量代换化简, 即设 sin α ± cos α = t ,求出 sin α cos α 的关于 t 的代数式.

sin
4. 半角公式:

α
2

=± =±

α 1 cos α 1 + cos α cos = ± , , 2 2 2
1 cos α 1 cos α sin α = = 1 + cos α sin α 1 + cos α

tan

α
2

重要作用:同上,并注意角的倍,半的相对性. 5. 万能公式: sin 2α =

2 tan α 1 tan 2 α 2 tan α cos tan , 2α = , 2α = 2 2 1 + tan α 1 + tan α 1 tan 2 α

重要作用:用 tan α 这一个变量表示了 2 α 的所有三角函数,甚至可表示

sin 2 α , 2 α ,即:消元思想. cos
6. 和差化积与积化和差公式:

1

2 2 α+β αβ sin α sin β = 2 cos sin 2 2 α+β αβ cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α+β αβ cos α + cos β = 2 sin cos 2 2

sin α + sin β = 2 sin

α+β

cos

αβ

1 sin α cos β = [sin(α + β ) + sin(α β )] 2 1 cos α sin β = [sin(α + β ) sin(α β )] 2 1 cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α β )] 2 1 sin α sin β = [cos(α + β ) cos(α β )] 2

重要作用:注意观察两角的和或差是否为定值而消元等 7. 化单式及三倍角公式:
1 ○

2 a sin α + b cos α = a 2 + b (sin α cos + cos α sin )

= a 2 + b 2 sin α + ) (

,也可向余弦上去化

2 ○ sin 3α = 3 sin α 4 sin 3 α , 3α = 4 cos 3 α 3 cos α cos

注意:公式的形成过程及 180,360,540,720 之间关系及求值 二, y = A sin ωx + ) k , = A cos ωx + ) k , = A tan ωx + ) k y y ( + ( + ( + 图象,性质(单调性,奇偶性,周期性,对称性(轴,中心)等) , 尤其是五点法作图及他们图象间的四种变换. 三,利用三角函数图象,会解三角不等式. 四,三角函数与函数,数列,解三角形,不等式,解析几何,立体几何等内容联系.

1.三角函数的图象和性质 .
1.如下图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b. (1)求这段时间的最大温差. (2)写出这段曲线的函数解析式.

2

2.设二次函数 f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论 α ,β为何实数恒有 f(sin α )≥0 和 f(2+cosβ)≤0. (1)求证:b+c=-1; (2)求证 c≥3; (3)若函数 f(sin α )的最大值为 8,求 b,c 的值.

3.是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+acosx+ 在,求出对应的 a 值;若不存在,试说明理由.

5 3 π a- 在闭区间[0, ]上的最大值是 1?若存 8 2 2

4.用一块长为 a,宽为 b(a>b)的矩形木板,在二面角为 α 的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓,试 问应怎样围才能使谷仓的容积最大?并求出谷仓容积的最大值.

3

5.函数 f(x)=cos2x+sin(

π
2

+x)是(

) B.仅有最小值的奇函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数

A.非奇非偶函数 C.仅有最大值的偶函数 6.函数 f(x)=(

1 |cosx| ) 在[-π,π]上的单调减区间为_________. 3

, , ]上单调递增,则ω的取值范围是_________. 3 4 8.有一块半径为 R,中心角为 45°的扇形铁皮材料,为了获取面积最大的矩形铁皮,工人师傅常让矩 形的一边在扇形的半径上,然后作其最大内接矩形,试问:工人师傅是怎样选择矩形的四点的?并求出 最大面积值.

7.设ω>0,若函数 f(x)=2sinωx 在[-

π π

9.设-

π
6

≤x≤

π
4

,求函数 y=log2(1+sinx)+log2(1-sinx)的最大值和最小值.

2. 三角函数式的化简与求值 1.不查表求 sin220°+cos280°+ 3 cos20°cos80°的值.

4

2.设关于 x 的函数 y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a),试确定满足 f(a)= 时的 a 值求 y 的最大值.

1 的 a 值,并对此 2

3.已知函数 f(x)=2cosxsin(x+

π
3

)- 3 sin2x+sinxcosx

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值; (3)若当 x∈[

π
12

,

7π - - ]时,f(x)的反函数为 f 1(x),求 f- 1(1)的值. 12

4.已知 cos α +sinβ= 3 ,sin α +cosβ的取值范围是 D,x∈D,求函数 y= log 1
2

2x + 3 的最小值, 4 x + 10

并求取得最小值时 x 的值.

5

5.已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tan α ,tanβ,且 α ,β∈(- 值是( A. )

π π
2 2 ,

),则 tan

α+β
2



1 2

B.-2

C.

4 3

D.

1 或-2 2

3 π 1 , α ∈( ,π),tan(π-β)= ,则 tan( α -2β)=_________. 5 2 2 π 3π π π 3 3π 5 7.设 α ∈( , ),β∈(0, ),cos( α - )= ,sin( +β)= ,则 sin( α +β)=_________. 4 4 4 4 5 4 13 π 3π 12 3 8.已知 <β< α < ,cos( α -β)= ,sin( α +β)=- ,求 sin2 α 的值_________. 2 4 13 5
6.已知 sin α = 9.不查表求值:

2 sin 130° + sin100°(1 + 3 tan 370°) 1 + cos10°
+x)=

.

10.已知 cos(

π
4

3 17π 7π sin 2 x + 2 sin 2 x , ( <x< =,求 的值. 5 12 4 1 tan x

11.已知 α -β=

1 cos(π α ) π β 8 π,且 α ≠kπ(k∈Z).求 4 sin 2 ( ) 的最大值及最大值时的条件. α α 4 4 3 csc sin 2 2

12.如右图,扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四边形 PQRS 是扇形的内接 矩形,当其面积最大时,求点 P 的位置,并求此最大面积.

3.三角形中的三角函数式 . 1.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 满足 A+C=2B.

1 1 2 AC + = ,求 cos 的值. cos A cos C cos B 2

2.在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站 P,上午 11 时, 测得一轮船在岛北 30°东,俯角为 60°的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛 北 60°西,俯角为 30°的 C 处. (1)求船的航行速度是每小时多少千米; (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距岛 A 有 多远?

6

3.已知△ABC 的三内角 A,B,C 满足 A+C=2B,设 x=cos (1)试求函数 f(x)的解析式及其定义域; (2)判断其单调性,并加以证明; (3)求这个函数的值域.

AC 1 1 ,f(x)=cosB( ). + 2 cos A cos C

4.给出四个命题:(1)若 sin2A=sin2B,则△ABC 为等腰三角形;(2)若 sinA=cosB,则△ABC 为直角 三角形;(3)若 sin2A+sin2B+sin2C<2,则△ABC 为钝角三角形;(4)若 cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1, 则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.在△ABC 中,已知 A,B,C 成等差数列,则 tan

A C A C + tan + 3 tan tan 的值为__________. 2 2 2 2 4 4 6. 在△ABC 中, 为最小角, 为最大角, A C 已知 cos(2A+C)=- , sinB= , cos2(B+C)=__________. 则 3 5 7.已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形 ABCD 的面积.

8.如右图,在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯,桌子边缘一点处的照 度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比,角和这一点到光源的 sinθ 距离 r 的平方成反比,即 I=k 2 ,其中 k 是一个和灯光强度有关的常数,那么 r 怎样选择电灯悬挂的高度 h,才能使桌子边缘处最亮?

7

9.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 4 sin 2 (1)求角 A 的度数; (2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值.

B+C 7 cos 2 A = . 2 2

10.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,且 a,b,3c 成等比数列,又∠A-∠ C=

π
2

,试求∠A,∠B,∠C 的值.

11.在正三角形 ABC 的边 AB,AC 上分别取 D,E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时,顶点 A 正好落 在边 BC 上,在这种情况下,若要使 AD 最小,求 AD:AB 的值.

4.三角函数综合训练 . 1.如图:一根木棒 AB 长 2 米,斜靠在墙壁 AC 上,∠ ABC= 60 ,
0

A A1 D D1 C

如果棒的两端 A,B 分别沿 AC,CB 方向滑动至 A1 , B1 , 且 AA1 = ( 3 2) 米,则棒的中点 D 随之运动至

D1 所经过的路程是(
A.

)米? C.

B

π
3

12 24 AB AC AB AC 1 2.已知非零向量 AB 与 AC 满足 ( + ).BC = 0 且 . = . 则 ABC 为( ) AB AC AB AC 2
(A)等边三角形 (C)等腰非等边三角形
o

B.

π
4

π

D.

π

B1

(B)直角三角形 (D)三边均不相等的三角形

3.设平面向量 a1 , a2 , a3 的和 a1 + a2 + a3 = 0 .如果向量 b1 , b2 , b3 ,满足 bi = 2 ai ,且 ai 顺时 针旋转 30 后与 bi 同向,其中 i = 1, 2,3 ,则 A. b1 + b2 + b3 = 0 C. b1 + b2 b3 = 0 B. b1 b2 + b3 = 0 D. b1 + b2 + b3 = 0

4.已知 | a |= 2 | b |≠ 0 ,且关于 x 的方程 x 2 + | a | x + a b = 0 有实根,则 a 与 b 的夹角的取值范围是 ( )

,π ] 6 3 3 3 6 5.如果 A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则( ) A. A1 B1C1 和 A2 B2C2 都是锐角三角形 B. A1 B1C1 和 A2 B2C2 都是钝角三角形
A.[0, ] B. [ C. [

π

π

,π ]

π 2π
,

]

D. [

π

8

C. A1 B1C1 是钝角三角形, A2 B2C2 是锐角三角形 D. A1 B1C1 是锐角三角形, A2 B2C2 是钝角三角形 6. ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a,b,c 成等比数列,且 c = 2a ,则 cos B = 7. cot 20° cos 10° + 3 sin 10° tan 70° 2 cos 40° =
8.如图,已知△ABC 是边长为 1 的正三角形,M,N 分别是 边 AB,AC 上的点,线段 MN 经过△ABC 的中心 G,

设∠MGA=α(

π
3

≤α ≤

2π ) 3

(1) 试将△AGM,△AGN 的面积(分别记为 S1 与 S 2) 表示为α的函数 (2) 求 y=

A

1 1 + 2 的最大值与最小值 2 S1 S2
M B

N G

C

9.如图 3,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= α ,∠ABC= β .

(1)证明 sin α + cos 2 β = 0 ; (2)若 AC= 3 DC,求 β 的值.

A

α β
B

图3

D

C

10.已知函数 f(x)=A sin (ω x + ) (A>0, ω >0,0< <
2

π
2

函数,且 y=f(x)的最大值为 2,其图象相邻两对称

轴间的距离为 2,并过点(1,2). 29. (2006 年湖北卷)设函数

f ( x ) = a (b + c ) ,其中向量
9

a = (sin x, cos x ), b = (sin x,3 cos x ) c = ( cos x, sin x ), x ∈ R .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期; 度最小的 d .

(Ⅱ)将函数 y = f ( x ) 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长

三角函数(答案) 三角函数(答案) 1.三角函数的图象和性质 .
1.如下图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b. (1)求这段时间的最大温差. (2)写出这段曲线的函数解析式.

解:(1)由图示,这段时间的最大温差是 30-10=20(℃); (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象.

1 2π π 1 1 π =14-6,解得ω= ,由图示 A= (30-10)=10, b= (30+10)=20, 这时 y=10sin( x+φ)+20, 2 ω 8 2 2 8 3 π 将 x=6,y=10 代入上式可取φ= π.综上所求的解析式为 y=10sin( x+ 4 8 3 π)+20,x∈[6,14]. 4 2.设二次函数 f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论 α ,β为何实数恒有 f(sin α )≥0 和 f(2+cosβ)≤0. (1)求证:b+c=-1;(2)求证 c≥3; (3)若函数 f(sin α )的最大值为 8,求 b,c 的值. 解:(1)∵-1≤sin α ≤1 且 f(sin α )≥0 恒成立,∴f(1)≥0 ∵1≤2+cosβ≤3,且 f(2+cosβ)≤0 恒成立.∴f(1)≤0. 从而知 f(1)=0∴b+c+1=0.

10

(2)由 f(2+cosβ)≤0,知 f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因为 b+c=-1,∴c≥3. (3)∵f(sin α )=sin2 α +(-1-c)sin α +c=(sin α -

1+ c 2 1+ c 2 ) +c-( ( )) , 2 2

1 b + c = 8 当 sin α =-1 时, [f(sin α )]max=8,由 解得 b=-4,c=3. 1 + b + c = 0
3.是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+acosx+ 在,求出对应的 a 值;若不存在,试说明理由.

5 3 π a- 在闭区间[0, ]上的最大值是 1?若存 8 2 2

5 3 a a2 5 1 解 : y = 1 cos 2 x + a cos x + a = (cos x ) 2 + + a . 8 2 2 4 8 2 当0 ≤ x ≤ 若

π
2

时,0 ≤ cos x ≤ 1.

a 5 3 20 > 1时, 即a > 2, 则当 cos x = 1时, y max = a + a = 1 a = < 2(舍去), 2 8 2 13

1 a a a2 5 ≤ 1, 即0 ≤ a ≤ 2, 则当 cos x = 时, y max = + a =1 2 2 4 8 2 3 a = 或a = 4 < 0(舍去). 2 5 1 12 a 若 < 0, 即a < 0, 则当 cos x = 0时, y max = a = 1 a = > (舍去). 2 8 2 5 若0 ≤
3 符合题设. 2 4.用一块长为 a,宽为 b(a>b)的矩形木板,在二面角为 α 的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓,试 问应怎样围才能使谷仓的容积最大?并求出谷仓容积的最大值. 解:如图,设矩形木板的长边 AB 着地,并设 OA=x,OB=y,则 a2=x2+y2 -2xycos α ≥2xy- 2xycos α =2xy(1-cos α ).
综合上述知,存在 a =

∵0< α <π,∴1-cos α >0,∴xy≤

a2 (当且仅当 x=y 时取"="号),故此时谷仓的容积 2(1 cos α)

的最大值 V1=(

a 2 b sin α 1 α 1 xysin α )b= = a 2 b cos .同理,若木板短边着地时,谷仓的容积 V 的最大 4(1 cosα ) 4 2 2

值 V2=

1 2 α ab cos , 4 2 ∵a>b,∴V1>V2 从而当木板的长边着地,并且谷仓的底面是以 a 为底边的等腰三角形时,谷仓的容积最大,其最大
11

值为

1 2 α a bcos . 4 2

5.函数 f(x)=cos2x+sin(

π
2

+x)是(

)

A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数 C.仅有最大值的偶函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数 π 1 2 1 解析:f(x)=cos2x+sin( +x)=2cos2x-1+cosx=2[(cosx+ ) ]-1. 8 2 2 2 答案:D 6.函数 f(x)=(

1 |cosx| ) 在[-π,π]上的单调减区间为_________. 3 π π 解:在[-π,π]上,y=|cosx|的单调递增区间是[- ,0]及[ ,π].而 f(x)依|cosx|取值 2 2 π π 的递增而递减,故[- ,0]及[ ,π]为 f(x)的递减区间. 2 2
7.设ω>0,若函数 f(x)=2sinωx 在[-

, , ]上单调递增,则ω的取值范围是_________. 3 4 π π π π 解:由- ≤ωx≤ ,得 f(x)的递增区间为[- , ] ,由题设得 2 2 2ω 2ω π π 2ω ≤ 3 3 π π π π 3 [ , ] [ , ],∴ 解得 : ω ≤ ,∴ 0 < ω ≤ . 3 4 2ω 2ω 2 2 π ≥π 2ω 4 8.有一块半径为 R,中心角为 45°的扇形铁皮材料,为了获取面积最大的矩形铁皮,工人师傅常让矩 形的一边在扇形的半径上,然后作其最大内接矩形,试问:工人师傅是怎样选择矩形的四点的?并求出 最大面积值. 解:如下图,扇形 AOB 的内接矩形是 MNPQ,连 OP,则 OP=R,设∠AOP=θ,则 PQ R ∠QOP=45°-θ,NP=Rsinθ,在△PQO 中, , = sin(45° θ) sin 135°

π π

∴PQ= 2 Rsin(45°-θ).S -

矩形

MNPQ=QPNP=

2 R2sinθsin(45°-θ)=

2 2 R [cos(2θ-45°) 2

2 2 1 2 ]≤ R ,当且仅当 cos(2 θ -45°)=1,即 θ=22.5°时,S 矩形 MNPQ 的值最大且最大值为 2 2 2 1 2 R. 2 工人师傅是这样选点的,记扇形为 AOB,以扇形一半径 OA 为一边,在扇形上作角 AOP 且使∠ AOP=22.5°,P 为边与扇形弧的交点,自 P 作 PN⊥OA 于 N,PQ‖OA 交 OB 于 Q,并作 OM⊥OA 于
M,则矩形 MNPQ 为面积最大的矩形,面积最大值为

2 1 2 R. 2
12

9.设-

π
6

≤x≤

π
4

,求函数 y=log2(1+sinx)+log2(1-sinx)的最大值和最小值.

π π , ]上,1+sinx>0 和 1-sinx>0 恒成立,∴原函数可化为 y= 6 4 π π log2(1-sin2x)=log2cos2x,又 cosx>0 在[- , ]上恒成立,∴原函数即是 y=2log2cosx,在 x∈[ 6 4
解:∵在[- -

π π 2 , ] 上, ≤cosx≤1. 6 4 2 上,ymax=0, ymin=-1.

∴log2

2 π π ≤log2cosx≤log21, 即-1≤y≤0, 也就是在 x∈ [- , ] 2 6 4

2. 三角函数式的化简与求值 1.不查表求 sin220°+cos280°+ 3 cos20°cos80°的值. 解法一:sin220°+cos280°+ 3 sin220°cos80°

1 1 (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 3 sin20°cos80° 2 2 1 1 =1- cos40°+ cos160°+ 3 sin20°cos(60°+20°) 2 2 1 1 =1- cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°sin40°)+ 3 sin20°(cos60°cos20°-sin60° 2 2 sin20°)
=

1 1 3 3 3 cos40°- cos40°- sin40°+ sin40°- sin220° 2 4 4 4 2 3 3 1 =1- cos40°- (1-cos40°)= 4 4 4
=1- 解法二:设 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80° y=cos220°+sin280°- 3 cos20°sin80°,则 x+y=1+1- 3 sin60°=

1 ,x-y=-cos40°+cos160°+ 3 sin100° 2

=-2sin100°sin60°+ 3 sin100°=0 ∴x=y=

1 1 ,即 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°= . 4 4 1 的 a 值,并对此 2

2.设关于 x 的函数 y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a),试确定满足 f(a)= 时的 a 值求 y 的最大值. 解:由 y=2(cosx-

a 2 a 2 4a + 2 )- 及 cosx∈[-1,1]得: 2 2

( a ≤ 2) 1 2 a 2a 1 ( 2 < a < 2) f(a)= 2 ( a ≥ 2) 1 4a

13

1 1 1 a2 1 ,∴1-4a= a= [2,+∞ ) ;故- -2a-1= ,解得:a=-1,此时, 2 2 8 2 2 1 1 y=2(cosx+ )2+ ,当 cosx=1 时,即 x=2kπ,k∈Z,ymax=5. 2 2
∵f(a)= 3.已知函数 f(x)=2cosxsin(x+

π
3

)- 3 sin2x+sinxcosx

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值; (3)若当 x∈[

π
12

,

7π - - ]时,f(x)的反函数为 f 1(x),求 f- 1(1)的值. 12

解:(1)f(x)=2cosxsin(x+ =2cosx(sinxcos

π
3

)- 3 sin2x+sinxcosx

π
3

+cosxsin

π
3

)- 3 sin2x+sinxcosx

=2sinxcosx+ 3 cos2x=2sin(2x+ (2)当 2x+

π
3

)

∴f(x)的最小正周期 T=π

π
3

=2kπ-

π
2

,即 x=kπ-

5π (k∈Z)时,f(x)取得最小值-2. 12

(3)令 2sin(2x+

], 2 π π 3π π 5π π π - ∴2x+ ∈[ , ],∴2x+ = ,则 x= ,故 f- 1(1)= . 3 3 2 3 6 4 4

π

3

)=1,又 x∈[

π 7π
2 ,

4.已知 cos α +sinβ= 3 ,sin α +cosβ的取值范围是 D,x∈D,求函数 y= log 1
2

2x + 3 的最小值, 4 x + 10

并求取得最小值时 x 的值. 解: u=sinα+cosβ.则 u2+( 3 )2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u2≤1,-1≤u 设 ≤1.即 D=[-1,1],设 t= 2 x + 3 ,∵-1≤x≤1,∴1≤t≤ 5 .x=

t2 3 . 2

∴M =

2x + 3 t 1 1 2 = 2 = ≤ = . 4 4 2 4 x + 10 2t + 4 8 2t + t

4 2 当且仅当2t = ,即t = 2时, M max = .∵ y = log 0.5 M在M > 0时是减函数, t 8 2 5 1 = log 0.5 2 log 0.5 8 = 时, 此时t = 2 , 2 x + 3 = 2 , x = . 8 2 2 2 5.已知方程 x +4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tan α ,tanβ,且 α ,β∈ π π α+β (- , ),则 tan 的值是( ) 2 2 2 1 4 1 A. B.-2 C. D. 或-2 2 3 2 解析:∵a>1,tanα+tanβ=-4a<0. π π π α+β π ∈(- ,0),又 tan( α + tan α +tanβ=3a+1>0,又 α ,β∈(- , )∴ α ,β∈(- ,θ),则 2 2 2 2 2 ∴ y min = log 0.5
14

tan α + tan β 4a 4 β)= = = , 又 tan(α + β) = 1 tan α tan β 1 (3a + 1) 3
整理得 2tan2 6.已知 sin α =

α+β α+β + 3 tan 2 =0.解得 tan α + β =-2. 答案:B 2 2 2

α+β 4 2 = , α+β 3 1 tan 2 2 2 tan

3 π 1 , α ∈( ,π),tan(π-β)= ,则 tan( α -2β)=_________. 5 2 2 3 π 4 解析:∵sinα= ,α∈( ,π),∴cosα=- 5 2 5 3 1 1 则 tanα=- ,又 tan(π-β)= 可得 tanβ=- , 4 2 2
1 2 × ( ) 2 tan β 2 = 4. tan 2β = = 2 3 1 tan β 1 ( 1 ) 2 2 3 4 ( ) tan α tan 2 β 7 4 3 tan(α 2β) = = = 1 + tan α tan 2β 1 + ( 3 ) × ( 4 ) 24 4 3
答案:

7 24

3 3π 5 ,sin( +β)= ,则 sin( α +β)=_________. 4 4 4 4 5 4 13 π 3π π π π 3 解析:α∈( , ),α- ∈(0, ),又 cos(α- )= . 4 4 4 2 4 5
7.设 α ∈(

π 3π
,

),β∈(0,

π

),cos( α -

π

)=

π 4 π 3π 3π 3π 5 3π 12 ∴ sin(α ) = , β ∈ (0, ).∴ + β ∈ ( , π).sin( + β) = ,∴ cos( + β) = . 4 5 4 4 4 4 13 4 13 π 3π π ∴ sin(α + β) = sin[(α ) + ( + β) ] 4 4 2 π 3π = cos[(α ) + ( + β)] 4 4 3π 3π 3 12 4 5 56 π π = cos(α ) cos( + β) + sin(α ) sin( + β) = × ( ) + × = . 4 4 4 4 5 13 5 13 65 56 即sin(α + β) = 65
答案: 8.已知

56 65

3π 12 3 ,cos( α -β)= ,sin( α +β)=- ,求 sin2 α 的值_________. 2 4 13 5 π 3π π 3π 解法一:∵ <β< α < ,∴0< α -β< .π< α +β< , 2 4 4 4 5 4 ∴sin( α -β)= 1 cos 2 (α β ) = , cos(α + β ) = 1 sin 2 (α + β ) = . 13 5 ∴sin2 α =sin[( α -β)+( α +β)]
<β< α <
15

π

=sin( α -β)cos( α +β)+cos( α -β)sin( α +β)

5 4 12 3 56 × ( ) + × ( ) = . 13 5 13 5 65 5 4 解法二:∵sin(α-β)= ,cos(α+β)=- , 13 5 72 ∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α-β)=- 65 40 sin2α-sin2β=2cos(α+β)sin(α-β)=- 65 1 72 40 56 ∴sin2α= ( )= 2 65 65 65 =
9.不查表求值: 答案:2

2 sin 130° + sin100°(1 + 3 tan 370°) 1 + cos10°

.

10.已知 cos(

π
4

+x)=

3 17π 7π sin 2 x + 2 sin 2 x , ( <x< =,求 的值. 5 12 4 1 tan x

3 7 π + x) = ,∴ sin 2 x = cos 2( + x) = . 5 4 25 4 17π 7 5π 4 π π 又 < x < π ,∴ < x + < 2π ,∴ sin( x + ) = 12 4 3 4 4 5 2 2 sin 2 x + 2 sin x 2 sin x cos x + 2 sin x 2 sin x(sin x + cos x) cos x = = sin x 1 tan x cos x sin x 1 cos x 7 4 π × ( ) sin 2 x sin( + x) 5 = 28 4 = = 25 3 π 75 cos( + x) 4 5 解 : cos( ∵
11.已知 α -β= 条件.

π

1 cos(π α ) π β 8 π,且 α ≠kπ(k∈Z).求 4 sin 2 ( ) 的最大值及最大值时的 α α 4 4 3 csc sin 2 2

16

解 : 令t =

1 cos(π α ) csc

α

=

sin

α
2

2

sin

α

4 sin 2 (

π
4



β
4

)

2 1 cos(

(1 + cos α )

π

1 sin 2

α
2

4

2 2



β

2 =

)

sin

α
2

2 cos 2

α

cos 2 cos

α
2

2 4( 1 1 sin β ) 2 2 2

2 2 2 8 2α π 8 α β 3 = α 2π . ∵ α β = π ,∴ = 3 4 4 2 3 α 2 1 α 2π ∴ t = 4 sin( π ) × ( ) 2 = 2 sin( )2 2 3 2 2 3 2 2
α 2 kπ 2π (k∈Z) π≠ Z 2 3 2 3 α 2π π π α 2 ∴当 = 2kπ , 即 α = 4kπ + (k∈Z)时, sin( π) 的最小值为-1. Z 2 3 2 3 2 3
∵ α ≠ kπ (k∈Z),∴ Z
12.如右图,扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四边形 PQRS 是扇形的内接 矩形,当其面积最大时,求点 P 的位置,并求此最大面积. 解:以 OA 为 x 轴.O 为原点,建立平面直角坐标系,并设 P 的坐标为(cosθ,sin θ),则 |PS|=sinθ.直线 OB 的方程为 y= 3 x,直线 PQ 的方程为 y=sinθ.联立解之得 Q(

= 2(sin

α

+ sin

β

) 2 = 4 sin

α+β

α β

3 3 sinθ;sinθ),所以|PQ|=cosθ- sinθ. 3 3 3 3 3 3 于 是 SPQRS=sin θ (cos θ - sin θ )= ( 3 sin θ cos θ - sin2 θ )= ( sin2 θ - 3 3 3 2 1 cos 2θ 3 3 1 1 3 π 3 )= ( sin2θ+ cos2θ- )= sin(2θ+ )- . 2 3 2 2 2 3 6 6 π π π 5 1 π ∵0<θ< ,∴ <2θ+ < π.∴ <sin(2θ+ )≤1. 3 6 6 6 2 6
∴sin(2θ+

π 3 π )=1 时, PQRS 面积最大, 且最大面积是 , 此时, = , P 为 θ 点 6 6 6 3.三角形中的三角函数式 .

的中点, P(

3 1 , ). 2 2

1.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 满足 A+C=2B. 解法一:由题设条件知 B=60°,A+C=120°. 设α =

1 1 2 AC + = ,求 cos 的值. cos A cos C cos B 2

AC ,则 A-C=2 α ,可得 A=60°+ α ,C=60°- α , 2

17

所以

1 1 1 1 + = + cos A cos C cos(60° + α ) cos(60° α) 1 1 cos α cos α = + = = , 1 3 2 3 2 2 1 3 1 3 cos α sin α cos α cos α sin α cos α + sin α 4 4 4 2 2 2 2
cos α

依题设条件有

2 , = 3 cos B 2 cos α 4 1 cos α ∵ cos B = ,∴ = 2 2 . 3 2 cos 2 α 4

整理得 4 2 cos2 α +2cos α -3 2 =0(M) (2cos α - 2 )(2 2 cos α +3)=0,∵2 2 cos α +3≠0, ∴2cos α - 2 =0.从而得 cos

AC 2 = . 2 2 解法二:由题设条件知 B=60°,A+C=120° ∵ 2 1 1 = 2 2 ,∴ + = 2 2 cos 60° cos A cos C
②, ①, 把①式化为

cosA+cosC=-2 2 cosAcosC 利用和差化积及积化和差公式,②式可化为

A+C AC cos = 2 [cos( A + C ) + cos( A C )] 2 2 A+C 1 1 将 cos =cos60°= ,cos(A+C)=- 代入③式得: 2 2 2 2 cos cos

③,

AC 2 = 2 cos( A C ) ④ 2 2 AC AC AC 将 cos(A - C)=2cos2( ) - 1 代 入 ④ : 4 2 cos2( )+2cos - 3 2 =0 , (*) , 2 2 2 AC AC (2 cos + 3) = 0, 2 2 )(2 2 cos 2 2 AC AC AC 2 ∵ 2 2 cos + 3 = 0,∴ 2 cos 2 = 0, 从而得 : cos = . 2 2 2 2 2.在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站 P,上午 11 时, 测得一轮船在岛北 30°东,俯角为 60°的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛 北 60°西,俯角为 30°的 C 处. (1)求船的航行速度是每小时多少千米; (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距岛 A 有 多远?
解:(1)在 Rt△PAB 中,∠APB=60° PA=1,∴AB= 3 (千米) 在 Rt△PAC 中,∠APC=30°,∴AC= 在△ACB 中,∠CAB=30°+60°=90°
18

3 (千米) 3

∴ BC =

AC 2 + AB 2 = (

3 2 30 ) + ( 3)2 = 3 3

30 1 ÷ = 2 30 (千米 / 时) 3 6
(2)∠DAC=90°-60°=30° sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB=

AB = BC

3 30 3

=

3 10 10

sinCDA=sin(∠ACB-30°)=sinACBcos30°-cosACBsin30° =

3 10 . 10

3 1 3 (3 3 1) 10 10 ) 2 = 1 ( 2 2 10 20
在△ACD 中,据正弦定理得

AD AC = , sin DCA sin CDA

3 3 10 AC sin DCA 9+ 3 10 ∴ AD = = 3 = sin CDA 13 (3 3 1) 10 20
答:此时船距岛 A 为

9+ 3 千米. 13

3.已知△ABC 的三内角 A,B,C 满足 A+C=2B,设 x=cos (1)试求函数 f(x)的解析式及其定义域; (2)判断其单调性,并加以证明; (3)求这个函数的值域. 解:(1)∵A+C=2B,∴B=60°,A+C=120°

AC 1 1 + ,f(x)=cosB( ). 2 cos A cos C

A+C AC 2 cos cos 1 cos A + cos C 2 2 f ( x) = = 2 cos A cos C cos( A + C ) + cos( A C ) x 2x = = 2 , 1 4x 3 2 + 2x 1 2
∵0°≤|

AC AC 1 |<60°,∴x=cos ∈( ,1 ] 2 2 2
3 1 3 3 ,∴定义域为( , )∪( ,1]. 2 2 2 2 2 x2 4 x2 3
2

又 4x2-3≠0,∴x≠

(2)设 x1<x2,∴f(x2)-f(x1)=



2 x1 4 x1 3
2

=

2( x1 x 2 )( 4 x1 x 2 + 3) ( 4 x1 3)( 4 x 2
2 2

1 3 ,若 x1,x2∈( , ),则 4x12-3<0,4x22-3<0,4x1x2+3>0,x1-x2<0, 2 2 3)

∴f(x2)-f(x1)<0
19

即 f(x2)<f(x1),若 x1,x2∈(

3 ,1] ,则 4x12-3>0. 2 4x22-3>0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0.
即 f(x2)<f(x1),∴f(x)在(

1 3 3 , )和( ,1 ] 上都是减函数. 2 2 2 1 1 (3)由(2)知,f(x)<f( )=- 或 f(x)≥f(1)=2. 2 2 1 故 f(x)的值域为(-∞,- )∪[2,+∞ ) . 2 4.给出四个命题:(1)若 sin2A=sin2B,则△ABC 为等腰三角形;(2)若 sinA=cosB,则△ABC 为直角 三角形;(3)若 sin2A+sin2B+sin2C<2,则△ABC 为钝角三角形;(4)若 cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1, 则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:其中(3)(4)正确. 答案: B A C A C 5.在△ABC 中,已知 A,B,C 成等差数列,则 tan + tan + 3 tan tan 的值为__________. 2 2 2 2 解析:∵A+B+C=π,A+C=2B,
∴A+C = 2π A+C A C A C , tan( ) = 3 , tan + tan = 3 (1 tan tan ) 3 2 2 2 2 2 A C A C 故 tan + tan + 3 tan tan = 3. 2 2 2 2

答案: 3 6. 在△ABC 中, 为最小角, 为最大角, A C 已知 cos(2A+C)=- 解析:∵A 为最小角∴2A+C=A+A+C<A+B+C=180°. ∵cos(2A+C)=-

4 4 , sinB= , cos2(B+C)=__________. 则 3 5

4 3 ,∴sin(2A+C)= . 5 5 4 3 .故 cosB= . 5 5

∵C 为最大角,∴B 为锐角,又 sinB= 即 sin(A+C)=

4 3 ,cos(A+C)=- . 5 5 24 , 25

∵cos(B+C)=-cosA=-cos[(2A+C)-(A+C)]=- ∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)-1= 答案:

527 . 625

527 625 7.已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形 ABCD 的面积. .解:如图:连结 BD,则有四边形 ABCD 的面积:

20

1 1 ABADsinA+ BCCDsinC 2 2 ∵A+C=180°,∴sinA=sinC 1 1 故 S= (ABAD+BCCD)sinA= (2×4+6×4)sinA=16sinA 2 2 2 由余弦定理,在△ABD 中,BD =AB2+AD2-2ABADcosA=20-16cosA 在△CDB 中,BD2=CB2+CD2-2CBCDcosC=52-48cosC ∴20-16cosA=52-48cosC,∵cosC=-cosA, 1 ∴64cosA=-32,cosA=- ,又 0°<A<180°,∴A=120°故 S=16sin120°=8 3 . 2
S=S△ABD+S△CDB= 8.如右图,在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯,桌子边缘一点处的照 度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比,角和这一点到光源的 sinθ 距离 r 的平方成反比,即 I=k 2 ,其中 k 是一个和灯光强度有关的常数,那么 r 怎样选择电灯悬挂的高度 h,才能使桌子边缘处最亮? 解:R=rcosθ,由此得:

1 cos θ π = ,0 < θ < , r R 2 2 sin θ sin θ cos θ k = 2 (sin θ cos 2 θ) I =k 2 =k r R2 R k k 2 2 I 2 = ( 2 ) 2 2 sin 2 θ (1 sin 2 θ)(1 sin 2 θ) ≤ ( 2 ) 2 ( ) 3 3 R R k 2 3 2 由此得I ≤ 2 3 , 等号在 sin θ = 时成立, 此时h = R tan θ = R 3 2 R 9 B+C 7 9.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 4 sin 2 cos 2 A = . 2 2 (1)求角 A 的度数;

(2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值.

21

B+C 7 cos 2 A = 及A + B + C = 180°, 得 : 2 2 7 2[1 cos( B + C )] 2 cos 2 A + 1 = ,4(1 + cos A) 4 cos 2 A = 5 2 1 即4 cos 2 A 4 cos A + 1 = 0,∴ cos A = , 2 ∵ 0° < A < 180°,∴ A = 60° 解 : (1)由4 sin 2 b2 + c2 a2 2bc 2 2 2 1 b +c a 1 = ∴ (b + c) 2 a 2 = 3bc. ∵ cos A = ∴ 2 2bc 2 b + c = 3 b = 1 b = 2 将a = 3 , b + c = 3代入上式得 : bc = 2 由 得: 或 . bc = 2 c = 2 c = 1 (2)由余弦定理得 : cos A =
10.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,且 a,b,3c 成等比数列,又∠A-∠ ,试求∠A,∠B,∠C 的值. 2 解:由 a,b,3c 成等比数列,得:b2=3ac 1 ∴sin2B=3sinCsinA=3(- )[cos(A+C)-cos(A-C)] 2 3 π ∵B=π-(A+C).∴sin2(A+C)=- [cos(A+C)-cos ] 2 2 3 1 即 1-cos2(A+C)=- cos(A+C),解得 cos(A+C)=- . 2 2 2 π 7 π π ∵0<A+C<π,∴A+C= π.又 A-C= ∴A= π,B= ,C= . 3 2 12 3 12 11.在正三角形 ABC 的边 AB,AC 上分别取 D,E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时,顶点 A 正好落 在边 BC 上,在这种情况下,若要使 AD 最小,求 AD:AB 的值. 解:按题意,设折叠后 A 点落在边 BC 上改称 P 点,显然 A,P 两点关于折线 DE 对称,又设∠BAP= θ,∴∠DPA=θ,∠BDP=2θ,再设 AB=a,AD=x,∴DP=x.在△ABC 中, ∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ, a sin θ BP AB 由正弦定理知: = .∴BP= sin(120° θ ) sin BAP sin APB DP BP x sin θ a sinθ x sin 2θ 在△PBD 中, = , 所以BP = , 从而 = , sin DBP sin BDP sin 60° sin(120° θ ) sin 60° C=

π

∴x =

a sinθ sin 60° 3a = . sin 2θ sin(120° θ ) 2 sin(60° + 2θ ) + 3

∵0°≤θ≤60°,∴60°≤60°+2θ≤180°,∴当 60°+2θ=90°,即θ=15°时, sin(60°+2θ)=1,此时 x 取得最小值

3a 2+ 3

= ( 2 3 3) a,即 AD 最小,∴AD:DB=2 3 -3.

22


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