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高中数学 第三章 基本不等式典型例题素材 北师大版必修5


典型例题
【例 1】 (1) 已知 x,y 都是正数,求证: ≥2;
2 2 3 3 3 3

(2)(x+y)(x +y )(x +y )≥8x y .

【例 2】 (1) 若 x>0,求

的最小值;

(2)若 x<0,求

的最大值.

参考答案 例 1: 【分析】利用基本不等式进行证明. 【解】∵x,y 都是正数, ∴ >0, 0,x >0,y >0,x >0,y >0.
2 2 3 3

(1)

=2



≥2.

(2)x+y≥
2 2

>0 ,x +y ≥
3 3

2

2

>0 , x +y ≥

3

3

>0,

∴(x+y)(x +y )(x +y ) ≥ ·
2 2 3 3

·
3 3

=8x y .

3 3

即(x+y)(x +y )(x +y )≥8x y .

【点拨】 在运用定理 握好每条性质成立的条件),进行变形. 例2

时, 注意条件 a, b 均为正数, 结合不等式的性质(把

【分析】本题(1)x>0 和 【解】(1)

=36 两个前提条件;(2)中 x<0,可以用-x>0 来转化.

因为 x>0 由基本不等式得

,当且仅当

,即 x=

时,

取最小值 12. (2)因为 x<0, 所以-x>0, 由基本不等式得

所以 .

当且仅当

即 x=

时,

取得最大-12.

【点拨】 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.


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