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定积分分部积分法


一,分部积分公式
设函数 u( x ) ,v ( x ) 在区间[a, b ]上具有连续 导数, 导数,则有 ∫a udv = [uv ] ∫a vdu .
b b a b

推导

定积分的分部积分公式 b b (uv )′ = u′v + uv′, ∫a ( uv )′dx = [uv ] ,
a

[uv ]


b a
b

= ∫a u′vdx + ∫a uv ′dx ,
b b a a

b

b

∫ udv = [uv ] ∫
a

vdu.

◆定积分的分部积分法 例1

(1) ∫1

2

已积出的部分

xe dx
x

x

要求值
x 2 2 x

解 原式

= ∫ xde = xe ∫ e dx 1 1 1

2

= ( 2e e ) e 1
2 x

2

= ( 2e e ) ( e e ) = e
2 2

2

定积分的分部积分法

( 2) ∫


π

已积出的部分要求值
π

x2 4 2 原式 = 4 x ( sec x 1) dx = 4 xd tan x ∫0 2 ∫0 0 π 2

π

4 0

x tan xdx
π

2

= [ x tan x ]04 ∫ tan xdx
4 0

π

π

32

=

π

+ ln cos x 4 32
4 0

π

π

2

2 π = + ln 4 2 32
2

π

1 π 2 x 解 原式 = ∫ 2 e d cos 2 x 2 0
π

( 3) ∫

2 2x 0

π

e sin2xdx

1 2 x 1 2 2 x 2 + e cos 2 x = 0 2 ∫0 cos 2 x e (2)dx 2 π 1 1 2 2 x π = (1 + e ) ∫ e d sin 2 x 2 2 0 π 1 1 2 x 1 π = 1 + e π e sin 2 x 2 + ∫ 2 sin 2 xde 2 x 0 2 0 2 2 π 1 π 2 2 x = (1 + e ) ∫ e sin 2 xd x 0 2 π 1 π 所以 2 2 x ∫0 e sin 2 xdx = 4 1 + e

π

(

)

(

)

分部积分过程:

∫auv′dx = ∫
(4) 计算 ∫ 解

b

b b b b udv =[uv]a a vdu =[uv]a a u′vdx = a

b





.

1 2 arcsin xdx . 0



1 2 arcsin xdx 0 1 π 1 2 = 2 6 0

1 2 =[x arcsin x]0



x 1 x

1 02 xd arcsin x π + 1 1 1 d (1 x 2 ) 2 dx = 2 2 12 2 0





1 x

= π +[ 12

1 2 1 x 2 ]0

= π + 3 1 . 12 2

分部积分过程:

∫auv′dx = ∫
(5) 2 解
1
1

b

b b b b udv =[uv]a a vdu =[uv]a a u′vdx = a

b





.

计算 ∫ e x dx . 0

∫0 e dx
x

令 x =t

2∫

1 t e tdt 0

= 2∫0 tdet
=2 .

1

t 1 = 2[te ]0

2∫

1 t e dt 0

t 1 = 2e 2[e ]0

例2 计算 ∫0 arcsin xdx . 解 令 u = arcsin x , 则 du =
1 2

1 2

dv = dx ,

dx , 2 1 x

v = x,
1 2

∫0 arcsin xdx = [ x arcsin x ] 0 ∫0
1 1 π 1 1 2 = + ∫ d (1 x 2 ) 2 6 2 0 1 x2 1 3 π π 2 2 = 1. + 1 x 0 = + 12 12 2

1 2

xdx 1 x2

[

]

xdx . 例3 计算 ∫0 1 + cos 2 x


π 4

∵ 1 + cos 2 x = 2 cos 2 x ,
π π xdx xdx 4 4 x ∴∫ =∫ = ∫ d (tan x ) 0 1 + cos 2 x 0 2 cos 2 x 0 2
π 1 π 1 4 4 = [x tan x ] 0 ∫ tan xdx 2 0 2 π π 1 π ln 2 4 = [ln sec x ] 0 = . 8 2 8 4 π 4

例4 计算 解



1

0

ln(1 + x ) dx . 2 (2 + x )

∫0

1

1 ln(1 + x ) 1 dx = ∫0 ln(1 + x )d 2 (2 + x ) 2+ x
1

1 1 ln(1 + x ) = + ∫0 2 + x d ln(1 + x ) 2 + x 0
1 ln 2 1 1 1 1 dx +∫ = 0 2+ x 1+ x 3 1+ x 2+ x ln 2 5 1 = + [ln(1 + x ) ln( 2 + x )]0 = ln 2 ln 3. 3 3

例5 设 f ( x ) = ∫1 解

x2

1 sin t dt , 求 ∫ xf ( x )dx . 0 t

sin t 没有初等形式的原函数, 因为 没有初等形式的原函数, t 无法直接求出 f ( x ) ,所以采用分部积分法

1 1 xf ( x )dx = ∫ f ( x )d ( x 2 ) ∫0 2 0 1 1 2 1 1 2 = [x f ( x )]0 ∫0 x df ( x ) 2 2 1 1 1 2 = f (1) ∫ x f ′( x )dx 2 2 0
1

∵ f ( x ) = ∫1

x2

sin t dt , t

sin t f (1) = ∫1 dt = 0, t
1

sin x 2 2 sin x 2 f ′( x ) = , 2x = 2 x x

1 1 2 1 ∴ ∫0 xf ( x )dx = f (1) ∫0 x f ′( x )dx 2 2 1 1 1 1 2 = ∫0 2 x sin x dx = ∫0 sin x 2dx 2 2 2 1 1 2 1 = [cos x ]0 = (cos 1 1). 2 2
1

例6 证明定积分公式

I n = ∫0 sin xdx = ∫0 cos n xdx
n

π 2

π 2

3 1 π n 1 n 3 , n为正偶数 n n2 4 2 2 = n 1 n 3 4 2 , n为大于 的正奇数 为大于1的正奇数 n n2 5 3
证 设 u = sin n1 x ,

dv = sin xdx ,

du = ( n 1) sin n 2 x cos xdx , v = cos x ,

I n = [ sin n1 x cos x ]0 + ( n 1)∫0 sin n 2 x cos 2 xdx
π 2 π 2

0
I n = ( n 1)∫0 sin
2

1 sin 2 x
n 2

π

xdx ( n 1)∫0 sin xdx
2

π

n

= ( n 1) I n 2 ( n 1) I n
n1 In = I n 2 积分I n关于下标的递推公式 n n3 直到下标减到0或 为止 I n 2 = I n4 , 直到下标减到 或1为止 n2

I2m

2m 1 2m 3 5 3 1 = I 0 , 2m 2 m 2 6 4 2 2m 2m 2 6 4 2 = I 1 , 2m + 1 2 m 1 7 5 3
π 2

( m = 1,2,)

I 2 m +1

π I 0 = ∫ dx = , 0 2

I 1 = ∫ sin xdx = 1,
0

π 2

2 m 1 2m 3 5 3 1 π 于是 I 2 m = , 2m 2m 2 6 4 2 2 2m 2m 2 6 4 2 I 2 m +1 = . 2m + 1 2 m 1 7 5 3

二,小结
定积分的分部积分公式
b a

∫ udv = [uv ] ∫ vdu.
b b a a

(注意与不定积分分部积分法的区别) 注意与不定积分分部积分法的区别)

思考题
设 f ′′( x ) 在 [0,1] 上 连 续 , 且 f (0) = 1 ,

f ( 2) = 3 , f ′( 2) = 5 ,求 ∫0 xf ′′( 2 x )dx .

1

思考题解答
1 1 ∫0 xf ′′( 2 x )dx = 2 ∫0 xdf ′( 2 x )
1

1 1 1 1 = [ xf ′( 2 x )]0 ∫ f ′( 2 x )dx 2 2 0

1 1 1 = f ′( 2) [ f ( 2 x )]0 2 4 5 1 = [ f ( 2) f (0)] = 2. 2 4

练习题
填空题: 一,填空题: 为正奇数, 1,设 n 为正奇数,则 为正偶数, 2,设 n 为正偶数,则
1 0 e





π 2 0 π 2 0

sin n xdx = ___________; ___________; cos n xdx =___________; ___________ ___;

______________; 3, ∫ xe x dx = ______________; _____________; 4, ∫ x ln xdx = _____________; 5, ∫ x arctan xdx = ____________ . , 0 二,计算下列定积分: 计算下列定积分:
1, ∫ sin(ln x ) dx ;
1 e
1 1

2, 2, ∫1 ln x dx ;
e

e

3, J ( m ) =
π

∫0

π

x sin m xdx , m 为自然数) ( 为自然数)

sin n1 x cos( n + 1) xdx . 4, ∫
0

三,已知 f ( x ) = tan 2 x ,求



π 4 0

f ′( x ) f ′′( x )dx .

连续, 四,若 f ′′( x )在[ 0 , π ]连续, f ( 0 ) = 2 , f ( π ) = 1 ,

证明: 证明: ∫0 [ f ( x ) + f ′′( x )] sin xdx = 3

π

.

练习题答案

( n 1)!! π ( n 1)!! 2 2, 3, ; 3,1 ; 一,1, ; 2, n!! e n!! 2 1 3 1 3 1 2 ) π + ln . 4, 5, 4, (e + 1) ; 5,( 4 4 9 2 2 e sin 1 e cos 1 + 1 1 二,1, ; 2,2(1 ) ; 2 e 3 ,
1 3 5 ( m 1) π 2 2 4 6 m 2 , m为偶数 J (m) = ; 2 4 6 ( m 1) π , m > 1为奇数 1 3 5 m

0, 当 n 为正奇数时 4, 2( n 1)!! ; n!! π, 当 n 为正偶数时
5,0. 三,8.


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