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6-1.2.1函数的概念(1)全市优秀课件


1.2.1 函数的概念(1)
一、教学目标 重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数. 难点:符号 y ? f ( x), x ? A 的含义,函数定义域和值域的区间表示. 知识点:函数概念;构成函数的要素;函数相同的判别方法,求一些简单函数的定义域和值域. 能力点:抽象概括能力的应用. 教育点:体会探究的乐趣,激发学习的热情. 自主探究点: 函数概念,构成函数的要素. 考试点: 求一些简单函数的定义域和值域. 易错易混点: 对应关系在刻画函数概念中的作用. 拓展点: 函数概念发展历程. 二、引入新课: 1、 回顾、实例引入 (1)回忆初中时我们学习过的函数的概念:在一个变化过程中,有两个变量 x 和 y ,如果给定了一个 x 值,相应地就确定唯一的一个 y 值,那么我们称 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量, y 是因变量. (2)请同学们回顾一下我们在初中学习了哪些函数?

y ? kx (k ? 0), y ? kx ? b (k ? 0), k (k ? 0), x y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) y?
【师生活动】学生回答 【设计意图】通过学生的回顾,再现初中变量观点描述函数的概念,为后面用集合和对应的观点来定义 函数奠定基础. 三 、探究新知 (一)思考:给出三个实例: 1.一枚炮弹发射,经 26s 后落地击中目标,射高为 845m,且炮弹距地面高度 h (单位:m)与时间 t (秒) 的变化规律是 h ? 130t ? 5t 2 .(见课本 P15 图) 2.近几十年来,大气层中臭氧迅速减少,因而出现臭氧层空洞问题,图中曲线是南极上空臭氧层空洞 面积的变化情况.(见课本 P15 图) 3.国际上常用恩格尔系数(食物支出金额÷ 总支出金额)反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计 划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.(见课本 P16 表) 请同学们回答下列问题:以上三个实例存在哪些变量?变量的变化范围分别是什么?两个变量之间存 在着怎样的对应关系? 三个实例有什么共同点? 【师生活动】学生独立思考2~3分钟,再讨论、交流、分享,教师关注学生. 【设计意图】引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系; 根据初中所 学函数的概念,判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系,通过实际问题引出概念,激发学生 学习兴趣,给学生思考、探索的空间,让学生体验数学发现和创造的历程,提高分析问题和解决问题的能 力. 师生共同归纳: 共同点(1)都有两个非空数集 (2)两个数集之间都有一种确定的对应关系 三个实例变量之间的关系都可以描述为:对于数集 A 中的每一个 x ,按照某种对应关系 f ,在数集 B 中都与唯一确定的 y 和它对应,记作: f : A ? B (二)函数的概念 1.概念

设 A, B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在 集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 (function) ,记作: y ? f ( x), x ? A 其中, x 叫自变量, x 的取值范围 A 叫作函数的定义域(domain) ,与 x 的值对应的 y 值叫函数值, 函数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫函数的值域(range).显然,值域是集合 B 的子集. 2.概念同化 回顾已学过的函数,研究它们的定义域、对应法则和值域. 【师生活动】投影下面表格,让学生思考并填写完整. 函数 对应法则 图象
y

定义域

值域

一次函数

y ? ax ? b(a ? 0)
o

x

R

R

y

反比例 函数

y?

k (k ? 0) x

o

x

? x x ? 0?

{ y | y ? 0}

y

y ? ax ? bx ? c
2

二次函数

(a ? 0)

o

x

R

? ? 4ac ? b 2 ? ? B ? ?y y ? ? 4a ? ? ? ?

【设计意图】用函数的定义去解释学过的一次函数、反比例函数、二次函数,使得对函数的描述性定 义上升到集合与对应语言刻画的定义.同时画出函数的图象,是让学生进一步体会“数”与“形”结合在 理解函数中的作用,更好地帮助理解上述函数的三个要素,从而加强学生对函数概念的理解,进一步挖掘 函数概念中集合与函数的联系. 3.深化理解概念 判断下列对应能否表示 y 是 x 的函数 (1) y ?| x | (2) | y |? x (3) y ? x2 ) (4) x2 ? y 2 ? 2

下列图象中不能作为函数 y ? f ( x) 的图象的是(

1

A B C D 【师生活动】启发并引导学生思考、讨论、交流 【设计意图】进一步理解函数概念; 定义域、对应法则、值域三者关系; 深刻理解 f ( x) 中的 f 与 x 的关系. (三)区间的概念

(1) 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为 ?a, b? ;

设 a, b ? R, a ? b 是两个实数,且 a ? b ,我们规定:

(2) 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为 ?a, b ? ;

(3) 满足不等式 a ? x ? b或a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别表示为 ? a, b ? , ? a, b? ; 这里的实数 a 和 b 都叫做相应区间的端点.(数轴表示见课本 P17 表格) 符号 " ?" 读“无穷大” ;"??" 读“负无穷大” ;"??" 读“正无穷大”.我们把满足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别表示为 ?a, ??? , ? a, ??? , ? ??, b? , ? ??, b ? . 试用区间表示下列实数集合 (1) {x | 5 ? x ? 6} (2) {x | x ? 9} (3) {x | x ? ?1} ?{x | ?5 ? x ? 2}

[5, 6) [9, ??) [?5, ?1]

【师生活动】学生讨论互动,老师恰当引导. 【设计意图】通过师生互动方式掌握用区间表示实数的集合. 四、理解新知 谈谈如何判断两个函数是否相同? y ? x 与 y ?

x2 是不是同一个函数. x

【师生活动】教师启发、引导学生画图,当两个函数的定义域、对应关系完全一致时,我们就称这两 个函数相等.
y
2

y

y?x

2

y?
x

o
?2

x

?o
?2

x2 x

师生: y ? x 与 y ?

x2 不是同一个函数. x

师生研讨并由教师归纳总结出函数的要点: 1.函数是一种特殊的对应——非空数集到非空数集的对应. 2.分析函数概念,要抓住三要素:定义域,对应法则,值域.在函数的三要素中,当函数的定义域,对应 法则已确定,则函数的值域也就确定了.函数的核心是对应法则,通常用记号 f 表示函数的对应法则,在不 同的函数中,f 的具体含义不一样.函数记号 y=f(x)表明,对于定义域 A 的任意一个 x 在“对应法则 f 的作用 下,即在 B 中可得唯一的 y.当 x 在定义域中取一个确定的 a,对应的函数值即为 f(a) .集合 B 中并非所有 的元素在定义域 A 中都有元素和它对应,值域 C ? B . 3.函数符号 y=f(x)的说明: (1)“y=f(x)”即为“y 是 x 的函数”的符号表示; (2)y=f(x)不一定能用解析式表示; (3)f(x)与 f(a)是不同的,通常,f(a)表示函数 f(x)当 x=a 时的函数; (4)在同时研究两个或多个函数时,常用不同符号表示不同的函数,除用符号 f(x)外,还常用 g(x)、F(x)、 φ(x)等符号来表示. 4.定义域是函数的重要组成部分,如 f(x)=x(x∈R)与 g(x)=x(x≥0)是不同的两个函数,当两个函数的定义域、 对应关系完全一致时,我们就称这两个函数相等. 【设计意图】通过对新知识的学习,培养学生利用新知识创造性的解决利用原有知识无法理解并解决 的问题,并加深对新概念的理解,培养学生的创新能力. 五、运用新知

例 1.已知函数 f ( x) ? (1)求函数的定义域;

x?3 ?

1 , x?2

(2)求 f ( ?3), f ( ) 的值; (3)当 a ? 0 时,求 f (a), f (a ? 1) 的值. 师问(1)如何求函数定义域;(2) f ( x) 与 f ( a ) 有何区别和联系. 点拨: f ( a ) 表示自变量当 x ? a 时所对应的函数 f ( x) 的值,是一个常量,而 f ( x) 是是自变量 x 的函数, 是变量, f ( a ) 是 f ( x) 的一个特殊值. 答: (1)定义域为 x x ? ?3, x ? ?2 (2) f (?3) ? ?1, f ( ) ?

2 3

?

?

2 3 33 , f ( f (?3)) ? 1 ? 2 ? 3 8 3 (3)? a ? 0,? f (a), f (a ? 1) 有意义. 1 1 f (a) ? a ? 3 ? , f (a ? 1) ? a ? 2 ? a?2 a ?1
变式训练:已知函数

f ( x) ? x ? 2

,求 f (2 x ? 3) .

答: f (2x ? 3) ? (2x ? 3) ? 2 ? 2x ? 5 【师生活动】例1让学生独立进行分析,然后师生交流分享,变式题师生交流后教师讲解板书. 【设计意图】培养学生解题能力及灵活思考的方法和习惯. 例 2.下列函数中哪个与函数 y ? x 相等? (1) y ? ( x )2 ; (3) y ?

x2 ;

x3 ; x2 (4) y ? . x

(2) y ?

3

让学生思考两个函数相等的条件后,引导学生求出各个函数的定义域,化简函数关系式为最简形式.只要 它们定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等. 解:函数 y=x 的定义域是 R,对应关系是 x→x. (1)∵函数 y ? ( x )2 的定义域是[0,+∞),∴函数 y ? ( x )2 与函数 y ? x 的定义域 R 不相同. ∴函数 y ? ( x )2 与函数 y ? x 不相等. (2)∵函数 y ?
3

x3 的定义域是 R,∴定义域相同.
3

又∵y= 3 x3 =x,∴函数 y= 3 x3 与函数 y ? x 的对应关系也相同.∴函数 y ? (3)∵函数 y ? ∴函数 y ? ∴函数 y ? (4)∵函数 y=

x3 与函数 y ? x 相等.

x2 的定义域是 R,

x2 与函数 y ? x 的定义域 R 相同.又∵y= x 2 =|x|, x2 与函数 y ? x 的对应关系不相同.∴函数 y= x 2 与函数 y ? x 不相等.
x2 x2 的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),∴函数 y= 与函数 y ? x 的定义域 R 不相同, x x

∴函数 y=( x )2 与函数 y ? x 不相等. 点评: 本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判断两个函数是否 是同一个函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,若解析 式相同(即对应关系相同),则是同一个函数,否则不是同一个函数. 变式训练 判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由. ① y ? x y=x-1,x∈R 与 y=x-1,x∈N; ②y= x 2 - 4 与 y= ③y=1+

x?2 · x ? 2;

1 1 与 u=1+ ; x x

是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可). 解:只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可. ①前者的定义域是 R,后者的定义域是 N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数; ②前者的定义域是{x|x≥2 或 x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数; ③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加 1,那么值域必相同,故是同一个函数; 【师生活动】学生思考,教师点拨,从定义域和对应法则两个角度思考. 【设计意图】进一步巩固函数相等的的定义,应用定义解决问题,加深理解. 答: (2)的函数与函数 y ? x 相等. 六、课堂小结 教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学方法? 学生回答:知识上:1、函数概念;2、求函数定义域、值域、对应法则;3、用区间表示集合. 方法上: 函数模型应用思想. 教师总结:函数概念的理解关键是要建立对应的观念,要在应用中加深对知识的理解,及时查缺补漏,从 而更好地运用知识. 七、布置作业 1、书面作业 必做题:课本 P24练习 A 组的1、2、5、6 选做题:B 组1、2 八、教后反思 本节课是研究函数概念的教学,.函数概念在教学中是一大难点,这主要是因为概念的抽象性,学生 理解起来相当不容易, 接受起来就更难.亮点是从认知矛盾出发设计问题,引领学生的认知过程,师生互动好, 参与体验度较高,是一堂较为成功的课. 九、板书设计 1.2.1 函数的概念 一 、函数概念 设 A, B 是两个非空的数集, 如果按照某种确定的对应关系 f , 使对于集合 A 中的任意一个数 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么称 f: A ? B 为 从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作: y ? f ( x), x ? A 例 2: 三、例题分析 例 1:

其中, x 叫自变量, x 的取值范围 A 叫作定义域,与 x 的值对应的 y 值 叫函数值,函数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫值域(range) 二、区间概念


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