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题根研究_命题藏根与解题寻根之例说

题根研究

命题藏根与解题寻根之例说

每个题目都有自己的题根. 命题时, 命题人在千方百计地把这个题根藏起来; 解题时刚 好相反,解题人则是要千方百计地把这个题根寻找到. 一 命题藏根举例 2008 年全国Ⅰ第 10 题设计:直线

x y ? ? 1 到原点的距离不大于 1,求参数 a 和 b a b

满足的条件. 命题人把“距离 1”当作题根,以下则是想方设法把这个题根藏起来的过程: 第一步,把题根“距离 1”藏到单位圆中,即直线与单位圆 x 2 ? y 2 ? 1有公共点. 第二步,把单位圆 x 2 ? y 2 ? 1藏起来,藏到同角三角函数的平方关系式中,即:

cos2 ? ? sin 2 ? ? 1
于是一道试题就设计出来了: 【例 1】 (08.全国Ⅰ.10) .若直线 A. a ? b
2 2

≤1

x y ? ? 1 通过点 M (cos ?, sin ? ) ,则( ) a b 1 1 1 1 2 2 B. a ? b ≥1 C. 2 ? 2 ≤ 1 D. 2 ? 2 ≥ 1 a b a b

说明

有了以上对题根“距离不大于 1”的识别,以下的解答就简单了.
2 2

sin ? ) 满足 cos ? ? sin ? ? 1 , 解析 点 M (cos ?,
∴点 M 在圆 x ? y ? 1上.设圆心到直线
2 2

x y ? ? 1 的距离为 OP ? d ? 1 ,那么心算可得 a b

1 1 ? 2 ? 1 ,故选 D. 2 a b

二 解题寻根举例 洋洋数百字的数学试题, 而能够收藏题根的, 往往是一句话或一个式子. 解题的首要 任务,就是把这个“话根”或“式根”找到. 这种“寻根”过程,实际也是问题的化简过程. 【例 2】已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足条件

2 AC ? CB ? 0 , 则 OC =(



A.2OA ? OB

B.? OA ? 2OB

C. OA ?

2 3

1 OB 3

D.?

1 2 OA ? OB 3 3

寻根 初看此题,貌似复杂!想找题根,先得把那些无关的东西去掉,使条件特殊起来: 第一步,把点 O 置于原点,因为问题的结论与点 O 的具体位置无关: 第二步,将直线 AB 置于 x 轴,因为问题的结论与直线 AB 的具体位置无关: 于是,条件 2 AC ? CB ? 0 就成了题根,从题根上发现:点 A 是线段 BC 的中点. 第三步,设 B、A、C 三点的坐标分别为 1、2、3,想图如下

看图可知, 2OA ? OB = 4-1 = 3 = OC 答案是 A. 追根 事实上,本题设计之初,就是从点 A 是线段 BC 的中点开始——题根. 第一步 把题根藏到向量中,即 2 AC ? CB ? 0 ; 第二步 把向量 BC 的位置一般化,从而引出了任意点 O. 将问题一般化后,既可以设计大题,也可设计小题. 大题 解答大题,也得首先找到题根,如从题根

2 AC ? CB ? 0 出发,可迅速得到 AC ? ? AB ,而知 A 为 BC
中点. 我们再取 O 为坐标原点,建立直角坐标系如图如示. 以 OC,OB 为邻边作平行四边形 COBP.连接 AP. 所以 OC ? BP ,所以 A 是平行四边形 COBP 的中心,所以 OA ? AP 在矢量三角形 OPB 中, OB ? BP ? OP ? OB ? OC ? 2OA ? OC ? 2OA ? OB . 所以答案为 A. 小题 当题目设计成“只要结果、不讲道理”的小题时,则应将题根尽量简单化和特殊 化. 比如例 2,我们可以将其简单特殊到这种地步: 将 O 点重合于 A 点!此时有 OC=1,OB=-1,OA = 0. 此时,答案为 A,更加一目了然,根本无需动笔!


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