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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 解三角形双基限时练6(含解析)新人教A版必修5


双基限时练(六)
1.在△ABC 中,已知 BC=6,A=30°,B=120°,则△ABC 的面积等于( A.9 C.9 3 解析 由正弦定理得 ∴AC= = , sinB sinA B.18 D.18 3 )

AC

BC

BC·sinB 6×sin120° = =6 3. sinA sin30°

又∠ACB=180°-120°-30°=30°, 1 1 ∴S△ABC= ×6 3×6× =9 3. 2 2 答案 C 2.在△ABC 中,若 a +b +ab<c ,则△ABC 是( A.钝角三角形 C.直角三角形 解析 由 a +b +ab<c ,得 a +b -c <-ab.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.锐角三角形 D.形状无法判定

a2+b2-c2 1 又 cosC= <- . 2ab 2
1 又 cos120°=- ,∴C>120°,故△ABC 为钝角三角形. 2 答案 A 3.在△ABC 中,BC=2,B= A. 3 C. 3 3 π 3 ,若△ABC 的面积为 ,则 tanC 为( 3 2 B.1 D. 3 2 )

1 3 解析 由 S△ABC= BC·BAsinB= ,得 BA=1, 2 2 由余弦定理,得

AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB.
∴AC= 3,∴AC +BA =BC . ∴△ABC 为直角三角形,其中 A 为直角. ∴tanC= = 答案 C 4.三角形的两边长为 3 和 5,其夹角的余弦值是方程 5x -7x-6=0 的根,则该三角形
1
2 2 2 2

AB AC

3 . 3

的面积是( A.6 C.8

) B. 15 2

D.10

3 3 4 2 解析 由 5x -7x-6=0,得 x=- ,或 x=2(舍去).∴cosα =- ,sinα = ,∴S 5 5 5


1 4 = ×3×5× =6. 2 5 答案 A 5.△ABC 中,A=60°,b=16,此三角形的面积 S=220 3,则 a 的值为( A.7 C.55 解析 由 S=220 1 3,得 bcsinA=220 2 3,∴c=55. 3. B.25 D.49 )

1 3 即 ×16×c× =220 2 2 ∴a =b +c -2bccos60°
2 2 2

1 2 2 =16 +55 -2×16×55× =2401. 2 ∴a=49. 答案 D 6.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,已知 a= 3,b=3,C=30°, 则 A=________. 解析 c =a +b -2abcosC=3+9-2× 3×3× ∴c= 3.
2 2 2

3 =3, 2



a c asinC = ,∴sinA= = sinA sinC c

1 3· 2

1 = , 2 3

∴a<b,∴A<B,∴A=30°. 答案 30° 7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若( 3b-c)cosA=acosC,则 cosA =______. 解析 ∵( 3b-c)cosA=acosC, ∴由正弦定理,得 ( 3sinB-sinC)cosA=sinAcosC.
2

∴ 3sinBcosA=sin(A+C)=sinB.∴cosA= 答案 3 3
2 2

3 . 3

8.在△ABC 中,a -b +bc·cosA-ac·cosB=________.

b2+c2-a2 1 2 2 1 2 2 解析 由余弦定理 cosA= , 得 bc·cosA= (b +c -a ), 同理 ac·cosB= (a 2bc 2 2
+c -b ). ∴a -b +bc·cosA-ac·cosB 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 =a -b + (b +c -a )- (a +c -b ) 2 2 =a -b +b -a =0. 答案 0
2 2 2 2 2 2 2 2

a+b+c 9.在△ABC 中,A=60°,b=1,c=4,则 的值为________. sinA+sinB+sinC
解析 在△ABC 中, 由正弦定理得 = = =2R, 得 a+b+c=2R(sinA+sinB sinA sinB sinC +sinC). 1 2 2 2 又 a =b +c -2bccosA=1+16-2×1×4× =13, 2 ∴a= 13, ∴

a

b

c

a+b+c a 13 2 39 =2R= = = . sinA+sinB+sinC sinA sin60° 3
2 39 3

答案

10.在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,又 c= 21,b=4,且 BC 边上的高 h=2 3. (1)求角 C; (2)求边 a 的长. 解 (1)由于△ABC 为锐角三角形,过 A 作 AD⊥BC 于 D 点,

3

2 3 3 sinC= = ,则 C=60°. 4 2 (2)由余弦定理,可知

c2=a2+b2-2abcosC,
1 2 2 2 2 则( 21) =4 +a -2×4×a× ,即 a -4a-5=0. 2 所以 a=5,或 a=-1(舍). 因此所求角 C=60°,边 a 长为 5. π 11.在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积. 解 (1)由余弦定理及已知条件,得

a2+b2-ab=4.
又因为△ABC 的面积等于 3, 1 所以 absinC= 3得 ab=4, 2 联立方程组?
?a +b -ab=4, ? ? ?ab=4,
2 2

解得 a=2,b=2.

(2)由题意,得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 即 sinBcosA=2sinAcosA. π π 当 cosA=0 时,A= ,B= , 2 6 4 3 2 3 ∴a= ,b= . 3 3 1 2 2 2 ∴△ABC 的面积 S= · a -b ·b= 3. 2 3 当 cosA≠0 时,sinB=2sinA, 由正弦定理,知 b=2a, 2 3 ? ?a= 3 , 解得? 4 3 ? ?b= 3 .

? ?a +b -ab=4, 联立方程组? ?b=2a, ?

2

2

1 2 3 ∴△ABC 的面积 S= absinC= . 2 3

4

12 12.△ABC 的面积是 30,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,cosA= . 13 → → (1)求AB·AC; (2)若 c-b=1,求 a 的值. 解 12 5 (1)在△ABC 中,∵cosA= ,∴sinA= . 13 13

1 又 S△ABC= bcsinA=30,∴bc=12×13. 2 → → → → ∴AB·AC=|AB||AC|cosA=bccosA=144. (2)由(1)知 bc=12×13,又 c-b=1, ∴b=12,c=13. 在△ABC 中,由余弦定理,得

a2=b2+c2-2bccosA
12 2 2 =12 +13 -2×12×13× =25, 13 ∴a=5.

5


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