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2015 年 炜 昊 教 育 高 一 数 学 讲 义


2015 年 炜 昊 教 育 高 一 数 学 讲 义 本 章 知 识 结 构

集合的概念 列举法 集合的表示法 集合 特征性质描述法 真子集 包含关系 集合与集合的关系 交集 集合的运算 并集 补集 子集 相等

二、典型例题
例 1. 已知集合 A ? {a ? 2, (a ? 1) , a ? 3a ? 3} ,若 1 ? A ,求 a。
2 2

例 2. 已知集合 M= x ? R | ax ? 2x ? 1 ? 0 中只含有一个元素,求 a 的值。
2

?

?

例 3. 已知集合 A ? {x | x ? x ? 6 ? 0}, B ? {x | ax ? 1 ? 0}, 且 B
2

A,求 a 的值。

2 例 4. 已知方程 x ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实根 x1, x2. 设 C={x1, x2}, A={1,3,5,7,9}, B={1,4, 7,10},若 ,试求 b, c 的值。

例 5. 设集合 A ? {x | ?2 ? x ? 5}, B ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} , (1)若 A∩B= 求 m 的范围; (2)若 A∪B=A, 求 m 的范围。

三、练习题
1. 设集合 M= {x | x ? 17}, a ? 4 2 , 则( A. a ? M B. a ? M C. a = M ) D. a > M
2

2. 有下列命题:① {?} 是空集 ② 若 a ? N, b ? N ,则 a ? b ? 2 ③ 集合 {x | x ? 2 x ? 1 ? 0} 有两个元素 ④ 集



B ? {x |
A. 0

100 ? N , x ? Z} x 为无限集,其中正确命题的个数是(
B. 1 C. 2 D. 3



3. 下列集合中,表示同一集合的是( ) A. M={(3,2)} , N={(2,3)}B. M={3,2} , N={(2,3)} C. M={(x,y)|x+y=1}, N={y|x+y=1}D.M={1,2}, N={2,1}

},若 M ? N ? {2} , 则 a 的取值集合是( 4. 设集合 M ? {2,3, a ? 1}, N ? {a ? a ? 4,2a ? 1
2 2



1 {?3,2, } 2 A.
A. a ? 2

B. {-3} B. a ? 2

1 {?3, } 2 C.
C. a ? 1

D. {-3,2} ) D. a ? 1

5. 设集合 A = {x| 1 < x < 2}, B = {x| x < a}, 且 A ? B , 则实数 a 的范围是(

6. 设 x,y∈R,A={(x,y)|y=x}, B= ) ? A. A B B. B A C. A=B D. A B 7. 已知 M={x|y=x2-1} , N={y|y=x2-1}, 那么 M∩N=( ) A. Φ B. M C. N D. R 8. 已知 A = {-2,-1,0,1}, B = {x|x=|y|,y∈A}, 则集合 B=_________________ 9. 若 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? ax ? a ? 1 ? 0}, 且B ? A ,则 a 的值为_____ 10. 若{1,2,3} ? A ? {1,2,3,4,5}, 则 A=____________ 11. 已知 M={2,a,b}, N={2a,2,b2},且 M=N 表示相同的集合,求 a,b 的值
2 2

{( x, y ) |

y ? 1} x , 则集合 A,B 的关系是(

12. 已知集合 A ? {x | x ? 4x ? p ? 0}, B ? {x | x ? x ? 2 ? 0}且A ? B, 求实数 p 的范围。
2 2

13. 已知 A ? {x | x ? ax ? a ? 19 ? 0}, B ? {x | x ? 5x ? 6 ? 0} ,且 A,B 满足下列三个条件:① A ? B A ? B ? B ③ Φ A∩B 求实数 a 的值。
2 2 2



求函数的定义域
一、 基本类型:

1、 求下列函数的定义域。 (1) f ( x ) ? x ?

2 x ?1

(2) f ( x ) ?

( x ? 1) 0 x ?x

(3) y ?

1 1? x ?1

(4) f ( x) ?

x ?3 2 ?8
x

二、复合函数的定义域 1、 若函数 y=f (x)的定义域是[-2, 4], 求函数 g(x)=f (x)+f (1-x)的定义域 2、 2 若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,求函数 g ( x ) ?

f (2 x) 的定义域 x ?1

3、 函数 y=f (2x+1)的定义域是(1, 3],求函数 y=f (x)的定义域 4、 5、 函数 f (2x-1)的定义域是[0, 1),求函数 f (1-3x)的定义域是

求函数的值域
一、二次函数法 (1)求二次函数 y ? 3x2 ? x ? 2 的值域 (2)求函数 y ? x2 ? 2x ? 5, x ?[?1, 2] 的值域.

二、换元法: 求函数 y ? x ? 4 1 ? x ;的值域 三 部分分式法

求y?

x ?1 的值域。 x?2

求解析式 一. 换元法 1.已知 f ( x ?1) ? 2x ? 3, 二 解方程组法
设函数 f(x)满足 f(x)+2 f(

求 f(x).

1 )= x (x≠0) ,求 f(x)函数解析式. x

课堂练习:
1.函数 f ( x) ?

x2 ? x ?1 ?

1 的定义域为 2 x ? 2x ? 1

2.函数 f ( x) ?

x ? 2 ?1 ( x ? 3)( x ? 1)

的定义域为

3.已知 f (2 ) 的定义域为 [0,8] ,则 f (3x) 的定义域为

x

4.求函数 y ? x 2 ? 4 x ? 5 , x ? (1, 4?的值域

5.求函数 f ( x) =

3? x ( x ≥0)的值域 1 ? 2x

7 已知 f( x +1)= x+2

x ,求 f(x)的解析式.

8 已知 2f(x)+f(-x)=10x , 求 f(x).

9 已知 f{f[f(x)]}=27x+13, 且 f(x) 是一次式, 求 f(x).

强化训练 1.求函数 y= x ? 2 x
2

?

?

0

? 3?

4 的定义域。 x
( C. y ? x, y ? 3 x3 ) D. [ , 2 ] ) D. y ?| x |, y ? ( x ) 2

2.下列函数中,与函数 y ? x 相同的函数是 A. y ? 1, y ?

x x

B. y ? x ? 1? x ? 1, y ? x 2 ? 1

3.若函数 f (3 ? 2 x) 的定义域为[-1,2],则函数 f ( x) 的定义域是( A. [ ? 4,设函数 f ( x) ? ?

5 ,?1] 2

B.[-1,2]

C.[-1,5]

1 2

? x ? 1( x ? 1) ?1
A.0

( x ? 1)

,则 f ( f ( f (2))) =(



B.1 )
B.

C.2 D. 2

5.下面各组函数中为相同函数的是(
A.

f ( x) ? ( x ? 1) 2 , g ( x) ? x ? 1 f ( x) ? ( x ? 1) , g ( x) ? ( x ? 1)
2

f ( x) ? x 2 ? 1, g ( x) ? x ? 1 x ? 1
D.

C.

2

2

f ( x) ?

x2 ?1 , g ( x) ? x?2


x2 ?1 x?2

7.若函数 y ? A. ( 0, ]

3 4

mx ? 1 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是( mx ? 4mx ? 3 3 3 3 B. (0, ) C. [ 0 , ] D. [ 0, ) 4 4 4
2

8、已知函数 y ? x ? 2 x ? 3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是(

)

A、[ 1,+∞)

B、[0,2]

C、 (-∞,2]

D、[1,2]

9.求下列函数的值域: ①y?

3x ? 5 ( x ? 1) 5x ? 3

②y=|x+5|+|x-6|

③ y ? 4 ? ? x 2 ? x ? 2 ④ y ? x ? 1 ? 2x

x ?1 x2 ?1 1 ? ,求 f(x)的解析式. 10 已知 f( )= x x2 x


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