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2017-2018学年高中数学人教A版(浙江专版)必修2同步课件:第一章 1.2 1.2.3 空间几何体的直观图_图文

1.2.3 空间几何体的直观图 预习课本 P16~18,思考并完成以下问题 1.画平面图形的直观图的步骤是什么? 2.画简单几何体的直观图的步骤是什么? 3.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则? [新知初探] 1.用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O, 画直观图时,把它们画成对应的 x′轴和 y′轴, 两轴相交于点 ∠x′O′y′=45°(或 135°),它们确定的平面表示水 O′,且使___________________________ 平面. (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成 平行 于 x′轴或 y′轴的线段. _____ (3)已知图形中平行于 x 轴的线段, 在直观图中保持原长度不变 ______________, 平行于 y 轴的线段, 长度变为原来的一半. 2.用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 (1)画底面,这时使用平面图形的斜二测画法即可. (2)画 z′轴,z′轴过点 O′,且与 x′轴的夹角为 90°,并画出 高线 与原图高线相等,画正棱柱时只需要画侧棱即可),连线成图. _____( (3)擦去辅助线, 被遮线 用虚线表示. [点睛] (1)画水平放置的平面图形的直观图,关键是确定多边形 顶点的位置,借助于平面直角坐标系确定顶点后,只需把这些顶点顺 次连接即可. (2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变, 垂线长减半, 直角 画 45°(或 135°). [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)用斜二测画法画水平放置的∠A 时, 若∠A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴,且∠A=90°,则在直观图中,∠A=45° ( × ) (2)用斜二测画法画平面图形的直观图时, 平行的线段在直观图中 仍平行,且长度不变 ( × ) 2.如图所示为某一平面图形的直观图,则此平面图形可能是 下图中的 ( ) 解析:选 A 由直观图知,原四边形一组对边平行且不相等, 为梯形,且梯形两腰不能与底垂直. 3.已知△ABC 的直观图如图所示,则原△ABC 的面积为 ________. 解析:由题意,易知在△ABC 中,AC⊥AB,且 AC=6,AB=3. 1 ∴S△ABC= ×6×3=9. 2 答案:9 水平放置的平面图形的直观图 [典例] 画水平放置的直角梯形的直观图,如图所示. [解] (1)在已知的直角梯形 OBCD 中,以底边 OB 所在直 线为 x 轴,垂直于 OB 的腰 OD 所在直线为 y 轴建立平面直角 坐标系.画相应的 x′轴和 y′轴,使∠x′O′y′=45°,如 图①②所示. 1 (2)在 x′轴上截取 O′B′=OB, 在 y′轴上截取 O′D′= 2 OD, 过点 D′作 x′轴的平行线 l, 在 l 上沿 x′轴正方向取点 C′ 使得 D′C′=DC.连接 B′C′,如图②. (3)所得四边形 O′B′C′D′就是直角梯形 OBCD 的直观 图.如图③. 在画水平放置的平面图形的直观图时, 选取适当的直角坐 标系是关键, 一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴 上,以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平 行于坐标轴的线段来作出其对应线段. [活学活用] 画一个锐角为 45°的平行四边形的直观图(尺寸自定). 解:(1)画轴.如图①,建立平面直角坐标系 xOy,再建立坐标 系 x′O′y′,其中∠x′O′y′=45°. (2)描点.如图②,在 x′轴上截取 O′A′=OA,O′B′= 1 OB,在 y 轴上截取 O′D′= OD,过点 D′作 D′C′∥x′ 2 轴,且 D′C′=DC. (3)连线.连接 B′C′,A′D′. (4)成图. 如图③, 四边形 A′B′C′D′即为一个锐角为 45° 的平行四边形 ABCD 的直观图. 空间几何体的直观图 [典例] 画出一个上、 下底面边长分别为 1,2, 高为 2 的正三棱台的直观图. [解] (1)画轴.如图,画 x 轴、y 轴、z 轴相交于点 O,使 ∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画下底面.以 O 为线段中点,在 x 轴上取线段 AB,使 3 AB=2,在 y 轴上取线段 OC,使 OC= .连接 BC,CA,则△ 2 ABC 为正三棱台的下底面的直观图. (3)画上底面.在 z 轴上取 OO′,使 OO′=2,过点 O′作 O′x′∥Ox,O′y′∥Oy,建立坐标系 x′O′y′.在 x′O′y′ 中,类似步骤(2)的画 法得上底面的直观图△A′B′C′. (4)连线成图.连接 AA′,BB′,CC′,去掉 辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台 ABCA′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图. 画空间图形的直观图的原则 (1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系 Oxyz,并且把它们 画成对应的 x′轴与 y′轴,两轴交于点 O′,且使∠x′O′y′ =45°(或 135°),它们确定的平面表示水平面,再作 z′轴与平 面 x′O′y′垂直. (2)作空间图形的直观图时平行于 x 轴的线段画成平行于 x′ 轴的线段并且长度不变. (3)平行于 y 轴的线段画成平行于 y′轴的线段,且线段长度 画成原来的一半. (4)平行于 z 轴的线段画成平行于 z′轴的线段并且长度不变. [活学活用] 如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图. 解:(1)画轴.如图①,画 x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy=45°,∠xOz =90°. (2)画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一 个正四棱台, 上部是一个正四棱锥, 利用斜二测画法画出底面 ABCD, 在 z 轴上截取 OO′,使 OO′等于三视图中相应高度,过 O′作 Ox 的平行线

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