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贵州省毕节市2017届高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)


2016-2017 学年贵州省毕节市高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.设集合 M={x|x2<x},N={x||x|<1},则( A.M∩N=? B.M∪N=M 2.i 表示虚数单位,则复数 A. B.﹣ C. D.﹣ C.M∩N=M =( )

D.M∪N=R )

3.设 x,y 满足约束条件 A.1 4.已知 B.4 、 C.8 D.11

,则 z=3x﹣2y 的最大值为(



是夹角为

的单位向量,若 = )

+3



=2



,则向量

在 方向上的投影为( A. B. C.

D. )

5.程序框图如图所示,若输入值 t∈(0,3) ,则输出值 S 的取值范围是(

A. (0,4) B. (0,4] C.[0,9] D. (0,3) 6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm﹣2=﹣4,Sm=0,Sm+2=12,则第 m 项 am = ( A.0 ) B.1 C.3 D.8
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7.角 α 的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,“角 α 的 终边在射线 x+3y=0(x≥0)上”是“sin2α=﹣ ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

8. 在如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz 中, 一个四面体的顶点坐标系分别为 ( 0, 0,2) , (2,2,2) , (2,2,0) , (2,1,1) ,给出编号为①②③④⑤的五个图, 则该四面体的侧视图和俯视图分别为( )

A.①和⑤ B.②和③ C.④和⑤ D.④和③ 9.方程 C:y2=x2+ 所对应的曲线是( )

A.

B.

C



D.

10.α,β 是两个平面,m,n 是两条直线,下列四个命题错误的是( A.如果 m⊥n,m⊥α,n∥β,那么 α⊥β B.如果 m⊥α,n∥α,那么 m⊥n C.α∥β,m? α,那么 m∥β D.如果 m∥n,α∥β,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等 11.已知双曲线 M: 为



(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离 )

(c 为双曲线的半焦距长) ,则双曲线的离心率 e 为(
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A.

B.

C.

D.

12.已知函数 f(x)=x﹣1﹣lnx,对定义域内任意 x 都有 f(x)≥kx﹣2,则实数 k 的取值范围是( A. (﹣∞,1﹣ ) ] B. (﹣∞,﹣ ] C.[﹣ ,+∞) D.[1﹣ ,+∞)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (1﹣2x)6 的展开式中,x3 项的系数为 . (用数字作答)

14.在《九章算术》方田章圆田术(刘徽注)中指出:“割之弥细,所失弥少.割 之又割,以至不能割,则与圆周合体而无所失矣.”注述中所用的割圆术是一种 无限与有限的转化过程,比如在 却是个定值 x,这可以通过方程 = . 中“…”即代表无限次重复,但原式 =x 确定出来 x=2,类似地不难得到

15.等比数列{an}的各项均为正数,且 a4=a2?a5,3a5+2a4=1,则 Tn=a1a2…an 的最 大值为 . 与圆 x2+y2=12 交于 A、B 两点,过 A、B 分别做 ,则|CD|= .

16.已知直线 l:y=k(x+1)﹣

l 的垂线与 x 轴交于 C、D 两点,若|AB|=4

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, (1)求角 B 的大小; (2)若 b2=ac,求△ABC 的面积. 18. 某单位委托一家网络调查公司对单位 1000 名职员进行了 QQ 运动数据调查, 绘制了日均行走步数(千步)的频率分布直方图,如图所示(每个分组包括左端 点,不包括右端点,如第一组表示运动量在[4,6)之间(单位:千步) ) . (1)求单位职员日均行走步数在[6,8)的人数. (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数; (3)若将频率视为概率,从本单位随机抽取 3 位职员(看作有放回的抽样) ,求
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sinB﹣cosB=1,a=2.

日均行走步数在[10,14)的职员数 X 的分布列和数学期望.

19. PD⊥平面 ABCD, 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ∠BAD=60°, O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 PB 上任意一点. (1)证明:AC⊥DE; (2)若 PD∥平面 EAC,并且二面角 B﹣AE﹣C 的大小为 60°,求 PD:AD 的值.

20.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=2 与 y 的轴的交点为 P, 与 C 的交点为 Q,且|QF|=2|PQ|. (1)求 C 的方程; (2)边焦点 F 的直线 l 斜率为﹣1,判断 C 上是否存在两点 M,N,使得 M,N 关于直线 l 对称,若存在,求出|MN|,若不存在,说明理由. 21.已知 m 为实数,函数 f(x)= 是 f(x)的导函数. (1)当 m=1 时,求 f(x)的单调区间; (2)若 g(x)在区间[﹣1,1]上有零点,求 m 的取值范围. x3+x2﹣3x﹣mx+2,g(x)=f′(x) ,f′(x)

选做题: (共 1 个小题。共 10 分)[选修 4-1:几何证明选讲](请考生在第 22、 23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 ) 22.如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为 (Ⅰ)求证:DE∥AB;
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的中点,E 为 BC 的中点.

(Ⅱ)求证:AC?BC=2AD?CD.

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23.已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标项点为极点,

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=﹣2sinθ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标系方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π) .

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x+1|+|x﹣2|,f(x)﹣m≥0 恒成立. (1)求实数 m 的取值范围; (2)m 的最大值为 n,解不等式|x﹣3|﹣2x≤n+1.

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2016-2017 学年贵州省毕节市高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.设集合 M={x|x2<x},N={x||x|<1},则( A.M∩N=? B.M∪N=M C.M∩N=M )

D.M∪N=R

【考点】集合的表示法;集合的包含关系判断及应用. 【分析】解 x2<x 可得集合 M={x|0<x<2},解|x|<1 可得集合 N,由交集的定 义,分析可得答案. 【解答】解:x2<x?0<x<1,则集合 M={x|0<x<1}, |x|<1?﹣1<x<1,则集合 N={x|﹣1<x<1}, 则 M∩N={x|0<x<1}=M, 故选 C.

2.i 表示虚数单位,则复数 A. B.﹣ C. D.﹣

=(



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解: 故选:D. = ,

3.设 x,y 满足约束条件 A.1 B.4 C.8 D.11

,则 z=3x﹣2y 的最大值为(



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【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,设利用数形结合即可的得到结论.

【解答】解:x,y 满足约束条件

的可行域如图:

z=3x﹣2y 得 y= x﹣ 当 y= x﹣ 由

,平移 y= x﹣



经过可行域的 A 时,z 取得最大值, ,解得 A(5,2) .

此时 z 的最大值为:3×5﹣2×2=11. 故选:D.

4.已知



是夹角为

的单位向量,若 = )

+3



=2



,则向量

在 方向上的投影为( A. B. C.

D.

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 由条件即可求出 而可得到 在 方向上的投影为 , 而根据 即可求出 的值,

,从而求出该投影的值.

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【解答】解:根据条件:

= = = ;

= = = ;

∴ 在 方向上的投影为:

=

= = .

故选 B.

5.程序框图如图所示,若输入值 t∈(0,3) ,则输出值 S 的取值范围是(



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A. (0,4) B. (0,4] C.[0,9] D. (0,3) 【考点】程序框图. 【分析】 模拟执行程序框图, 可得程序框图的功能是计算并输出 S= 的值,分类讨论即可得解. 【解答】解:由程序框图可知程序框图的功能是计算并输出 S= 值, ∴当 t∈(0,1)时,0≤3t<3; 当 t∈[1,3)时,4t﹣t2=4﹣(t﹣2)2∈[3,4], ∴综上得:0≤S≤4. 故选:B. 的

6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm﹣2=﹣4,Sm=0,Sm+2=12,则第 m 项 am = ( A.0 ) B.1 C.3 D.8

【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】根据等差数列的通项公式和前 n 项和公式,建立方程,即可得出结论. 【解答】解:∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm﹣2=﹣4,Sm=0,Sm+2=12, ∴am+am﹣1=Sm﹣Sm﹣2=0+4=4, am+2+am+1=Sm+2﹣Sm=12﹣0=12,
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即 解得 d=2,



∴am= (am+am﹣1+d)= (4+2)=3. 故选:C.

7.角 α 的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,“角 α 的 终边在射线 x+3y=0(x≥0)上”是“sin2α=﹣ ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据三角函数的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:∵角 α 的终边在射线 x+3y=0(x≥0)上, ∴设点 P (3, ﹣1) , 则 sinα=﹣ ( )=﹣ ,即充分性成立, ,cosα=﹣ ,此时满足 sin2α=﹣ ,但 M(﹣3, cosα= , , 则 sin2α=2sinαcosα=2× (﹣ )

当 M(﹣3,1) ,则 sinα=

1)不在射线 x+3y=0(x≥0)上,即必要性不成立, 即“角 α 的终边在射线 x+3y=0(x≥0)上”是“sin2α=﹣ ”的充分不必要条件, 故选:A.

8. 在如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz 中, 一个四面体的顶点坐标系分别为 ( 0, 0,2) , (2,2,2) , (2,2,0) , (2,1,1) ,给出编号为①②③④⑤的五个图, 则该四面体的侧视图和俯视图分别为( )

A.①和⑤ B.②和③ C.④和⑤ D.④和③
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【考点】简单空间图形的三视图. 【分析】 在坐标系中标出已知的四个点, 根据三视图的画图规则, 即可得出结论. 【解答】解:在坐标系中,标出已知的四个点, 根据三视图的画图规则,可得四面体的侧视图和俯视图分别为②和③. 故选:B.

9.方程 C:y2=x2+

所对应的曲线是(



A.

B.

C



D.

【考点】函数的图象. 【分析】根据函数的奇偶性和函数的最值即可判断. 【解答】解:当 y>0 时,y=(x2+ 故关于 y 轴对称,且 y2=x2+ 最小值为 2, y2=x2+ 也关于 x 轴对称,
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,该为函数为偶函数, =2,当且仅当 x=±1 时,取等号,故

≥2

故选:D

10.α,β 是两个平面,m,n 是两条直线,下列四个命题错误的是( A.如果 m⊥n,m⊥α,n∥β,那么 α⊥β B.如果 m⊥α,n∥α,那么 m⊥n C.α∥β,m? α,那么 m∥β D.如果 m∥n,α∥β,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.



【分析】 根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征,分析判断各个 结论的真假,可得答案. 【解答】解:对于 A,如果 m⊥n,m⊥α,n∥β,不能得出 α⊥β,故错误; 对于 B,如果 n∥α,则存在直线 l? α,使 n∥l,由 m⊥α,可得 m⊥l,那么 m ⊥n.故正确; 对于 C,如果 α∥β,m? α,那么 m 与 β 无公共点,则 m∥β.故正确 对于 D,如果 m∥n,α∥β,那么 m,n 与 α 所成的角和 m,n 与 β 所成的角均 相等.故正确; 故选:A.

11.已知双曲线 M: 为 A.

(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离 )

(c 为双曲线的半焦距长) ,则双曲线的离心率 e 为( B. C. D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据双曲线方程可得它的渐近线方程为 bx±ay=0,焦点坐标为(±c, 0) .利用点到直线的距离,结合已知条件列式,可得 b,c 关系,利用双曲线离 心率的公式,可以计算出该双曲线的离心率. 【解答】解:双曲线双曲线 M: ±ay=0,焦点坐标为(±c,0) ,其中 c=
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(a>0,b>0)的渐近线方程为 bx

∴一个焦点到一条渐近线的距离为 d= 由此可得双曲线的离心率为 e= = 故选:C. .

=

,即 7b2=2a2,

12.已知函数 f(x)=x﹣1﹣lnx,对定义域内任意 x 都有 f(x)≥kx﹣2,则实数 k 的取值范围是( A. (﹣∞,1﹣ ) ] B. (﹣∞,﹣ ] C.[﹣ ,+∞) D.[1﹣ ,+∞)

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 问题转化为 k≤1+ ﹣ =1+ ﹣ 对 x∈ (0, +∞) 恒成立, 令g (x) ,

根据函数的单调性求出 g(x)的最小值,从而求出 k 的范围即可. 【解答】解:f(x)=x﹣1﹣lnx,若对定义域内任意 x 都有 f(x)≥kx﹣2, 则 k≤1+ ﹣ 对 x∈(0,+∞)恒成立, ,则 g′(x)= ,

令 g(x)=1+ ﹣

令 g′(x)>0,解得:x>e2, 令 g′(x)<0,解得:0<x<e2, 故 g(x)在(0,e2)递减,在(e2,+∞)递增, 故 g(x)的最小值是 g(e2)=1﹣ 故 k≤1﹣ 故选:A. , ,

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (1﹣2x)6 的展开式中,x3 项的系数为 【考点】二项式系数的性质. 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项,令 x 的指数为 3 求出展开式 中 x3 的系数即可.
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﹣160

. (用数字作答)

【解答】解:设求的项为 Tr+1=C6r(﹣2x)r 令 r=3, ∴T4=﹣C6323x3=﹣160x3. 故答案为:﹣160.

14.在《九章算术》方田章圆田术(刘徽注)中指出:“割之弥细,所失弥少.割 之又割,以至不能割,则与圆周合体而无所失矣.”注述中所用的割圆术是一种 无限与有限的转化过程,比如在 却是个定值 x,这可以通过方程 . 【考点】类比推理. 【分析】由已知代数式的求值方法:先换元,再列方程,解方程,求解(舍去负 根) ,可得要求的式子. 【解答】解:可以令 1+ 故答案为 . =t(t>0) ,由 1+ =t 解的其值为 , 中“…”即代表无限次重复,但原式 =x 确定出来 x=2,类似地不难得到 =

15.等比数列{an}的各项均为正数,且 a4=a2?a5,3a5+2a4=1,则 Tn=a1a2…an 的最 大值为 27 .

【考点】等比数列的通项公式. 【分析】由 a4=a2?a5,得 即 a4=q,再结合已知条件求出等比数列的通项

公式,进一步求出 Tn=a1a2…an 的最大值即可. 【解答】解:由 a4=a2?a5,得 ∴3 ∴ 则 Tn=a1a2…an 的最大值为:
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即 a4=q.

即 a4=q= . . .

故答案为:27.

16.已知直线 l:y=k(x+1)﹣

与圆 x2+y2=12 交于 A、B 两点,过 A、B 分别做 ,则|CD|= 8 .

l 的垂线与 x 轴交于 C、D 两点,若|AB|=4 【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】根据直线与圆相交,圆 x2+y2=12 可知:圆心为(0,0) ,半径 r=2 弦长为|AB|=4



=2r,说明直线 l 过圆心 O 所以可以得到直线 AB 的倾斜角.根 ,

据 AOC 和 OBD 是两个全等的直角三角形,OA=OB=2

即可求出 OC 和 OD,由直线的倾斜角即可得到|CD|的长度. 【解答】解:由圆的方程 x2+y2=12 可知:圆心为( 0 , 0 ) ,半径 r=2 ,

∵弦长为|AB|=4

=2r,

∴可以得知直线 l 经过圆心 O. ∴0=k(0﹣1)﹣ ,解得 k= x, , ,

∴直线 AB 的方程为:y=

设直线 AB 的倾斜角为 θ,则 tanθ= ∴θ=60°, ∴在 Rt△AOC 中:|CO|= 那么:|CD|=2|OC|=8 故答案为:8 . , =

=4



三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,
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sinB﹣cosB=1,a=2.

(1)求角 B 的大小; (2)若 b2=ac,求△ABC 的面积. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1)由已知得:sin(B﹣ 利用正弦函数的性质可求 B 的值. (2)由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣ac,结合 b2=ac,可求 a=c=2,进而利用三角形 面积公式即可计算得解. 【解答】解: (1)∵ sinB﹣cosB=1,可得:sin(B﹣ ∈(﹣ . , ) , )= , )= ,结合范围 B﹣ ∈(﹣ , ) ,

∵B∈(0,π) ,可得:B﹣ ∴B﹣ = ,可得:B=

(2)∵B= 又∵b2=ac,

,由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣ac,

∴a2+c2﹣ac=ac,可得:a=c=2, ∴S△ABC= = = .

18. 某单位委托一家网络调查公司对单位 1000 名职员进行了 QQ 运动数据调查, 绘制了日均行走步数(千步)的频率分布直方图,如图所示(每个分组包括左端 点,不包括右端点,如第一组表示运动量在[4,6)之间(单位:千步) ) . (1)求单位职员日均行走步数在[6,8)的人数. (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数; (3)若将频率视为概率,从本单位随机抽取 3 位职员(看作有放回的抽样) ,求 日均行走步数在[10,14)的职员数 X 的分布列和数学期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其
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分布列. 【分析】 (1)依题意及频率分布直方图先求出单位职员日均行走步数在[6,8) 的频率,由此能求出日均行走少数在[6,8)的人数. (2)根据频率分布直方图知,中位数在[8,10)内,设中位数为 x,列方程能 求出样本数据的中位数. (3)单位职员日均行走步数在[10,14)的频率为(0.125+0.075)×2=0.4,由 题意知 X~B(3,0.4) ,由此能求出日均行走步数在[10,14)的职员数 X 的分 布列和数学期望. 【解答】解: (1)依题意及频率分布直方图知,单位职员日均行走步数在[6,8) 的频率为 0.100×2=0.2, 则日均行走少数在[6,8)的人数为 0.2×1000=200 人. (2)根据频率分布直方图知, 中位数在[8,10)内,设中位数为 x, 则 0.05×2+0.1×2+0.125×(x﹣8)=0.5, 解得 x=9.6, ∴样本数据的中位数为 9.6. (3)单位职员日均行走步数在[10,14)的频率为(0.125+0.075)×2=0.4, 由题意知 X~B(3,0.4) , P(X=0)=0.63=0.216, P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= ∴X 的分布列为: X P 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064 =0.064, , ,

∴E(X)=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2.

19. PD⊥平面 ABCD, 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ∠BAD=60°,
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O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 PB 上任意一点. (1)证明:AC⊥DE; (2)若 PD∥平面 EAC,并且二面角 B﹣AE﹣C 的大小为 60°,求 PD:AD 的值.

【考点】二面角的平面角及求法;棱锥的结构特征;空间中直线与直线之间的位 置关系. 【分析】 (1)推导出 PD⊥AC,从而 AD⊥平面 PBD,由此能证明 AC⊥DE. (2)连结 OE,以 O 为原点,OA,OB,OE 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐 标系,利用向量法能求出 PD:AD. 【解答】证明: (1)∵PD⊥平面 ABCD, ∴PD⊥AC, 又四边形 ABCD 是菱形,BD⊥AC,且 PD∩BD=D, ∴AC⊥平面 PBD, ∴AC⊥DE. 解: (2)连结 OE,∵PD∥平面 EAC,∴PD∥OE, ∴OE⊥平面 ABCD,又 O 是 BD 的中点,故此时 E 为 PB 的中点, 以 O 为原点,OA,OB,OE 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 设 OB=m,OE=h,则 OA= ∴A( =(﹣ ,

) ,B(0,m,0) ,E(0,0,h) , ) , =(0,﹣m,h) ,

向量 =(0,1,0)是平面 AEC 的一个法向量, 设平面 ABE 的法向量 =(x,y,z) , 则 ,取 x=1,得 =(1, ) ,

∵二面角 B﹣AE﹣C 的大小为 60°,
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∴cos60°= ∴PD:AD=h:m=

= .

= ,解得



20.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=2 与 y 的轴的交点为 P, 与 C 的交点为 Q,且|QF|=2|PQ|. (1)求 C 的方程; (2)边焦点 F 的直线 l 斜率为﹣1,判断 C 上是否存在两点 M,N,使得 M,N 关于直线 l 对称,若存在,求出|MN|,若不存在,说明理由. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 (1)设 Q(x0,2) ,代入抛物线方程,结合抛物线的定义,可得 p=2, 进而得到抛物线方程; (2)设直线 l 的方程为 x+y﹣1=0,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,假设不存在 M, N,使得 M,N 关于直线 l 对称,得出矛盾即可. 【解答】解: (1)设 Q(x0,2) ,P(0,2)代入由 y2=2px(p>0)中得 x0= , 所以|PQ|= ,|QF|= + , 由题设得 + =2× ,解得 p=﹣2(舍去)或 p=2. 所以 C 的方程为 y2=4x. (2)设直线 l 的方程为 x+y﹣1=0,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 kMN= ,

MN 的中点 T 的坐标为(



) ,

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∵M,N 关于直线 l 对称,∴MN⊥l,∴

=1①,

∵中点 T 在直线 l 上,∴ 由①②可得 y1+y2=4,y1y2=4,

=﹣

+1②,

∴y1,y2 是方程 y2﹣4y+4=0 的两个根,此方程有两个相等的根, ∴C 上不存在 M,N,使得 M,N 关于直线 l 对称.

21.已知 m 为实数,函数 f(x)= 是 f(x)的导函数.

x3+x2﹣3x﹣mx+2,g(x)=f′(x) ,f′(x)

(1)当 m=1 时,求 f(x)的单调区间; (2)若 g(x)在区间[﹣1,1]上有零点,求 m 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 【分析】 (1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即 可; (2)m=0 时,不合题意,m≠0 时,根据二次函数的性质得到关于 m 的不等式 组,解出即可. 【解答】解: (1)由 f(x)= 得 f′(x)=2mx2+2x﹣3﹣m, m=1 时,f′(x)=2(x+2) (x﹣1) , 令 f′(x)>0,解得:x>1 或 x<﹣2, 令 f′(x)<0,解得:﹣2<x<1, 故 f(x)在(﹣∞,﹣2)递增,在(﹣2,1)递减,在(1,+∞)递增; (2)由(1)得 g(x)=2mx2+2x﹣3﹣m, 若 g(x)在区间[﹣1,1]上有零点, 则方程 g(x)=2mx2+2x﹣3﹣m=0 在[﹣1,1]上有解, m=0 时,g(x)=2x﹣3 在[﹣1,1]上没有零点,故 m≠0, 方程 g(x)=2mx2+2x﹣3﹣m=0 在[﹣1,1]上有解等价于 x3+x2﹣3x﹣mx+2,

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g(﹣1)?g(1)≤0 或



解得:1≤m≤5 或 m≤ 故 m 的范围是(﹣∞,

或 m≥5, ]∪[1,+∞) .

选做题: (共 1 个小题。共 10 分)[选修 4-1:几何证明选讲](请考生在第 22、 23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 ) 22.如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为 (Ⅰ)求证:DE∥AB; (Ⅱ)求证:AC?BC=2AD?CD. 的中点,E 为 BC 的中点.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (I)欲证 DE∥AB,连接 BD,因为 D 为 的中点及 E 为 BC 的中点,可

得 DE⊥BC,因为 AC 为圆的直径,所以∠ABC=90°,最后根据垂直于同一条直线 的两直线平行即可证得结论; (II)欲证 AC?BC=2AD?CD,转化为 AD?CD=AC?CE,再转化成比例式 后只须证明△DAC∽△ECD 即可. 【解答】证明: (Ⅰ)连接 BD,因为 D 为 因为 E 为 BC 的中点,所以 DE⊥BC. 因为 AC 为圆的直径,所以∠ABC=90°, 所以 AB∥DE.… (Ⅱ)因为 D 为 的中点,所以∠BAD=∠DAC, 的中点,所以 BD=DC. = .最

又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB. 又因为 AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD.
第 21 页(共 24 页)

所以

=

,AD?CD=AC?CE,2AD?CD=AC?2CE,

因此 2AD?CD=AC?BC.…

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23.已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标项点为极点,

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=﹣2sinθ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标系方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π) . 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)先求出曲线 C1 的直角坐标方程,再由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,能求出到 C1 的极坐标方程. (2)将 ρ=﹣2sinθ 代入 ρ2+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0,得 sin(2θ﹣ 能求出 C1 与 C2 交点的极坐标. 【解答】解: (1)∵曲线 C1 的参数方程为 ∴曲线 C1 的直角坐标方程为(x+4)2+(y+5)2=25, ∴x=ρcosθ,y=ρsinθ, ∴(ρcosθ+4)2+(ρsinθ+5)2=25, 化简,得到 C1 的极坐标方程为:ρ2+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0. (2)将 ρ=﹣2sinθ 代入 ρ2+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0, 化简,得:sin2θ+sinθcosθ﹣1=0, 整理,得 sin(2θ﹣ ∴2θ﹣ =2kπ+ 或 )= , =2kπ+ ,k∈Z, (t 为参数) , )= ,由此

第 22 页(共 24 页)

由 ρ≥0,0≤θ<2π,得 代入 ρ=﹣2sinθ,得 ∴C1 与 C2 交点的极坐标为( 或



, ,



)或(2,

) .

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x+1|+|x﹣2|,f(x)﹣m≥0 恒成立. (1)求实数 m 的取值范围; (2)m 的最大值为 n,解不等式|x﹣3|﹣2x≤n+1. 【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】 (1)利用绝对值三角不等式求得 f(x)min=3,可得 m 的范围. (2)由题意可得|x﹣3|≤4+2x,分类讨论去掉绝对值,求得 x 的范围. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=|x+1|+|x﹣2|≥|x+1﹣(x﹣2)|=3,∴f(x)
min=3,当且仅当﹣1≤x≤2

时,等号成立.

又 f(x)﹣m≥0 恒成立,∴m≤f(x)min=3. (2)∵m 的最大值为 n=3,不等式|x﹣3|﹣2x≤n+1,即|x﹣3|﹣2x≤4,即|x ﹣3|≤4+2x, ∴ ①,或 ②.

解①求得﹣ ≤x<3,解②求得 x≥3. 综上可得,不等式|x﹣3|﹣2x≤n+1 的解集为{x|x≥﹣ }.

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2017 年 2 月 6 日

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