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2019学年高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线课件新人教A版选修(1)_图文



渐开线与摆线

学 习 目 标 思 维 脉 络 1.了解 圆的渐开线的参 渐开线与摆线 数方程,了解 摆线的生成 渐开线的概念及生成过程 过程及它的参数方程. 摆线的概念及生成过程 2.了解 用向量知识推导 圆的渐开线与摆线的参数方程 运动轨迹的方法和步骤.

1.渐开线 (1)把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支 铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的 曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆. (2)圆的渐开线的参数方程: = (cos + sin), (φ 为参数). = (sin-cos) 2.摆线 (1)圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上 一个定点的轨迹,圆的摆线又叫旋轮线. (2)圆的摆线的参数方程: = (-sin), (φ 为参数). = (1-cos)

名师点拨1.渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨 迹,圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周 上一个定点的轨迹. 2.渐开线上任一点M的坐标由圆心角(以弧度为单位)唯一确定, 而在圆的摆线中,圆周上定点M的位置也可以由圆心角唯一确定. 3.圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程,既烦琐又 没有实际意义.

做一做1 半径为2的圆的渐开线的参数方程为( = 2(-sin), A. (θ 为参数) = 2(1-cos) = 2(1-sin), B. (θ 为参数) = 2(-cos) = 2(cos + sin), C. (θ 为参数) = 2(sin-cos) = 2(cos-sin), D. (θ 为参数) = 2(sin + cos) 答案:C

)

做一做2 半径为2的圆的摆线的参数方程为( = 2cos, A. (φ 为参数) = 2sin = -2cos, B. (φ 为参数) = -2sin = 2(-sin), C. (φ 为参数) = 2(1-cos) = 2(1-sin), D. (φ 为参数) = 2(-cos) 答案:C

)

思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)只有圆才有渐开线. ( × ) (2)渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以 才得到不同的图形. ( × ) (3)对于同一个圆,如果建立的直角坐标系的位置不同,画出的渐 开线的形状就不同. ( × ) (4)在求圆的摆线和渐开线参数方程时,如果建立的坐标系的原点 和坐标轴不同,可能会得到不同的参数方程. ( √ )

探究一

探究二

思维辨析

圆的渐开线、摆线的参数方程的理解

= 3cos + 3sin, 【例 1】 已知圆的渐开线的参数方程为 = 3sin-3cos (φ 为参数). 根据参数方程可以看出该渐开线的基圆的半径是 ,当 π 参数 φ 取 时对应的曲线上的点的坐标是 .
2

分析:本题考查对渐开线参数方程的理解.对照一般情况下基圆 = (cos + sin), 半径为 r 的渐开线的参数方程 (φ 为参数 )可 = (sin-cos) π 求 r 的值 ,然后把 φ= 代入方程 ,即得对应的点的坐标.
2

探究一

探究二

思维辨析

解析: 所给的圆的渐开线的参数方程可化为 = 3(cos + sin), 所以基圆半径 r=3. = 3(sin-cos), π π π = 3 cos + sin , π 2 2 2 把 φ= 代入方程 ,可得 π π π 2 = 3 sin - cos , 即 = = 3.
3π , 2 2 2 2

π 3π 所以当参数 φ 取 时对应的曲线上的点的坐标是 ,3 2 2 3π 答案:3 ,3 2

.

反思感悟利用圆的渐开线、摆线的参数方程解决相关问题时,一 是要牢记参数方程的基本形式,二是要明确参数方程中每个字母所 表示的含义,注意结合三角函数的相关知识加以解决.

探究一

探究二

思维辨析

变式训练 1 已知圆的渐开线的参数方程是 = cos + sin, (φ 为参数),则此渐开线对应的基圆的直径 = sin-cos π 是 ,当参数 φ= 时对应的曲线上的点的坐标 为 .
√2

4

答案:2

2

+

√2π √2 √2π

8

,

2

-

8

【例2】 已知生成摆线的圆的直径为80 mm,则摆线的参数方程 为 . 分析:直接代入摆线的参数方程即可. 解析:由题意知圆的半径为 40 mm,所以所求的摆线的参数方程 = 40(-sin), 为 (φ 为参数). = 40(1-cos) = 40(-sin), 答案: (φ 为参数) = 40(1-cos)

探究一

探究二

思维辨析

反思感悟根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知摆线 的参数方程中的字母r是指定圆的半径,参数φ是指圆上定点相对于 某一定点运动所张开角度的大小.

探究一

探究二

思维辨析

= 2(-sin), π π 变式训练 2 已知摆线 (t 为参数),若 t= , ,则对应 3 4 = 2(1-cos) 的点的直角坐标分别为 .

答案:

2π -√3,1 3

,

π -√2,2-√2 2

探究一

探究二

思维辨析

渐开线、摆线的参数方程的应用 【例3】 已知圆的直径为2,其渐开线的参数方程对应的曲线上 π π 的A,B两点所对应的参数分别是 3 和 2,求A,B两点间的距离. 分析:先写出圆的渐开线的参数方程,再把点A,B所对应的参数 分别代入参数方程可得A,B两点的坐标,然后使用两点间的距离公 式求得A,B间的距离.

探究一

探究二

思维辨析

解:根据条件可知圆的半径是 1,所以对应的渐开线的参数方程 = cos + sin, π π 是 (φ 为参数).分别把 φ= 和 φ= 代入 ,可得 A,B = sin-cos 3 2 两点的坐标分别为
3+√3π 3√3-π , 6 6

,

π ,1 2

.根据两点间的距离公式可

得 A,B 两点间的距离为

|AB|= =
1 6

3+√3π π 6 2

2

+

3√3-π -1 6

2

(13-6√3)π2 -6π-36 √3 + 72.

反思感悟根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知在渐开 线的参数方程中,字母r是指基圆的半径,而不是直径.圆的渐开线上 任一点的坐标由参数φ确定,因此只需将点对应的参数代入参数方 程中,即可求出相应的点的坐标.

探究一

探究二

思维辨析

= -sin, 变式训练3 设摆线 = 1-cos (t为参数,0≤t≤2π)与直线y=1相 交于A,B两点,求A,B两点间的距离.
解: 由 y=1 及 y=1-cos t 得 cos t=0,∵0≤t ≤2π,
π 3π π π π π π π ∴t1= 2,t2= 2 .当 t1= 2时 ,x=2-sin2 = 2-1,y=1-cos2=1.∴A 2 -1,1 3π 3π 3π 3π 3π 当 t2= 时,x= -sin = +1,y=1-cos =1, 2 2 2 2 2 3π ∴B 2 + 1,1 .故 A,B 两点间的距离为 2 3π π |AB|= + 1 - -1 + (1-1)2 = (π + 2)2 =π+2. 2 2

.

探究一

探究二

思维辨析

对参数φ的几何意义理解不全面致误 典例已知一个圆的摆线经过定点(1,0),请写出该摆线的参数方程. 错解令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,代入x=r(φ-sin φ)可得 x=0.故此题无解. 正解令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).代入x=r(φ-sin φ)可得x=r(2kπ-sin 2kπ)=1.

所以 r= = =

以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆线的参数方程是
1 (-sin), 2π * ( φ 为参数 , k ∈ N ). 1 (1-cos) 2π

1 (k∈Z).又根据实际情况可知 2π

r 是圆的半径,故 r>0.所

纠错心得本题错解在于由cos φ=1直接得出φ=0,导致答案错误, 这是由于对参数φ的意义理解不全面而导致的.

探究一

探究二

思维辨析

变式训练 若半径为5的圆的摆线上某点的纵坐标为0,则其横坐 标可能是( ) A.π B.5π C.10π D.12π = 5-5sin, 解析:根据条件可知圆的摆线的参数方程为 = 5-5cos (φ 为参数),把y=0代入可得cos φ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).而x=5φ-5sin φ=10kπ(k∈Z).根据选项可知应选C. 答案:C

1

2

3

4

5

= cos + sin, 1.已知圆的渐开线的参数方程为 = sin-cos (φ为参数),则 此渐开线对应基圆的面积是( ) A.1 B.π C.2 D.2π 解析:由参数方程知基圆的半径为1,故其面积为π. 答案:B

1

2

3

4

5

2.圆的渐开线 坐标为( ) A. 1 + ,1-

= √2(cos + sin), π (t 为参数)上与 t= 对应的点的 4 = √2(sin-cos)

π π π π B. 1- ,1 + 4 4 4 4 π π π π C. -1- ,1D. 1 + ,-14 4 4 4 π π π π π 解析:令 t= ,得 x=√2 cos + sin =1+ ,y=√2 4 4 4 4 4 π π π π π cos =1- ,故所求的坐标为 1 + ,1- . 4 4 4 4 4

sin -

π 4

答案:A

1

2

3

4

5

= 8cos + 8sin, 3.若一个圆的渐开线的参数方程为 = 8sin-8cos (φ为参 数),则相应的摆线的参数方程为 . 解析:由已知可得圆的半径为 8,因此相应的摆线的参数方程为 = 8-8sin, (φ 为参数). = 8-8cos = 8-8sin, 答案: (φ 为参数) = 8-8cos

1

2

3

4

5

4.已知圆的方程为x2+y2=25,点P为其渐开线上一点,对应的参数 π φ= 2 ,则点P的坐标为 .

解析:由题意知圆的半径 r=5,其渐开线的参数方程为 = 5(cos + sin), π 5π (φ 为参数).当 φ= 时,x= ,y=5,故点 P 的坐 2 2 = 5(sin-cos)
5π ,5 . 2 5π 答案: ,5 2

标为

1

2

3

4

5

5.有一标准的渐开线齿轮,齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm,求齿 廓线所在圆的渐开线的参数方程. 解:因为基圆的直径为22 mm,所以基圆的半径为11 mm,因此齿廓
= 11(cos + sin), 线所在圆的渐开线的参数方程为 = 11(sin-cos) (φ 为参数).



渐开线与摆线

加油学习

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