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高中数学(北师大版)必修五教案:1.3 知识精点:等比数列的前n项和


《等比数列的前 n 项和》知识精点 等比数列的概念 [定义]如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示( q ? 0 ) 。 等比中项 如果在 a 与 b 之间插入一个数 G , 使 a ,G ,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。 也就是,如果是的等比中项,那么 等比数列的判定方法 1.定义法:对于数列 ?an ? ,若 a n ?1 ? q ( q ? 0) ,则数列 an G b 2 ? ,即 G ? ab 。 a G ?an ?是等比数列。 2 2.等比中项:对于数列 ?an ? ,若 an an?2 ? an an ? 是等比数列。 ?1 ,则数列 ? 等比数列的通项公式 如果等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则等比数列的通项为 an ? a1q n?1 。 等比数列的前 n 项和 1 Sn ? ○ a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 1? q 2 S n ? 1 n (q ? 1) ○ 1? q a ?a q 3当 q ? 1 时, S n ? na1 ○ 等比数列的性质 1.等比数列任意两项间的关系:如果 an 是等比数列的第 n 项,a m 是等差数列 的第 m 项,且 m ? n ,公比为 q ,则有 an ? am q n?m 2.对于等比数列 ?an ? ,若 n ? m ? u ? v ,则 an ? am ? au ? av 也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2 a1?an ????? ?????? a , a , a , ? , a n?2 , a n?1 , a n 2 ?3 ? ?? 。如图所示: 1 ? ? ? ?? ?? ? a2 ?an ?1 3.若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2 k 成等比数列。如下图所示: S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

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