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12数学基础知识与典型例题复习--复数


数学基础知识与典型例题 第十二章复数
1.虚数单位 i 及特性: ① i 的性质: i = 1 ;
2

6. 1 i 的值等于(
2

1+ i

) (C)i . (D)-i

(A)1
2
4 n +1 4 n+ 2 4 n +3 4n

(B)-1

7. 复数 ( i + 3) 的虚部是

② i 的幂的周期性:若 n ∈ Z ,则 i = i,i = 1 , i = i , i = 1 ; ③实数可以与 i 进行四则运算, 进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立. 2.复数相等的充要条件: ①复数的代数形式 z = a + bi ( a ∈ R, b ∈ R ) , a 称为实部, b 称为虚部. ②如果 a, b, c, d ∈ R ,那么 a + bi = c + di a = c, b = d ; 特别地 a + bi = 0 a = b = 0

8. 在复平面内, 是原点, , O OA OC ,AB 表示的复数分别为 2 + i, 3 + 2i,1 + 5i ,

uuu uuur uuu r r

uuu r

那么 BC 表示的复数为____________.
2 2 9. 已知复数 z 对应的点 (a, b) 在圆 ( x + 1) + y = 1 上移动,并且

复 数

3.复数是实数的充要条件: ① z = a + bi ∈ R b = 0( a ∈ R, b ∈ R ) ; ②复数 z 的共轭复数为 z ,则有 z ∈ R z = z 4.复数是纯虚数的充要条件: ① z = a + bi ( a ∈ R, b ∈ R ) ,则 z 是纯虚数 a + 0 且 b ≠ 0 ; ② z 是纯虚数 z + z = 0 且 z ≠ 0 5.复数 z = a + bi ( a ∈ R, b ∈ R ) 与平面上的点 Z ( a, b) 、向量 OZ 一一对应. 6. z = z = z = z z
2 2 2

复 数

i 是纯虚数,则复数 z 1

z 的值为________.
10. 关于 x 的方程 x (tan θ + i ) x (i + 2) = 0 ( θ ∈ R, x ∈ C )
2

⑴若此方程有实数根,求锐角 θ 的值;⑵求证:对任意的实数 θ ( θ ≠ 方程不可能有纯虚根.

π
2

+ kπ ) ,原

uuu r

注:两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小 1.z= (m 2 3m + 2) + ( m 2 + m 2)i 是纯虚数,实数 m 的值是( (A)1 (B)2 (C)-2 (D)1 和 2 2. 当 m < 1 时,复数 z = 2 + ( m 1)i 在复平面上对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 )

复 数

数学基础知识与典型例题(第十二章)复数答案 ) 例 1.B 例 2.D 例 3.A 例 4.B 例 5.A 例 6.B 例 9.0 或2[点评]本题考查复数的运算和复数的几何意义.
2

2 bi (其中 i 为虚数单位, 为实数)的实部和虚部互为相反数, b=( b 则 3. 如果复数 1+ i
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4. 下列四个命题:

例 7. 2 3

例 8. 4-4i

例 10. 解:⑴设 x ∈ R 是方程 x (tan θ + i ) x (i + 2) = 0 的根, 则 x 2 x tan θ 2 i ( x + 1) = 0 ∴

x 2 x tan θ 2 = 0 ① x +1 = 0 ②

1 ①满足 z = 的复数有 ± 1,±i ; z

由②得 x = 1 代入①得 tan θ = 1 ,∴锐角 θ = ⑵证明:反证法

π
4

②若 a,b 是两个相等的实数,则 (a b) + ( a + b )i 是纯虚数; ③复数 z ∈ R 的充要条件是 z = z ; ④复平面内 x 轴即实轴,y 轴即虚轴. 其中正确的有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

若方程有纯虚根,设为 x = ai(a ≠ 0) ,代入原方程并整理得 ( a 2 + a 2) ( a tan θ + 1)i = 0 ∴

a 2 + a 2 = 0 a tan θ + 1 = 0

(*)∵方程 a + a 2 = 0 无实根,∴方程组(*)无解.
2

5. 1 + i + 2i + 3i + LL + 100i (A) 51 50i (B) 50 50i
2 3

100

=( ) (C) 50 + 50i

故假设不成立,因此原方程无纯虚根. (D) 49 50i
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