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4.2 三角函数的化简与求值_图文

高考第一轮复习用书· 数学(理科)

第四章 4.2 三角函数的化简与求值

§4.2 三角函数的化简与求值

知识诠释

思维发散

?
一、两角和与差的三角函数公式 sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β;

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

tan(α±β)=

?

tan α ? tan β 1 tan α tan β

.

公式变形:①tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β); ②辅助角公式:asin α+bcos α=?
a 2 ? b2sin(α+φ)(其中cos

φ=

?

a
2

a ?b
2

,sin φ=

b a
2

? ). ?b
2

二、二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α;

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

cos 2α=cos α-sin α=1-2sin α=2cos α-1; tan 2α=

2

2

2

2

?

2 tan α 1 ? tan 2 α

.
2 2

公式变形:①1+cos 2α=2cos α,1-cos 2α=2sin α.(升幂公式) ②cos α=
2

?

1 ? cos 2α 2

,sin α=

2

?

1 ? cos 2α 2

.(降幂公式)

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

三、半角公式
1 ? cos θ θ sin?=± , 2 2

?

cos?=±
tan?=±
θ 2

θ 2

1 ? cos θ , 2

?

1 ? cos θ , 1 ? cos θ

θ 其中符号“±”的选取由? 角的范围确定. 2

用正余弦来表示正切的半角公式: tan?=
α 2
1 ? cos α sin α ? =? sin α 1 ? cos α

.

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

1.设sin ?=m,则tan ?等于?(
5

?

2? 5

)

(A)?

m

1 ? m2

. .
?
5

(B)2m?1 ? m2 . (D)1-m.
?
5

2m 1 ? m 2 (C) 1 ? 2m 2

?

【解析】cos ?=? 1 ? m2 ,tan

2 tan 2? 5 =? ,tan ? = ? 5 1 ? m2 1 ? tan 2 5
m

?

?

=

?

1 ? m2 m2 1? 1 ? m2

2

m

=?

2m 1 ? m 2 1 ? 2m 2

.

【答案】C

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

2.cos x· sin(x-1)-sin x· cos(1-x)等于?( (A)-sin 1. (B)sin 1. (C)-cos 1.

) (D)cos 1.

【解析】cos x· sin(x-1)-sin x· cos(1-x)=-cos x· sin(1-x)-sin x· cos (1-x)=-sin 1. 【答案】A

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

3.在锐角△ABC中,设x=sin A· sin B,y=cos A· cos B,则x,y的大 小关系是 .
?
2

【解析】∵△ABC为锐角三角形,∴A+B>?, ∴cos(A+B)<0, 即cos A· cos B-sin A· sin B<0, ∴cos A· cos B<sin A· sin B,即y<x. 【答案】y<x

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

核心突围

技能聚合

?
题型1 三角函数式的化简
? ? ? ? ?例1 (1)化简sin(3x+ ? )cos(x-? )+cos(3x+? )cos(x+? );
3 6 3 3

(2)化简

tan α tan 2α tan 2α ? tan α

+? 3 (sin α-cos α).

2

2

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

【分析】此三角函数式出现两类函数,利用两角和与差公式 统一函数成为化简的主要目标. 【解析】(1)sin(3x+?)cos(x-?)+cos(3x+?)cos(x+?)
3 6 3 3

?

?

?

?

=sin(3x+?)sin [?+(x-?)]+cos(3x+?)cos(x+?)
3 2 6 3 3

?

?

?

?

?

=sin(3x+?)sin(x+?)+cos(3x+?)cos(x+?)
3 3 3 3

?

?

?

?

=cos 2x.
2 2 tan α tan 2α (2)? + 3?(sin α-cos α) tan 2α ? tan α

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2 tan α 1 ? tan 2 α 2 tan α ? tan α 2 1 ? tan α tan α

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=

?+

3?(sin
2

2

α-cos α)
2

2

2tan 2 α =? + tan α ? tan 3α

3 ?(sin

α-cos α)

=

2 2 2 tan α 3 ? + ? (sin α cos α) 2 1 ? tan α

=2sin αcos

α-? 3

(cos α-sin α)

2

2

=sin 2α-?3cos 2α =2sin(2α-? ). 3
?

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

【点评】三角函数公式的结构特点是引导三角变换的导火 线,“统一思想”是一个基本变换准则,否则三角变换过程就 会乱.

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2 4

第四章 4.2 三角函数的化简与求值

变式训练1 (1)化简?sin(?-x)+?cos(?-x);
4 4

?

6 4

?

(2)化简?.

sin(α ? β ) ? 2sin α cos β 2sin α sin β ? cos(α ? β )

2 ? ? 6 【解析】(1)? sin( ? x )+ ? cos( ? -x) 4 4 4 4

=?[?sin(?-x)+?cos(?-x)]
4 4

2 1 2 2 2 2

?

3 2

?

=?[cos ?sin(?-x)+sin ?cos(?-x)]
3 4 3 4

?

?

?

?

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

=?sin(?-x). (2)? =? =? =?
sin(α ? β ) ? 2sin α cos β 2sin α sin β ? cos(α ? β )

2 2

7? 12

sin α cos β ? cos α sin β ? 2sin α cos β 2sin α sin β ? cos α cos β ? sin α sin β

cos α sin β ? sin α cos β sin α sin β ? cos α cos β
sin( β ? α ) cos( β ? α )

=tan(β-α).

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

题型2 有条件的三角函数式的求值

?例2
?

3? 已知α,β∈(? 4 4

,π),sin(α+β)=-

3 12 ? ? ,sin(β-? )=?,求 5 13 4

cos(α+?)的值. 【分析】观察给定条件中角之间的联系,发现α+?=(α+β)-(β4

?

? ? ),但利用加法公式时,还需确定另两个三角函数式的符号与
4

数值.

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3? 3? 【解析】∵α,β∈(?,π),α+β∈(? ,2π), 2 4 4 3 由sin(α+β)=-?,知cos(α+β)=?, 5 5

第四章 4.2 三角函数的化简与求值

∵β-? ∈(? , ?),
4 2 12 ? 由sin(β-?)=?,知cos(β-? 4 13 4

?

?

3? 4

?

5 )=-? 13

,

cos(α+?)=cos [(α+β)-(β-?)]
4 4

?

?

=cos(α+β)cos(β-?)+sin(α+β)sin(β-? )
4 4 3 4 5 12 56 =?×(-?)+(-? ) × ? =-?. 5 5 13 13 65

?

?

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

【点评】此题涉及三角函数式的联系观点,寻找角之间的联 系,并运用变换思想转换,在变换过程中运算及判断符号能力 是关键.此题最可能出现的错误就是符号错误而导致运算出 错.

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1 设sin(?+θ)=?,求cos 4 3 2

第四章 4.2 三角函数的化简与求值

变式训练2

?

4θ.
4 9

2 ? ? 7 【解析】sin 2θ=-cos(?+2θ)=2sin (? +θ)-1=-? ,cos 4θ=1-

2sin 2θ=1-2×(-?) =-?.

2

7 2 9

17 81

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

题型3 已知三角函数值求角

?例3 如右图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始
边作两个锐角α、β,它们的终边分别与单位圆交于A、B两
2 5 点.已知A、B的横坐标分别为 ? 、2 ? ,求α+2β的值. 10 5

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

【分析】从给定的条件可知锐角α、β的三角函数值,为了求 α+2β的值,需要转化为三角函数,关键是取哪一类的三角函

数,取正弦函数可能会出现多值,因此取余弦或正切均可.
【解析】由已知条件及三角函数的定义可知,cos α=?2 ,cos β
10 5 =2 ? . 5

因为α为锐角,故sin α>0,从而sin α= 同理可得sin
5 β =? 5

7 2 ?= ?. 1 ? cos α 10
2

.因此tan α=7,tan

1 β =? . 2

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1 2

第四章 4.2 三角函数的化简与求值

tan α ? tan β 即tan(α+β)=? = 1 ? tan α ? tan β

?

7?

tan(α+2β)=tan [(α+β)+β]=
? ?

?

1 1 ? ( ?3) ? 2

1 1? 7 ? 2 1 ?3 ? 2

=-3.

=-1.

3? 3 又0<α<?,0<β<?,故0<α+2β< ? , 从而由 tan( α +2 β )= 1 得 α +2 β = 2 4 2 2

?π.

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

【点评】这里提供的思路是利用正切公式来探求角的大小, 也可以通过余弦来探求,在求解过程中始终关注角的范围,以 便确定三角函数值的符号,这是三角函数题最基本的思维方 式.

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12 13

第四章 4.2 三角函数的化简与求值

17 变式训练3 已知cos α=-?,cos(α+β)=?

2

3? ? ,2π),求β. 2 3? 【解析】∵α∈(π,? ),cos 2 3? 2

26

,α∈(π,? ),α+β∈ (

3? 2

α=-

12 ?,∴sin 13

α=-

5 ?, 13

又∵α+β∈( ?,2π),cos(α+β)= <β<π.

17 2 2 ? ,∴sin(α+β)=- 7 ? ,由题易知0 26 26

cos β=cos [(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=3? ? 得β = . 4

2 2

,

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

题型4 有关三角函数求值的综合应用

?例4 设f(x)=?sin x(?x -tan ?)+? cos 2x,若f(x)=?,
1 2
2

1

tan

x 2

3 2

1 2

2

求钝角x的值. 【分析】面对复杂的三角函数式,首先要化简,这里有三种函 数,三种角,因此要统一函数,化切为弦,在化简过程中不断发

现三角函数的代数结构,运用相应的三角公式一步一步地化
简为正弦型函数,在解三角方程中,要注意它的多解性,注意 题目只要寻找其中的一个钝角.

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x x ? sin 2 2 2 x x sin cos 2 2

第四章 4.2 三角函数的化简与求值

2 1 【解析】f(x)=?sin x 2

cos 2

?+?

3 2

cos 2x

=sin xcos x+?cos 2x

3 2

=?sin 2x+?cos 2x
=sin(2x+?),
3

1 2

3 2

?

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1 又f(x)=?, 2

第四章 4.2 三角函数的化简与求值

所以2x+?=2kπ+? =2kπ+?,(k∈Z), 6 或2x+? 3
3 11? 解得x=kπ-? 或x=kπ+? , 而 x 为钝角 , 所以 x = ?. 4 12

?

?

?

5? 6

? 12

?

【点评】此题自然要求学生具有化简与变换思想,而且要对 三角公式的基本结构比较熟悉,逆用公式是基本的思维,合一

变换在化简中也起到非常重要作用.

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?

第四章 4.2 三角函数的化简与求值

变式训练4 已知函数f(x)=sin(x+?)+sin(x-?)+cos x+a的最大
6 6

?

值为1,求常数a的值. 【解析】f(x)=sin(x+?)+sin(x-?)+cos x+a
6 6

?

?

=?3

sin x+cos x+a=2sin(x+?)+a.
6

?

由a+2=1,得a=-1.

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

1.三角函数的求值类型有三类 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角 与特殊角之间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求 特殊角的三角函数值问题; (2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角 的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如α=(α+β)-β,2α=(α

+β)+(α-β)等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

角的范围的讨论; (3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由题给的所 求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角. 2.三角式的化简 (1)三角式的化简思路是根据三角式的特征,通过三角恒等变

换,化繁为简;
(2)三角条件式的化简思路是通过观察,发现已知条件和待化

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

简三角式之间的关系,采用代入法、消参法进行化简; (3)三角函数式化简的常用方法:①直接应用公式进行降次、 消项;②切化弦,异名化同名,异角化同角;③三角公式的逆用 等; (4)三角函数式化简的要求:①能求出值的应求出值;②使三

角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角
函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数.

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

?例 (12分)已知函数f(x)=cos x+sin xcos x(x∈R).
3? (1)求f(?)的值; 8

2

(2)求f(x)的单调递增区间. 【解析】f(x)=?
1 2 1 2
1 ? cos 2 x 2

+?sin 2x
1 2

1 2

=?sin 2x+?cos 2x+?

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

=?(?sin 2x+?cos 2x)+? =?sin(2x+?)+?.?[4分]
4
2 2

2 2

2 2

2 2

1 2

?

1 2

(1)f(?)=?sin π+?=?.?[6分] (2)令2kπ-?≤2x+?≤2kπ+?,k∈Z.
2 4 2

3? 8

2 2

1 2

1 2

?

?

?

? 3? ∴2kπ-? ≤2x≤2kπ+? ,k∈Z, 4 4

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?

第四章 4.2 三角函数的化简与求值

3? 即kπ-? ≤x≤kπ+?(k∈Z)时,f(x)单调递增.?[10分] 8 8

∴f(x)的单调递增区间为[kπ-?,kπ+?](k∈Z).?[12分]
8

3? 8

?

答案流程 第一步,将f(x)化为asin x+bcos x的形式; 第二步,构造:f(x)=? a
2

?b

2

(sin x· ? a 2 ? b 2 +cos x·
a 2 ? b2

a

b a
2

? ); ?b
2

第三步,和角公式逆用f(x)=?

sin(x+φ)(其中φ为辅助角);

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

第四步,利用f(x)=

a 2 ? b2?sin(x+φ)研究三角函数的性质;

第五步,反思回顾,查看关键点、易错点和解题规范. 【点评】(1)在本题的解法中,运用了二倍角的正、余弦公 式,还引入了辅助角,技巧性强.值得强调的是:辅助角公式 asin α+bcos α=
a ?b
2 2

a cos(α-φ)(其中tan φ=? b ),在历年高考中使用的频率是

2 sin(α+φ)(其中tan φ=? ), 或 a sin α + b cos α = ? a ?b a

b

相当高的,几乎年年使用到、考查到,应特别加以关注. (2)本题的易错点是想不到引入辅助角或引入错误.在定义域 大于周期的区间上求最值时,辅助的值一般不用具体确定.

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

基础· 角度· 思路

一、选择题(本大题共5小题,每小题6分) α 1.(基础再现)已知tan ?=3,则cos α等于?(
2

)

(A)?.

4 5

(B)-?.

4 5

(C)?.

4 15

(D)-?.
2

3 5

【解析】cos α=?

α 2 α cos ? sin 2 α 2 α cos ? sin 2 2 2 2 = α α sin 2 ? cos 2 1 2 2

1 ? tan 2

=

α tan ? 1 2
2

?

α 2

=-

4 ?. 5

【答案】B

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?

第四章 4.2 三角函数的化简与求值

3 2.(基础再现)设α是第二象限的角,sin(?+α)=-?,则tan 2α等于 2 5

?(

)
24 7

(A)-?.

(B)?.
2 5

24 7

(C)-?.

7 24

(D)?.
5 5 4 3

7 24

? 3 3 4 【解析】sin(? +α)=-? ,即cos α=-? ,sin α=? ,tan α=-?,

tan 2α= 1 ? tan 2α ?=?. 【答案】B

2 tan α

24 7

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

3.(基础再现)?1 ? 2sin(? ? 2)cos(? ? 2) 等于?( (A)sin 2-cos 2. (C)±(sin 2-cos 2). (B)cos 2-sin 2. (D)sin 2+cos 2.

)

【解析】因为?1 ? 2sin(? ? 2)cos(? ? 2)
1 ? 2sin 2cos 2 =?

= (sin 2 ? cos 2)2 =|sin 2-cos 2|, 又sin 2>cos 2,故选A. 【答案】A

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?

第四章 4.2 三角函数的化简与求值

3 17 cos x ? sin x 7 4.(高度提升)cos(x+?)=?,?π<x<? π,则? 的值为? 4 5 12 cos x ? sin x 4

(
4 3

) (B)?.
4 3

(A)-?.

(C)?.

3 4

(D)-?.

3 4

5 ? 4 17 7 ? ? 4 【解析】?π<x<?π,? π<x+?<2π,sin(x+?)=-?,tan(x+? )=-? 3 4 3 12 4 4 4 5 ? 4 cos x ? sin x 1 ? tan x , cos x ? sin ? =? =tan(x+? )=-? . 4 3 x 1 ? tan x

【答案】A

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

5.(能力综合)若 (A)-?.
7 2

? =? sin(α ? )
4
1 2 1 2

cos 2α

2

2 ? ,则cos α+sin α的值为?(

)

(B)-?.
cos 2α

(C)?.

(D)? .

7 2

【解析】∵?
∴cos α+sin 【答案】C

sin(α ? ) 1 4 α=? . 2

?

=

?

cos 2 α ? sin 2 α 2 (sin α ? cos α ) 2

=-? 2(cos α+sin α)=-?

2 2

,

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

二、填空题(本大题共4小题,每小题7分)
5? ? 3 12 6.(基础再现)已知α,β∈(π,? ),sin( α + β )= ? ,sin( β ? )= ? ,则cos(α+ 4 4 5 13

? ? )= 4

.

3 ? 12 4 ? 【解析】∵sin(α+β)=? ,sin( β ? )= ? , ∴ cos( α + β )= ? , ∴ cos( β ? 5 4 13 5 4 5 )=-? , 13

则cos(α+? 4 )=cos 【答案】?
16 65

?

16 [(α+β)-(β-? . 4 )]=? 65

?

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

7.(视角拓展)若方程cos 2x-2

3 sin ?

xcos x=k+1有解,则k的取值

范围是

.
? 3

【解析】∵cos 2x-2

sin xcos x=2cos(2x+?),
3

?

∴-2≤k+1≤2,即-3≤k≤1. 【答案】[-3,1]

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

8.(视角拓展)已知f(cos x)=2cos 2x,则f(sin 15°)= 【解析】f(sin 15°)=f(cos 75°)=2cos 150°=【答案】-?3
? 3.

.

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

9.(高度提升)sin 50°(1+ 【解析】sin 50°(1+ =sin 50°( =cos 40°×

3 tan ?

10°)=

.
sin10? 50°(1+?? 3 cos10?

3?tan

10°)=sin

)

cos10? ? 3 sin10? cos10?

?)
=1.

sin 80? 2sin 40? ?=? cos10? cos10?

【答案】1

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第四章 4.2 三角函数的化简与求值

三、解答题(本大题共3小题,每小题14分)
3? 10.(视角拓展)设α∈(? ,2π),6sin α+5sin αcos α-4cos α=0,求
2 2

2

α ? cos(?+?)的值. 3 2

【解析】由于cos α≠0,∴6tan α+5tan α-4=0,解得tan tan
1 α=? . 2

2

4 α=-? 或 3

3? ∵α∈(? ,2π),tan 2

α<0,故tan

1 α=? (舍去). 2

∴tan

4 α=-? . 3

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3? α 3? ,π). ∵α∈(?,2π),∴?∈(? 2 2 4

第四章 4.2 三角函数的化简与求值

由tan

α α 4 1 α=-?,求得tan ? =-?,tan ? =2(舍去). 2 2 3 2 α 2
5 5

∴sin ? =? ,cos

α 2

=-

2 5 ?, 5 3 1 5 ×?-? ×? 2 2 5

? ? 2 5 α ? α α cos(?+?)=cos ?cos ?-sin ?sin ?=-? 5 3 3 3 2 2 2

=-

2 5 ? 15 ?. 10

高考第一轮复习用书· 数学(理科)
4 5

第四章 4.2 三角函数的化简与求值

3? 11.(高度提升)已知cos(α+β)=?,cos(α-β)=-?,且? <α+β< 4 5 2

2π,? 2 <α-β<π,分别求cos 2α,cos 2β的值.

?

3? ? 4 4 【解析】cos(α+β)=?,cos(α-β)=-?,且? <α+β<2π,? <α-β<π,可得 2 2 5 5 3 3 sin(α+β)=-? ,sin(α-β)=?, 5 5

cos 2α=cos [(α+β)+(α-β)]
7 =cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=-? , 25

cos 2β=cos [(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.

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3? 4

第四章 4.2 三角函数的化简与求值

12.(能力综合)设α∈(? ,π),tan α+ 1 ?=tan α

10 3

?,

(1)求tan α的值;
5sin 2 α α α α ? 8sin cos ? 11cos 2 ? 8 2 2 2 2 2 sin(α ? ) 2
1 10 α+? = ? tan α 3

(2)求

?

?的值.
2

【解析】(1)tan

,3tan α+10tan α+3=0,所以tan α=
1

-3 (舍去,α∈(? ,π))或tan α=-? . 3

3? 4

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α α α α ? 8sin cos ? 11cos 2 ? 8 2 2 2 2 2 sin(α ? ) 2

第四章 4.2 三角函数的化简与求值

(2)

?
5sin 2

?

=?

5 ? 4sin α ? 6cos 2 ? 2 cos α

α ?8 2

=?
=?

4sin α ? 3(2cos 2 ? 2 cos α

α ? 1) 2

4sin α ? 3cos α ? 2 cos α

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3 2 ? ) 2

第四章 4.2 三角函数的化简与求值

=-(2? 2 tan α+ =-?.
5 2 6


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