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高考 预测届高考数学:29三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质 一. 【课标要求】 1.能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像,了解三角函数的周期性; 2.借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在(-π/2,π/2)上的性质 (如单调性、最大和最小值、图像与 x 轴交点等) ; 3. 结合具体实例, 了解 y=Asin (wx+φ ) 的实际意义; 能借助计算器或计算机画出 y=Asin (wx+φ )的图像,观察参数 A,w,φ 对函数图像变化的影响 二. 【命题走向】 近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查, 因为函数的性质是研究函数的一个重要内容, 是学习高等数学和应用技术学科的基础, 又是 解决生产实际问题的工具, 因此三角函数的性质是本章复习的重点。 在复习时要充分运用数 形结合的思想,把图象与性质结合起来,即利用图象的直观性得出函数的性质,或由单位圆 上线段表示的三角函数值来获得函数的性质,同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图 象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法 预测 2011 年高考对本讲内容的考察为: 1.题型为 1 道选择题(求值或图象变换) ,1 道解答题(求值或图像变换) ; 2.热点问题是三角函数的图象和性质,特别是 y=Asin(wx+φ )的图象及其变换; 三. 【要点精讲】 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 y=sinx -4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 - y ? 2 1 o -1 y ? 2 ? 3? 2 2? 5? 2 3? 7? 2 4? x y=cosx -3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 - ? 2 1 o -1 ? 2 ? 3? 2 2? 5? 2 3? 7? 2 4? x y y y=tanx y=cotx - 3? 2 -? - ? 2 o ? 2 ? 3? 2 x -? - ? 2 o ? 2 ? 3? 2 2? x 2.三角函数的单调区间: ? ?? ? y ? sin x 的递增区间是 ?2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ? 递减区间是 ?2k? ? ? ? ? 2 , 2k? ? 3? ? (k ? Z ) ; 2? ? y ? cos x 的递增区间是 ?2k? ? ?, 2k? ? (k ? Z ) , 递减区间是 ?2k?, 2k? ? ? ? (k ? Z ) , ? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ? (其中A ? 0,? ? 0) 3.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 最大值是 A ? B , 最小值是 B ? A , 周期是 T ? 初相是 ? ;其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ? 2? ? 2 ? , 频率是 f ? ? , 相位是 ?x ? ? , 2? (k ? Z ) ,凡是该图象与直线 y ? B 的 交点都是该图象的对称中心 4.由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开这两 个途径,才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时, 提倡先平移后伸缩, 但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变 形, 请切记每一个变换总是对字母 x 而言, 即图象变换要看 “变量” 起多大变化, 而不是 “角 变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位,再将图象上各点的 横坐标变为原来的 1 ? 倍(ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象 途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 向右( ? <0=平移 1 |? | ? 倍(ω >0),再沿 x 轴向左( ? >0)或 5.由 y=Asin(ω x+ ? )的图象求其函数式: 给出图象确定解析式 y=Asin(ω x+ ? )的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(- 0)作为突破口,要从图象的升降情况找准 第一个零点的位置。 .. 6.对称轴与对称中心: y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? ,对称中心为 (k? ,0) 2 ? ? 个单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。 ? , ? k ?Z ; y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ? 2 ,0) ; 对于 y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最 值点联系。 7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意 A、 ? 的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; 8.求三角函数的周期的常用方法: 经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) ”的形式,在利用周期公 式,另外还有图像法和定义法 9.五点法作 y=Asin(ω x+ ? )的简图: 五点取法是设 x=ω x+ ? ,由 x 取 0、 再描点作图。 π 3π 、π 、 、2π 来求相应的 x 值及对应的 y 值, 2 2 四. 【典例解析】 题型 1:三角函数的图象 例 1. (2009 浙江理)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是 ( ... ) 解析 对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ? 求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2?

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