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2.3直线、平面垂直的判定及其性质


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2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
总分:100 分;考试时间:100 分钟;命题人:陈绪亮 一、选择题(题型注释) 1.若直线 l , m 与平面 ? 、 ? 、 ? 满足 ? I ? ? l , l ∥ ? , m ? ? , m ? ? ,则有( A. m ∥ ? 且 l ? m C. ? ⊥ ? 且 m ∥ ? B. ? ⊥ ? 且 l ? m D. ? ∥ ? 且 ? ⊥ ? )

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

2.在正三棱锥 P?ABC 中,D,E 分别是 AB,BC 的中点,下列结论:①AC⊥PB;②AC∥ 平面 PDE;③AB⊥平面 PDE,其中错误的结论个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,给出下列命题,其中正确的是 ( ① ? // ? ? l ? m ③ l // m ? ? ? ? A.②④ B. ②③④ ② ? ? ? ? l // m ④ l ? m ? ? // ? C. ①③ D. ①②③ )

4.设 a ,b,c 是空间三条不同的直线,? , ? 是空间两个不同的平面,则下列命题不 . 成立 的是( .. )

A.当 c ? ? 时,若 c ⊥ ? ,则 ? ∥ ? B.当 b ? ? ,且 c 是 a 在 ? 内的射影时,若 b⊥c,则 a ⊥b C.当 b ? ? 时,若 b⊥ ? ,则 ? ? ? D.当 b ? ? 时,若 c∥ ? ,则 b∥c 5.若 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列命题中正确命题是 ( )

A.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? B.若 ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, , m ∥ n ,则 ? ∥ ? C.若 m ? ? , m ∥ ? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? ? ? 6.如下图右,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是( .. A.BD∥平面 CB1D1 C.AC1⊥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60° )

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A.若 a / /b, a / /? , 则b / /? C.若 ? ? ? , a ? ? , 则a / /?

B.若 ? ? ? , a / /? , 则a ? ? D.若 a ? b, a ? ? , b ? ? , 则? ? ?

9.如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长(包括底面边长)都是 2,E,F 分别是 AB,A1C1 的中点, 则 EF 与侧棱 C1C 所成的角的余弦值是( ) (A)错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。 (C)错误!未找

到引用源。

(D)2

10.下列命题中正确的是 (A)如果两条直线都平行于同一个平面,那么这两条直线互相平行 (B)过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 (C)如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面 (D)如果两条直线都垂直于同一平面,那么这两条直线共面 二、填空题(题型注释) 11.已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面,连接 PB、PC、PD、AC、BD,则下列垂直关系 中正确的序号是 .

①平面 PAB ? 平面 PBC ②平面 PAB ? 平面 PAD ③平面 PAB ? 平面 PCD 12.设 l 是一条直线,α ,β ,γ 是不同的平面,则在下列命题中,假命题是________. ①如果 α ⊥β ,那么 α 内一定存在直线平行于 β
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

7.已知 a,b,l,表示三条不同的直线,α ,β ,γ 表示三个不同平面,给出下列四个命 题:其中正确命题的序号是( ) ①若α ∩β =a,γ nβ =b,且 a∥b,则α ∥γ ; ②若 a,b 相交,且都在α ,β 外,a∥α ,a∥β ,b∥α ,b∥β ,则α ∥β ; ③若 a ? α ,b ? α , l ? a,l ? b,则 l ? α ; ④若α ? β ,α ∩β =a,b ? β ,a ? b,则 b ? α . A、①② B、②③ C、②④ D、③④ 8.设 a、b 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )

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②如果 α 不垂直于 β ,那么 α 内一定不存在直线垂直于 β ③如果 α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =l,那么 l⊥γ ④如果 α ⊥β ,l 与 α ,β 都相交,那么 l 与 α ,β 所成的角互余 13.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 P 在 BC1 上运动,则下列四个命题: ①三棱锥 A ? D1 PC 的体积不变; ② A1 P //平面 ACD1 ③ DP ? BC1 ; 其中正确命题的序号是
D A B C

④ 平面PDB1 ? 平面ACD1

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

D1 11 A1 B1

C1

14.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,点 O 是底面 ABCD 的中心,点 E,F 分别 是 CC1,AD 的中点,则异面直线 OE 与 FD1 所成角的余弦值为 . 15.已知平面 ? , ? 和直线 m ,给出条件: ① m // ? ;② m ? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? ;⑤ ? // ? . (1)当满足条件 时,有 m // ? ; (2)当满足条件 时,有 m ? ? .

三、解答题(题型注释) 16.(12 分) (2011?陕西)如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD 是 BC 上 的高,沿 AD 把是 BC 上的△ABD 折起,使∠BDC=90°. (Ⅰ)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (Ⅱ)设 BD=1,求三棱锥 D﹣ABC 的表面积.

? 17.如图,在三棱锥 S ? ABC 中, SA ? 底面 ABC , ?ABC ? 90 ,且 SA ? AB ,

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点 M 是 SB 的中点, AN ? SC 且交 SC 于点 N . (1)求证: SC ? 平面 AMN ; (2)当 AB ? BC ? 1 时,求三棱锥 M ? SAN 的体积.
S

N M A

B

C

P E D A F B C

ABC , ?ACB ? 90? ,AC ? BC ? 1 , 19. 如图, 三 棱 柱 ABC ? A 1 ? 平面 1B 1C1 中,AA

AA1 ? 2 .以 AB , BC 为邻边作平行四边形 ABCD ,连接 DA1 和 DC1 .
A1 C1 B1

A

B

D

C

(1)求证: A1 D ∥平面 BCC1B1 ; (2)求 直 线 CC1 与 平 面 DAC 1 1 所成角的正弦值; (3)线 段

BC 上 是 否 存 在 点 F ,使 平 面 DAC 1 1 与 平 面 AC 1 1 F 垂 直 ? 若 存 在 ,求

出 BF 的 长 ; 若 不 存 在 , 说明理由.

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

18.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,侧面 PAD⊥底面 ABCD,若点 E, F 分别是 PC,BD 的中点。 (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAD⊥平面 PCD

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

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F
F

E
A

M

图2
D

A 图1

D
B

(2)求证: BC ? 平面BDE ;

B

(1)求证: AM ∥平面 BEC ;

(3)求点 D 到平面 BEC 的距离.
C

C

20. 如图 1, 在直角梯形 ABCD 中,AB // CD ,AB ? AD , 且 AB ? AD ?

现以 AD 为一边向梯形外作正方形 ADEF ,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折,使平 面 ADEF 与平面 ABCD 垂直, M 为 ED 的中点,如图 2. E

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1 CD ? 1 . 2

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析: Q m ? ? , m ? ? ,?? ? ? . Q m ? ? , l ? ? ,? m ? l .故 B 正确. 考点:线线垂直,线面垂直. 2.B 【解析】 如图,设 P 在面 ABC 内射影为 O,则 O 为正三角形 ABC 的中心.

①可证 AC⊥面 PBO,所以 AC⊥PB; ②AC∥DE,可得 AC∥平面 PDE ; ③AB 与 DE 不垂直. 选 B. 3.C 【解析】 试题分析:对①,由 l ? 平面 ? , ? / / ? ? l ? ? ,又 m ? ? ,因此有 l ? m ,①正确, ②错误,直线 l 与平面 ? 的关系不确定,因此 l 与 m 的关系也不确定,③由 l // m 可得

m ? ? ,因此 ? ? ? ,③正确,④由已知平面 ? 与 ? 的位置关系不确定,因此填空①③.
考点:直线与平面的位置关系. 4.D 【解析】 试题分析:A、其逆命题是:当 c⊥α 时,或 α ∥β ,则 c⊥β ,由面面平行的性质定理知 正确. B、其逆命题是:当 b?α ,若 α ⊥β ,则 b⊥β ,也可能平行,相交.不正确. C、其逆命题是当 b?α ,且 c 是 a 在 α 内的射影时,若 a⊥b,则 b⊥c,由三垂线定理知正 确. D、其逆命题是当 b?α ,且 c?α 时,若 b∥c,则 c∥α ,由线面平行的判定定理知正确.故 选 B. 考点:平面与平面之间的位置关系;四种命题;空间中直线与直线之间的位置关系. 5.C 【解析】 试题分析:分别如图所示:

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故 A 不正确;

此图显示 ? 与 ? 相交,故 B 不正确;

因为 m // ? , m ? ? ,所以, ? 内存在与 ? 垂直的直线,故 ? ? ? ,C 正确;

如图显示, ? 与 ? 不垂直,故 D 不正确. 考点:线面,面面的位置关系 6.D 【解析】解:A 中因为 BD∥B1D1,正确;B 中因为 AC⊥BD,由三垂线定理知正确; C 中有三垂线定理可知 AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,故正确; D 中显然异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 45° 故选 D 7.C 【解析】解:因为①若α ∩β =a,γ nβ =b,且 a∥b,则α ∥γ ;还可能相交,错误。 ③若 a ? α ,b ? α , l ? a,l ? b,则 l ? α ;只有相交直线的时候成立,错误,故选 C 8.D 【解析】
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本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 解:A 选项不正确,因为 b?α 是可能的; B 选项不正确,因为 α⊥β,a∥α 时,a∥β,a?β 都是可能的; C 选项不正确,因为 α⊥β,a⊥β 时,可能有 a?α; D 选项正确,可由面面垂直的判定定理证明其是正确的. 故选 D

9.B 【解析】如图,取 AC 中点 G,连接 FG,EG,

则 FG∥C1C,FG=C1C;EG∥BC,EG=错误! 未找到引用源。 BC,故∠EFG 即为 EF 与 C1C 所成的角(或 补角),在 Rt△EFG 中,cos∠EFG=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。. 10.D 【解析】 (A)平行于同一平面的两条直线相交、平行或异面,故错; (B)当直线垂直于已知平面时,过该直线的无数个平面与已知平面都垂直,故错; (C)该直线可能在平面内,故错;故选 D。 11.①② 【解析】 试题分析:易证 BC ? 平面 PAB , 则平面 PAB ? 平面 PBC ; 又 AD ∥ BC , 故 AD ? 平 面 PAB , 则平面 PAD ? 平面 PAB , 因此①②正确. 考点:线面垂直、面面垂直。 12.④ 【解析】如果 α ⊥β ,那么 α 内一定存在直线平行于 β , 即命题①正确;如果 α 不垂直于 β , 那么 α 内一定不存在直线垂直于 β , 即命题②正确;如果 α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =l, 那么 l⊥γ ,即命题③正确; 如果 α ⊥β ,l 与 α ,β 都相交, 那么 l 与 α ,β 所成的角不一定互余, 即命题④不正确. 13.①②④ 【解析】 考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;平面与平面垂直的判定. 分析:如图:

答案第 3 页,总 11 页

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对于①,容易证明 AD1∥BC1,从而 BC1∥平面 AD1C,以 P 为顶点,平面 AD1C 为底面,易得; 对于②,连接 A1B,A1C1 容易证明平面 BA1C1∥面 ACD1,从而由线面平行的定义可得; 对于③,由于 DC⊥平面 BCB1C1,所以 DC⊥BC1 平面,若 DP⊥BC1,则 DC 与 DP 重合,与条件 矛盾;对于④,容易证明 PDB1⊥面 ACD1,从而可以证明面面垂直。 解答: 对于①,容易证明 AD1∥BC1,从而 BC1∥平面 AD1C,故 BC1 上任意一点到平面 AD1C 的距离 均相等,所以以 P 为顶点,平面 AD1C 为底面,则三棱锥 A-D1PC 的体积不变;正确; 对于②,连接 A1B,A1C1 容易证明 A1C1∥AD1 且相等,由于①知:AD1∥BC1,所以 BA1C1∥面 ACD1,从而由线面平行的定义可得;正确; 对于③由于 DC⊥平面 BCB1C1,所以 DC⊥BC1 平面,若 DP⊥BC1,则 DC 与 DP 重合,与条件矛 盾;错误; 对于④,连接 DB1,容易证明 DB1⊥面 ACD1,从而由面面垂直的判定知:正确。 故答案为:①②④。 点评:本题考查三棱锥体积求法中的等体积法;线面平行、垂直的判定,要注意使用转化的 思想。 14. 【解析】取 D1C1 的中点 G,连接 OF,OG,GE.

因为点 O 是底面 ABCD 的中心,F 为 AD 的中点, 所以 OF 错误!未找到引用源。CD,D1G 错误!未找到引用源。CD,即 OF D1G.

所以四边形 OGD1F 为平行四边形.所以 D1F∥GO,即 OE 与 FD1 所成角也就是 OE 与 OG 所成角. 在△OGE 中,OG=FD1=错误!未找到引用源。,GE=错误!未找到引用源。,OE=错误!未找到引 用源。, 2 2 2 所以 GE +OE =OG ,即△GOE 为直角三角形,所以 cos∠GOE=错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。=错误!未找到引用源。. 异面直线 OE 与 FD1 所成角的余弦值为错误!未找到引用源。. 15.(1)③⑤;(2) ②⑤ 【解析】 试题分析:若 m?α ,α ∥β ,则 m∥β ;
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若 m⊥α ,α ∥β ,则 m⊥β . 故答案为: (i)③⑤(ii)②⑤ 考点:直线与平面垂直的判定与性质 16. (Ⅰ)见解析(Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)翻折后,直线 AD 与直线 DC、DB 都垂直,可得直线与平面 BDC 垂直,再结 合 AD 是平面 ADB 内的直线,可得平面 ADB 与平面垂直; (Ⅱ)根据图形特征可得△ADB、△DBC、△ADC 是全等的等腰直角三角形,△ABC 是等边三 角形,利用三角形面积公式可得三棱锥 D﹣ABC 的表面积. 解: (Ⅰ)∵折起前 AD 是 BC 边上的高, ∴当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又 DB∩DC=D, ∴AD⊥平面 BDC, ∵AD?平面 ABD. ∴平面 ADB⊥平面 BDC (Ⅱ)由(Ⅰ)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA, ∵DB=DA=DC=1,∴AB=BC=CA= , 从而

所以三棱锥 D﹣ABC 的表面积为:

点评: 解决平面图形翻折问题的关键是看准翻折后没有发生变化的位置关系, 抓住翻折后仍 然垂直的直线作为条件,从而解决问题. 17. (1)详见解析; ( 2)

1 . 36

【解析】 试题分析: (1)由已知条件 SA ? 平面 ABC 得到 SA ? BC ,再由已知条件得到 BC ? AB , 从 而 得 到 BC ? 平 面 SAB , 进 而 得 到 B C ? A M , 利 用 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 得 到 AM ? SB ,结合直线与平面垂直的判定定理得到 AN ? 平面 SBC ,于是得到 AM ? SC , 结合题中已知条件 AN ? SC 以及直线与平面垂直的判定定理得到 SC ? 平面 AMN ; (2) 利用(1)中的结论 SC ? 平面 AMN ,然后以点 S 为顶点,以 SN 为高, 结合等体积法求 出三棱锥 M ? SAN 的体积. (1)证明:? SA ? 底面 ABC ,? BC ? SA ,又易知 BC ? AB ,
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? BC ? 平面 SAB ,? BC ? AM , 又? SA ? AB , M 是 SB 的中点,? AM ? SB , ? AM ? 平面 SBC ,? AM ? SC , 又已知 AN ? SC , ? SC ? 平面 AMN ; (2)? SC ? 平面 AMN ,? SN ? 平面 AMN ,
而 SA ? AB ? BC ? 1 ,? AC ? 2 , SC ? 3 , 又? AN ? SC ,? AN ?

6 , 3

又? AM ? 平面 SBC ,? AM ? AN , 而 AM ?

2 6 ,? MN ? , 2 6

1 2 6 3 , ? S?AMB ? ? ? ? 2 2 6 12
1 1 ?VS ? AMN ? S?AMN ? SN ? , 3 36 1 ? V M ? SAN ? VS ? AMN ? . 36
考点:1.直线与平面垂直;2.等体积法求三棱锥的体积 18. (1)详见解析, (2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)证线面平行找线线平行,本题有 G 为 AD 中点,F 为 BD 中点条件,可利用平 行四边形性质.即取 PD 中点 H,AD 中点 G,易得 EFGH 为平行四边形,从而有 EF∥GH.写定理

条件时需完整,因为若缺少 EF ? 面 PAD, ,则 EF 可能在面 PAD 内,若缺少 GH ? 面 PAD,则 EF 与面 PAD 位置关系不定.(2)证面面垂直关键找线面垂直.可由面面垂直性质定理探讨, 因为侧面 PAD⊥底面 ABCD,CD 垂直 AD,而 AD 为两平面的交线,所以应有 CD 垂直于平面 PAD, 这就是本题证明的目标. 试题解析: (1)设 PD 中点为 H,AD 中点为 G,连结 FG,GH,HE

1 AB // ? G 为 AD 中点,F 为 BD 中点,? GF 2 , 1 // CD 同理 EH 2 ,

? ABCD 为矩形,? AB // CD,? GF // EH,? EFGH 为平行四边形

? EF∥GH,又? GH ? 面PAD, EF ? 面PAD,? EF ∥面 PAD.
(2)? 面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD ? 面 ABCD=AD,又? ABCD 为矩形, ? CD⊥AD,? CD⊥面 PAD
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又? CD ? 面 PCD,? 面 PAD⊥面 PCD. 考点:线面平行判定定理,面面垂直判定与性质定理 19. (1) A (2) 1D// 平面 BCC1B 1; 与 平 面 AC 1 1F 垂 直 . 【解析】 试题分析: (1) 要证明线面平行, 需要在平面 BCC1B1 中找出一条直线平行于 A1D .连结 B1C , 由平行四边形 ABCD 得 CD //AB 且 ? 三 棱 柱 ABC? A 1 B 1 C 1中? A 1B 1 //AB 且 A 1B 1 ? AB ,

5 ; ( 3 )线 段 BC 上 不 存 在 点 F ,使 平 面 DAC 1 1 5

CD ? AB ,

? A1B1 //CD 且 A1B1 ? CD , ? 四边形 A1B1CD 为平行四边形, A1D//B1C ,? B1C ? 平
面BCC1B1 , A1D ? 平面 BCC1B1 ,? A1D// 平面 BCC1B1 .(2)建立空间直角坐标系,设
???? ? ? n ? A D ? 0, ? x ? 2 z ? 0 ? 1 n ? ( x, y,z) , 平面 DAC 利用 ? ????? 即? , 令 z ? 1, 则 y ? 0, 1 1的法向量为 ? ?n ? A1C1 ? 0. ? y ? 0 ???? ? | CC ?n| 2 5 ?1 x ? 2 ? n ? (2,0,1) , ?sin ? ? ???? , ? 直 线 CC1 与 平 面 DAC ? ? 1 1 5 | CC1 | ? | n | 2 ? 5
所成角的正弦值为

???? ? 5 . (3)设 F (? ,1, 0) , ?1 ? ? ? 0 ,则 C1F ? (? ,0, ?2) ,设平面 5 ????? ? ? ? A1C 1 ? m =0 ? y1 ? 0 ? ? ???? , AC 1 1 F 的法向量为 m ? ? x1 , y1 , z1 ? ,利用垂直关系 ?C F ? m ? 0 , 即 ? ? 1 ?? x1 ? 2 z1 ? 0
?
2
, 所 以 m ? (1, 0 ,

令 x1 ? 1 , 则 y1 ? 0 , z1 ?

?
2

) 因 为 平 面 DAC , 1 1 的 法 向 量 为

n ? ( 2 , 0 , ,假 1 ) 设 平 面 DAC 与 平 面 AC F 垂 直 ,则 n ? m ? 0 ,解得, ? ? ?4 ? ?1 1 1 1 1

? 线 段 BC 上 不 存 在 点 F , 使 平 面 DAC 1 1F 垂 直 . 1 1 与 平 面 AC
试题解析: (1)连结 B1C ,? 三 棱 柱 ABC? A 1 B 1 C 1中? A 1B 1 //AB 且 A 1B 1 ? AB , 由平行四边形 ABCD 得 CD //AB 且 CD ? AB

? A1B1 //CD 且 A1B1 ? CD ? 四边形 A1B1CD 为平行四边形, A1D//B1C
答案第 7 页,总 11 页

1分 2分

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? B1C ? 平 面BCC1B1 , A1D ? 平面 BCC1B1 ? A1D// 平面 BCC1B1
z
A1 C1 B1

3分 4分

A D C

B

x

y

? (2)由 ?ACB ? 90 ,四边形 ABCD 为平行四边形得 AC ? AD , AA1 ? 底面 ABC

如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,则 C (0,1, 0) , D(1, 0, 0) ,

A1 (0,0, 2) , C1 (0,1, 2) ,

1分

???? ? ???? ? ???? ? ?CC1 ? (0,0, 2) , A1D ? (1,0, ?2) , AC 1 1 ? (0,1,0)
n ? ( x, y,z) ,则 设平面 DAC 1 1的法向量为
???? ? ? ?n ? A1 D ? 0, ? x ? 2 z ? 0 即? ,令 z ? 1 ,则 y ? 0 , x ? 2 ? ????? ? ?n ? A1C1 ? 0. ? y ? 0

? n ? (2,0,1)

3分

???? ? | CC1 ? n | 2 5 ? ?sin ? ? ???? ? ? 5 | CC1 | ? | n | 2 ? 5

? 直 线 CC1 与 平 面 DAC 1 1所成角的正弦值为
???? ?

5 . 5

5分

(3)设 F (? ,1, 0) , ?1 ? ? ? 0 ,则 C1F ? (?,0, ?2) 设平面 AC 1 1 F 的法向量为 m ? ? x1 , y1 , z1 ? ,则

1分

????? ? ? A1C 1 ? m =0 ? ? y1 ? 0 ? ? ???? , 即? C F ? m ? 0 ? ? 1 ?? x1 ? 2 z1 ? 0

答案第 8 页,总 11 页

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令 x1 ? 1 ,则 y1 ? 0 , z1 ?

?
2

,所以 m ? (1, 0,

?
2

)

3分

n ? ( 2, 0, 1) 由(2)知:平面 DAC 1 1的法向量为
n ? m ? 0 ,解得, ? ? ?4 ? ?1 假 设 平 面 DAC 1 1 F 垂 直 ,则 1 1 与 平 面 AC

? 线 段 BC 上 不 存 在 点 F , 使 平 面 DAC 1 1F 垂 直 . 1 1 与 平 面 AC
5分 考点:1.线面垂直;2.直线与平面所成的角;3.存在性问题. 20. (1)见解析(2)见解析(3) 【解析】 试题分析: (1)要证明线面平行,取 EC 中点 N , 连结 MN , BN ,其中线段 BN 在面 BEC 中,根据线面平行 的判断,只需要证明线段 BN 与 AM 平行即可,根据 MN 为所在线段的中点,利用中位线定理即可 得到 MN 平行且等于 DC 的一半,题目已知 AB 平行且等于 DC 的一半,则可以得到 MN 与 AB 平行 且相等,即四边形 ABMN 为平行四边形,而 AM 与 BN 为该平行四边形的两条对边,则 AM 与 BN 平行,即得到线段 AM 平行于面 BEC. (2)题目已知面 ABCD 与 ADEF 垂直且 ED 垂直于这两个面的交线,根据面面垂直的性质定理可 得线段 ED 垂直于面 ABCD,再根据线面垂直的性质可得到 BC 垂直于 ED,根据梯形 ABCD 为直角 梯形和边长关系和勾股定理可以得到 BC 与 BD 垂直,即线段 BC 与面 BED 中两条相交的线段 ED,BD 相互垂直,根据线面垂直的判断即可得到线段 BC 垂直于面 BED (3)要求点面距离可以考虑利用三棱锥 D ? BEC 体积的等体积法,即分别以 D 点和 E 点作为 顶点求解三棱锥 D-BEC 的体积,当以 E 作为顶点时,DE 为高,三角形 BCD 为底面,求出高和底 面积得到三棱锥的体积,当 D 为顶点,此时,高为 D 到面 BEC 的距离,而三角形 BEC 为底面,利 用三角形的勾股定理得到 BE 的长度,求出三角形 BEC 的面积,利用三棱锥的体积公式即可得 到 D 到面 BEC 的距离. 试题解析: (1)证明:取 EC 中点 N ,连结 MN , BN . 在△ EDC 中, M , N 分别为 EC , ED 的中点, 所以 MN ∥ CD ,且 MN ? 由已知 AB ∥ CD , AB ?

6 3

1 CD . 2

1 CD , 2 所以 MN ∥ AB ,且 MN ? AB . 3分 所以四边形 ABNM 为平行四边形. 所以 BN ∥ AM . 4分 又因为 BN ? 平面 BEC ,且 AM ? 平面 BEC , 所以 AM ∥平面 BEC . 5分
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E F M D A G B N C

(2)在正方形 ADEF 中, ED ? AD . 又因为平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD , 所以 ED ? 平面 ABCD . 所以 ED ? BC . 7分 在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 1 , CD ? 2 ,可得 BC ? 2 . 在△ BCD 中, BD ? BC ? 2, CD ? 2 , 所以 BD2 ? BC 2 ? CD 2 . 所以 BC ? BD . 8分

所以 BC ? 平面 BDE . 10 分 (3)解法一:因为 BC ? 平面 BCE ,所以平面 BDE ? 平面 BEC . 过点 D 作 EB 的垂线交 EB 于点 G ,则 DG ? 平面 BEC 所以点 D 到平面 BEC 的距离等于线段 DG 的长度 12 分 在直角三角形 BDE 中, S ?BDE ? 所以 DG ?

11 分

1 1 BD ? DE ? BE ? DG 2 2

BD ? DE 2 6 ? ? BE 3 3
6 . 3
14 分

所以点 D 到平面 BEC 的距离等于

解法二: BE ? 平面 BDE ,所以 BC ? BE 所以 S ?BCD ?

1 1 BD ? BC ? ? 2 ? 2 ? 1, 2 2
12 分

S ?BCE ?

1 1 6 BE ? BC ? ? 2 ? 3 ? . 2 2 2

又 VE ? BCD ? VD? BCE ,设点 D 到平面 BEC 的距离为 h . 则

S ? DE 1 1 1 6 S ?BCD ? DE ? ? S ?BCE ? h ,所以 h ? ?BCD ? ? 3 3 S ?BCE 3 6 2

答案第 10 页,总 11 页

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所以点 D 到平面 BEC 的距离等于

6 . 3

14 分

考点:勾股定理线面平行,线面垂直等体积法

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